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（6）映射的定义：设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的____________元素，在B 中都有_______________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的____________．这时，称y 是x 在映射f 作用下的__________，记作______________。
于是x x f y ),(=称作y 的___________，映射f 也可记为)(,:x f x B A f →→，其中___________叫做映射f 的定义域，由________________构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作)(A f ． （7）一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的_____________，在集合A 中都________________,这时我们说这两个集合的元素之间存在_____________关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的__________________．（8）映射与函数的关系：函数是从______________到_____________的映射． 课堂互动：五．映射或一一映射的判定[例5]下列对应关系中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射，那些不是？若是映射，是否为一一映射？（1）{0,1,2,3},{1,2,3,4}A B ==；对应法则:f “加1”；（2）0,+),A B R =∞=（；对应法则:f “求平方根”；（3）,A N B N ==；对应法则:f “3倍”；（4）,A R B R ==；对应法则:f “取绝对值”；（5）,A R B R ==；对应法则:f “求倒数”．巩固提高下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，能否构成函数？ （1）1,,:1A RB R f x y x ==→=+；（2）11{|,},{|,},:A a a n n N B b b n N f a b n a++==∈==∈→=；（3）2[0,),,:A B R f x y x =+∞=→=；（4）{|},{|},A x x M B x x M ==是平面内的三角形是平面内的圆:f 作三角形的内切圆．六．映射中的象与原象[例6]已知映射:,{(,)|,},f A B A B x y x R y R →=+∈∈中:(,)f x y →(321,x y -+431)x y +-．（1）求A 中元素（1,2）的象；（2）求B 中元素（1,2）的原象．巩固提高1.已知函数:f R R →，35x x →-： （1）求2,5,8x =时的象(2),(5),(8)f f f ；（2）求()35,47f x =时的原象．2.已知映射:f R R →，21x x →+： （1）求3,2,0,2,3x =--时的象；（2）求()10,5,1f x =时的原象．3.已知f 是集合A 上的一个映射，试问在值域()f A 中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？4.设集合A 到B 的映射为1:21f x y x →=+，集合B 到C 的映射为22:1f y z y →=-则集合A 到C 的映射f 的对应法则是什么？集合A 中的元素1在C 中的象是什么？集合C 中的元素0在A 中的原象又是什么？七．构成映射的个数1.已知集合{,},{1,0,1}A a b B ==-，从集合A 到集合B 的映射可能有几种？写出这些映射．2.已知集合{,},{0,1}A x y B ==，构造从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？其中有多少是一一映射？第4讲：函数的表示方法【考纲要求】1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．2．了解简单的分段函数，并能进行简单的应用． 【教学重难点】分段函数【重难点命题方向】分段函数经常在高考题中出现自主预习：（1）函数的表示方法：表示函数的常用方法有：___________________、______________、___________________三种． （2）列表法：通过列出________________________________________________的表来表示函数关系的方法叫做列表法．（3）图象法：如果F 是函数()y f x =的图象，则图象上的任一点的坐标(,)x y 都满足___________________；反之，满足函数()y f x =的点(,)x y 都在_________________．这种用________________________表示函数的方法叫做图象法．为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象，作图象过程通常有_______________、______________、________________三个步骤．（4）解析法：如果在函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用_________________________来表达的，则这种表示函数的方法叫_______________，也称______________．（5）分段函数：对于自变量x 的不同到取值范围，有着不同的____________，这样的函数通常叫做__________________．分段函数是___________函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是________________________________，值域是_______________________________．（6）依据函数的定义，平行于y 轴的直线与函数的图象最多有_______________个交点． 课堂互动：一．列表法表示函数[例1]试用列表法表示0,30,45,60,90角的正弦、余弦．[例2]已知函数()y f n =，满足(0)1()(1)f f n nf n n N +==-∈，且，，求(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ．巩固提高1.2004年是闰年，假设月份的集合是A ，每月的天数构成集合B ，f 是月份与天数的对应关系，其对应如下：写出当自变量为4，6，9，11时的函数值及该函数的值域、定义域．2. 已知函数()y f n =，满足(1)8(1)()7f f n f n n N +=+=+∈，且，，求(2)f ，(3)f ，(4)f ．二．图象法表示函数[例3]作函数y =[例4]设x 是任意的一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．（此函数叫高斯函数，也叫取整函数，记作[]y x =）巩固提高1.作函数()100y f x x R ==∈，（这类函数通常称作常数函数）的图象，并求(10)f -，(0)f ，(1000)f ．2.在同一坐标系中，作出下列函数的图象：（1）2y x =-；（2）5y x =+；（3）2(2)y x =-；（4）3y x =．3.已知()[1]f x x =+，求(3.2)f ，( 5.1)f -，(4.8)f -，(7.2)f ．4.下列各图，那些是以x 为自变量的函数的图象：三．构成映射的个数[例5] 求下列函数的解析式：（1）已知2(1)32f x x x +=-+，求()f x ；（2）已知1)f x =+，求()f x ；（1）已知2()f x ax bx c =++，若(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，求()f x ．巩固提高1.某商店有游戏机12台，每台售价200元，试求售出台数与收款总数之间的函数关系（用解析法表示），并作出函数的图象．2.已知自变量x 与因变量y 之间有下列关系，写出函数表达式，并作出各函数的图象： （1）3515x y +=； （2）25y x y +=-．四．分段函数[例6]已知一个函数()y f x =的定义域为区间[0,2]，当[0,1]x ∈时，对应法则为y x =，当(1,2]x ∈时，对应法则为2y x =-，试用解析法和图象法分别表示这个函数．[例7]作出下列函数的图象：（1）1(1)()0(11)1(1)x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩； （2）22|1|1x x y x -=-．巩固提高1.作函数2(10)()(01)(12)x x y f x xx x x --<<⎧⎪==≤<⎨⎪≤≤⎩的图象，求(0.8)f -，1()2f ，3()2f ．2. 把下列函数分区间表达，并作出函数的图象： （1）()5||f x x =-； （2）()5||f x x =-+．3．设10()20x f x x <⎧=⎨≥⎩，3(1)(2)()(0)2f x f x g x x ---=>．写出()y g x =的解析式，并作出图象．五．分段函数的应用[例8]在某地投寄平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分,依此类推，每封x g (0100)x <≤的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．[例9]若,()x R f x ∈是22,y x y x =-=这两个函数的较小者，试写出()f x 的表达式，并通过()f x 图象求出()f x 的最大值．巩固提高1.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： （1）乘坐5 km 以内，票价2元；（2）乘坐5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元（不足5 km 的按5 km 计算）．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1 km ，如果在某条路线上沿途（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条线路的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．2.作出函数()|1|1f x x =-+的图象，并求出值域．3.讨论关于x 的方程2|43|()x x a a R -+=∈的实数解的个数．【基础限时训练】1.下列表格中能构成函数()y f x =的是（ ）AC D2.若221(12)(0)x f x x x--=≠，那么1()2f =______________________． 3.若函数()y f x =的图象是一条线段，其端点坐标为(2,4)(4,5)--与，则此函数的解析式为___________________，定义域为______________________． 4.已知211(1)1f x x +=-，则()f x =__________________． 5.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1[](2)f f 的值为（ ） A.1516 B.2716- C.89 D.186.函数22(01)()2(12)3(2)x x y f x x x ⎧≤<⎪==≤<⎨⎪≥⎩的值域是（ ） A.R B.[0,)+∞ C.[0,3] D.[0,3]{3} 7.已知函数()f x 的图象如图所示， 则()f x 的解析式是_____________．8.已知21(,0)()[0,)x f x xxx ⎧∈-∞⎪=⎨⎪∈+∞⎩，求(1)f x +．【拔高限时训练】1.若()f x 为一次函数，2(2)3(1)5f f -=，2(0)(1)1f f --=，则()f x 的解析式为（ ） A.()32f x x =+ B. ()32f x x =- C. ()23f x x =+ D. ()23f x x =-2.函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为（ ）A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上3.已知2()3([]3)2f x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则( 3.5)f -=____________．4.如果函数()f x 满足方程1()(),R 0,af x f ax x x a x+=∈≠且为常数，且1a ≠±，则()f x ＝_________________．5.某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5}x x ∈本笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x =．6.已知二次函数2()(,,0)f x ax bx a b R a =+∈≠满足(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x=有等根，求()f x 的解析式．7.作出下列函数的图象：（1）2y x =； （2）21,||2y x x Z x =+∈<且．8.若()43mx f x x =-在定义域内恒有[()]f f x x =，则m 的值为________________． 9.已知函数22(2)()(22)2(2)x x f x xx x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()8f a =，则a 等于（ ） A.6B. ±C. 4D. 以上均有可能10.已知3(10)(),((5)(10)n n f n n N f f n n +-≥⎧=∈⎨+<⎩，则(5)f 的值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.1011.设2|1|2||1()1||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f 等于（ ） A.12 B.413 C.95- D.254112.设函数220()0x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则函数()f x 的解析式为：()f x ＝_________________．13.在边长为4的正方形ABCD 的边上有动点P 从B 开始，沿折线BCDA 向A 运动，A 、P 、B三点构成∆APB ，设动点P 运动的路程为x ，∆APB 的面积为S ．（1）求函数()S f x =的解析式；（2）求函数()S f x =的定义域和值域；（3）求(5),[(5)]f f f 的值．14.对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩且且且．（1）若函数()23,1,()2,f x x x g x x x R =-+≥=-∈，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的最大值．课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |知识点拨毕达哥拉斯（二）令毕达格拉斯学派引以为傲的应该是“毕达哥拉斯定理”的发现，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——我国称为“勾股定理”．毕达哥拉斯定理可谓数学史上的第一块里程碑，它揭示了三角形边长的数量和形状的关系，后来成为解析几何的“距离公式”，并在高维空间的数学中有着重要作用，因此被人们誉为数学大厦的“拱心石”．毕达哥拉斯定理已有4000多年的历史，它的证明方法多达400余种，这中间有著名画家达·芬奇的杰作，也有一位盲童的贡献，甚至爱因斯坦也和毕氏定理有过邂逅．有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理得内容，而未讲任何证明．他的侄儿理解所涉及的关系，并感到基于一种理由可推导出来．．．．．．．这个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理．他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明．为此他久久地激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者的首次快乐．据说毕氏学派为了纪念这一发现，要杀掉一百头牛来庆贺．但是，他们却没有想到，由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入困境．根据“毕达哥拉斯定理”，单位正方形对角线的长应为2，那么2是什么性质的数呢？名人名言第八讲平面几何技巧（一）三点共线是平面几何中典型的问题，证明点共线的思路：1．从角考虑：证得以中间一点为顶点，两侧两点所在射线所成的角为平角；证得以中间一点为顶点且作一直线，其余两点所在射线构成对顶角；证得以一点为顶点且作一射线，其余两点所在射线与前一条射线所成的两个角相等．2．从线考虑：证第三点在过另两点的直线上；证得三点两两连线与同一直线垂直或平行；证得三点两两连结的线段有和或差关系．3．从形考虑：证得三点所成的三角形面积为零；证得以一点为位似中心，其余两点为位似变换的一对对应点．4．从有关结论考虑：注意到梅涅劳斯等．5．从方法上考虑：可考虑反证法、同一法、面积法等．【例1】 如图，在直角三角形ABC 中，CH 为斜边AB 上的高，以A 为圆心，AC 为半径作圆A ，过B作圆A 的任一割线交圆A 于D ，E ，交CH 于F （D 在B ，F 之间）；又作ABG ABD ∠=∠，G 在圆周上，G 与D 在AB 两侧．求证：E ，H ，G 三点共线． G HD FE CBA【例2】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，点E 在ABC △的外接圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE EC >．连接EC并延长至点F ，使得EAC CAF ∠=∠，连接BF 交圆Γ于点D ，连接ED ，记DEF △的外心为O ．求证：A C O ，，三点共线．【例3】 H 是ABC △垂心，P 是任一点，由H 向PA ，PB ，PC 引垂线HL ，HM ，HN 与BC ，CA ，BA 的延长线相交于X ，Y ，Z ．证明：X ，Y ，Z 三点共线．例题精讲ΓF E D CB A O36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |HZYX NMLP C B A【例4】 设A ，B ，C ，D 是平面上四点，如果对平面上任何点P 都满足不等式：PA PD PB PC ++≥，那么B ，C ，A ，D 四点共线．【例5】 如图，设四边形ABCD 外切于圆O ，对角线AC 和BD 中点分别为M ，N ．试证：M ，N ，O 三点共线． N M ODCB A【例6】 如图，设AC ，CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点M ，N 分别内分AC ，CE ，使33AM CN AC CE ==，求证：B ，M ，N 共线．N MFED C B A【例7】 已知,C D 是以AB 为直径的半圆O 上的两个点，弦,AD BC 交于点E ，,F G 分别是,AC BD 延长线上的点，且满足AF BG AE BE ⋅=⋅，若,AEF BEG ∆∆的垂心分别为12,H H ， 证明⑴12,AH BH 的交点K 在圆O 上；⑵,,F K G 三点共线．1． 锐角ABC △中，B C ∠=∠，O H 、分别是其外心、垂心，求证：BOH △的外心在直线AB 上．大显身手36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |2． 如图，作ABC △的外接圆，连接弧AC ︵中点与AB ︵和BC ︵中点的弦，分别与AB 边交于D ，与BC 边交于E ．证明：D ，E ，三角形内心共线． I E DMN LC BA。
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
第1讲：集合的概念及表示方法【开心自测】1、请你列出“小于10”的自然数：2、请你写出方程2230x x --=的解：3、咱们班性格开朗的女生全体是否确定一个集合？【考纲要求】1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.在具体情境中，了解空集的含义.3.掌握常用数集及其专用符号.4.掌握集合的表示方法，通过实例体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问题中选择适当的方法表示集合.【教学重难点】集合的概念和表示方法【重难点命题方向】集合的概念及表示方法自主预习：（1）集合的概念：一般的，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对象的____构成的集合（或集）.构成集合的_____叫做这个集合的元素（或成员）.（2）集合与元素的记法：集合一般用_______字母来表示，集合中的元素一般用______字母来表示.（3）元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素，就说__________,记作______读作_______;如果a 不是集合A 的关系，就说__________,记作_______读作_______.（4)空集的概念：把____________________的集合叫做空集，记作________.（5）集合元素的性质特征：①___________；②___________；③___________.（6）集合的分类： 含有有限个元素的集合叫做________;含有无限个元素的集合叫做_________.（7）常用数集及其表示符号：自然数集记作__,正整数集记作__，整数集记作__，有理数集记作__，实数集记作__.（8）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做___________.（9）特征性质描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ，而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个_______.于是集合A 可以用它的特征性质()p x 描述为_______________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做_____________,简称描述法.【基础限时训练】（1.1.1）1.下列各组对象能构成集合的是（ ）A.本班视力较差的学生B.本班成绩较好的学生C.本班身材较高的学生D.本班今年9月入学的所有学生2.有下列四个结论：①φ∈0；②∈0N ；③∈a N ，则∉-a N ④若∈a Z ，∈b Z ，则∈-b aZ,其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.由n )1(-（∈n N ）构成的集合中含有的元素个数为（ ）A.1B.2C.3D.无数个4.用符号“∈”或“∉”填空：0___N; 4-___Z; -1___φ; 3___Q; π___R; 0___R. 5.由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A.1B.-2C.6D.2课堂互动：一．集合的的概念[例1]下列各组对象能否构成一个集合？1、所有的好人；2、不超过20的非负数；3、一中高三年级一班16岁以下的学生；4、直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；5、高个子的人；6、充分接近3的实数；巩固提高下列语句是否能确定一个集合？（1）你所在班级中，体重超过75kg 的学生的全体；（2）大于5的自然数的全体；（3）本校高一（23）班性格开朗的全体女生；（4）质数的全体；（5）平方后等于-1的实数的全体；二．元素与集合的关系[例2]用符号“∈”或“∉”填空：（1）1____ N; 0____N; -3____N; 0.5____N; 3____N.（2）1____Z; 0____Z; -3____Z; 0.5____Z; 3____Z.（3）1____Q; 0____Q; -3____Q; 0.5____Q; 3____Q.（4）1____R; 0____R; -3____R; 0.5____R;3____R.巩固提高用符号“∈”或“∉”填空：（1）-3____N ；（2）3.14____Q ；（3）31_____Z ；（4）0_____ φ；（5）3_____Q ； （6）21-_____R ；（7）1_____+N ；（8）π_____R. 三．空集的概念[例3] 写出下列集合中元素的个数.1、在实数范围内，方程012=+x 的解集；2、方程组0103{=+-=++y x y x 的解集； 3、小于1的自然数所组成的集合；4、小于等于0的正整数所组成的集合.巩固提高关于x 的方程02=++b ax x ，当a 、b 满足什么条件时，解集为空集？含有一个元素？含有两个元素四．集合中元素特征的应用[例4]已知集合A 是由三个元素a-2,22a +5a ,12构成的，且-3∈A ，求a巩固提高以方程0652=+-x x 和方程022=--x x 的解集为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1 B.2 C ．3 D.4课堂检测1.下列各组对象可构成集合的是（ ）A.与1非常接近的数B.我校学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.本班视力差的男生2.若以正实数,,,x y z w 四个元素构成集合A ，以集合A 中四个元素为边长构成的四边形可能是（ ）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形3.用符号∈或∉填空（1）-1____N ；（2）π____Q ；（3）17_____Z ；（4）0_____ φ；（5）；（6）0_____N . 4.设集合A 中有且仅有三个元素1，2,x x x -，求x 所满足的条件.课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
第2讲：集合之间的关系及运算【考纲要求】（1） 理解集合之间包含为相等的定义，能识别给定几何的子集 （2） 在具体情境中了解空集的含义（3） 理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集（4） 能使用维恩（venn ）图表达集合的关系及运用，体会直观图示对理解抽象概念的作用 【教学重难点】集合之间的关系及运算 【重难点命题方向】集合的运算自主预习： （1）子集的概念：一般地，如果集合A 中____________元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的_________，记作__________或________,读作“________”，或“__________”. （2）真子集的概念：如果集合A 是集合B 的_______，并且集合B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的_________，记作__________或________,读作“________”，或“__________”.（3）集合相等的概念：一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素都是集合A 的元素，那么我们就说______________，记作__________. （4）空集的规定：空集是任何集合的_________，是任何非空集合的__________.（5）子集的基本性质：①反身性：任何一个集合都是______的子集，即___________; ②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果,A B B C ⊆⊆,则_________; 对于集合A ，B ，C ，如果A ⊂≠B ,B ⊂≠C ,则_________.（6）集合关系与其特征性质之间的关系：设(){}A x p x =，(){}q B x x =，则有（7）交集与并集的概念： B =_____________B =_____________（8）B _____AB _____AA A =________ A A =________A φ=________ A φ=________B ⇒A B =_____B ⇒A B =_____（9）补集的运算性质：对任意集合A ，有⑴U AC A =________;⑵U A C A =__________;⑶()U U C C A =____________.（10）全集的概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是__________的子集，那么称这个______________为全集，通常用符号_________表示. 课堂互动：一．确定已知集合的子集[例1]写出集合{}123A =，，的所有子集和真子集.巩固提高1.写出集合{}0123，，，的所有子集.2.已知集合M 满足{}{}1212345M ⊆⊆，，，，，，写出集合M .二．判断集合之间的关系[例2]说出下列每对集合之间的关系： （1）{}12345A =，，，，，{}135B =，，；（2）{}{}21,1P x x Q x x ====；（3）{}{}C x xD x x ==是奇数，是整数巩固提高1.用适当的符号（∈∉=，，，⊂≠，⊃≠）填空：（1）3________{}1357，，，；（2）5________{}5；（3）{}a ______{},,a b c ； （4）{},,a b c _______{},a b ；（5）φ______{}0；（6）{}123，，_____{}321，，； （7）{}2，4，6，8______{}2，6；（8）{}1_______{}{}{}{}1212φ，，，，. 2.指出下列各对集合之间的关系，并判定它们的特征性质之间的关系： （1）{}12A x x =是的约数，{}36B x x =是的约数；（2）{}3A x x =>，{}5B x x =>；（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形；（4）{}A x x =是等边三角形，{}B x x =是等腰三角形{}A x x =是等腰直角三角形{}B x x =是有一个角是45的直角三角形；（6）{}1A x x =>，{}2B x x =≥三．集合基本关系的应用[例3] 已知集合{}14A x x =≤<，{}B x x a =<，若A ⊆B ，求实数a 的取值集合.巩固提高已知集合{}2560A x x x =-+=，{}1B x mx ==，若B ⊂≠A ，求实数m 的取值集合.四．求两集合的交集[例4]求下列每对集合的交集： （1）{}2230A x x x =+-=，{}2430B x x x =++=；（2） {}1357A =，，，，{}2468B =，，，. 巩固提高求下列每对集合的交集：（1）{}A x x =是奇数，{}B x x =是偶数；（2）(){}(){}46,327A x y x y B x y x y =+==+=，，；（3）{}A x x =是等腰三角形，{}B x x =是直角三角形.五．求两集合的并集[例5]已知{}Q x x =是有理数，{}Z x x =是整数，求Q Z .巩固提高1.已知{}A x x ==0，{}N x x +=是正整数，求A N +.2.求下列两个集合的交集与并集： （1）{},,,A a b c d =，{},,,B b d e f =；（2）{}2160A x x =-=，{}2120B x x x =--=；（3）(){}(){}231,323A x y x y B x y x y =+==-=，，；（4）{}A x x =是锐角三角形，{}B x x =是钝角三角形.六．求给定集合的补集[例6]已知{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =， 求U C A ,U A C A ,U A C A .巩固提高1.设{}U x x =是小于9的正整数，{}1,23A =,，{}3456B =，，，，求U C A ，U C B . 2.已知全集U R =,{}11A x x =-<<,求U C A ,U UC A ,U U C A ,U A C A ,U A C A .七．已知集合的运算求参数问题[例7] 设集合{}2,1,3A a a =+-，{}23,21,1B a a a =--+，若{}3AB =-，求实数a 的值.巩固提高1. 已知集合{}22,3,42A a a =++，{}20,7,42,2B a a a =+--，且{}37AB =，，求实数a 的值.2. 设集合{}3A xa x a =≤≤+,{}15B x x x =<->或,当为何值时⑴A B φ=；⑵A B B =.【基础限时训练】1. 用适当的符号（∈∉=，，，⊂≠，⊃≠）填空：（1）φ_____{}24x R x ∈=-；（2）φ_____{}2210x x x ++=；（3）{},,a b c _____{}c,,b a .2.已知集合,3k A x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,,6k B x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A ⊂≠B B. A ⊃≠B C. A =B D. A 与B 无公共元素3.设集合{}2A a =，，{}22,2B a =-，若A =B ，则实数a =____________.4.指出下面各集合之间的关系，并用维恩图表示：{}A x x =是四边形，{}B x x =是平行四边形，{}C x x =是菱形，{}D x x =是矩形，{}E x x =是正方形.5. 设集合{}1A x x =>-,{}22B x x =-<<，则A B =________，A B =_______.6.已知集合P 满足{}{}464P=，，{}{}81010P=，，{}{}2122P=，，{}24681012P ⊆，，，，，，则P 等于（ ）A.{}24，B. {}2410，，C. {}6812，，D. {}24681012，，，，，7.已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且R A （C B ）=R ,求实数a 的取值范围.8. 设{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,5A =，{}2345B =，，，，求U C A ，U C B ，U U C A （）（C B ），U U C A （）（C B ）,()U C A B ,()U C A B .【拔高限时训练】1、 已知集合{}21,A x x k k Z ==+∈，{}21,B x x k k Z ==-∈，则（ ）A. A =BB. A ⊃≠BC. A ⊂≠BD. 以上均不对2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若φ⊂≠A 时，则A φ≠.其中正确的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 33. 已知{}210x x -=⊂≠{}101A ⊆-，，,集合A 的子集个数（ ） A.3 B. 4 C.6 D. 8 4.设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ） A.1 B. -1 C.2 D. -25.若{}0123478B =，，，，，，{}03479C =，，，，,则满足,A B A C ⊆⊆的集合A 有_______个.6.设{}210M x x =-=， {}10N x ax =-=，若N M ⊆，则实数a 的值为_________.7.若{}{}20,13x x a a N x x -=∈⊆-<<，则实数a 的所有取值组成的集合为_______________.8. 设集合{}2560A x x x =-+=，(){}22210B x x a x a a =-+++=，若B A ⊆，求实数a的值.9.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}12B =，，则U A （C B ）=（ ） A.{}2 B.{}5 C. {}34， D. {}2345，，， 10.已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若MN N =，则（ ）A. U U C M ⊇（）（C N ）B. U M ⊆（C N ）C. U U C M ⊆（）（C N ）D. U M ⊇（C N ） 11. 设集合{}12A =，，则满足{}1,2,3AB =的集合B 的个数为A.1B. 3C.4D. 8 12.已知全集(){},,U x y x R y R =∈∈，集合()4,32y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，(){},32B x y y x ==-，则U C A B =（）_____________.13.已知集合{}21,M y y x x R ==+∈，{}21,N y y x x R ==-+∈，则M N =_____.14.若集合{}010A x Z x =∈<<,{}134B =，，，则A C B =_________. 15.设集合{}12A x x =-≤<,{}B x x a =≤,若AB φ≠，则实数a 的集合为_______.16. 设全集U R =，{}312A x m x m =-<<，{}13B x x =-<<，若A ⊂≠U （C B ），求实数m 的取值范围.课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
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方便更改课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 二、主要知识点 1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素： ． (3)函数的表示法： ．(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同． 2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 三、经典例题题型一 函数与映射的概念【例1】 下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝Q ，f ：a →b ＝1a ＋1； ②A ＝{x |x ＝n ，n ∈N *}，B ＝{y |y ＝1n ，n ∈N *}，f ：x →y ＝1a；③A ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{平面M 内的矩形}，B ＝{平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【探究1】 (1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A 、B 为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时 【变式1】 (1)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x(2)设a 在映射f 下的象为2a＋a ，则20在映射f 下的原象为________【例2】 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x >0，x <0.(3)f 1：y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤1，2， 1<x <2，3， x ≥2.f 2：x x ≤11<x <2 x ≥2y123(4)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【探究2】 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．【变式2】 下列各对函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2题型二 函数的解析式【例3】 求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )； (2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )； (3)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f (1x)＝3x ＋2，求f (x )．【探究3】 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x)或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【变式3】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x －2)＝2x 2－9x ＋13，求f (x )的解析式．(3)若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为____．题型三 分段函数与复合函数【例4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ∈－∞，0，x 2，x ∈[0，＋∞.g (x )＝x ＋1，求：(1)g [f (x )]； (2)f [g (x )]．探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】 (1)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4x ≤4，－log 2x ＋1x >4，若f (a )＝18，则f [f (a ＋6)]＝________.题型四 抽象函数【例5】 已知偶函数f (x )，对任意的x 1，x 2∈R 恒有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2x 1x 2＋1，则函数f (x )的解析式为________．【探究5】 抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题． (2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】 设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，对任意x ，y ∈R 恒有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！ 4．分段函数分段算，然后并到一起保平安． 五、课堂作业1．已知f (lgx )＝1x，则f (1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min 收费0.2 元；超过3 min以后，每增加1 min 收费0.1 元，不足1 min 按1 min 计费，则通话收费s (元)与通话时间t (min)的函数图像可表示为图中( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．24．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是________． 5．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝______.6．如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为 . ②分式函数中分母 . ③偶次根式函数被开方式 . ④一次函数、二次函数的定义域均为 . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为 ． ⑥指数函数的定义域为 . 对数函数的定义域为 ． 2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 ．(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是 ． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 ． (5)y ＝x log a (a >0且a ≠1)的值域是 .三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为________．(2)函数y＝1log a x－1(a>0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为________．【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．题型二 函数的值域【例3】 求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋4－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.【探究3】 求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法． 【变式3】(1)函数的值域为( )A ．(－∞，12]B ．[12，1]C ．[12，1)D ．[12，＋∞)(2)函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域是________．(3)函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．题型三 函数定义域与值域的应用【例4】 已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．【探究4】 已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】 已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用换元法．2．形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(其中a 1，a 2不全为0且a 2x 2＋b 2x ＋c 2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝2x－12x ＋1或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数，可用反函数法或分离常数法．5．形如y ＝x ＋kx(k >0，x >0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业1．函数的定义域是( )A ．(－3，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，－2)D ．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则总不改变函数f (x )的值域的代换是( )A ．h (t )＝10tB ．h (t )＝t 2C ．h (t )＝sintD ．h (t )＝log 2t4．函数y ＝4x 2－3x －43|x ＋1|－2的定义域为________．5．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x 的值域为________．课题3 函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．【变式1】设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y ＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间．(－x2－2x＋3)；(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log12（4）y＝3x2－6ln x.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝13－2x－x2； (2)f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)； (3)y＝x－ln(x－1)．题型三利用单调性求最值【例3】求函数f(x)＝x－1x在[1,3]上的最值．【探究3】 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．【变式3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．题型四 单调性的应用【例4】 (1)已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x 2＋2x ＋3)<f (6)的x 的取值范围为________．(2)已知函数y ＝a log (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________． 【探究4】 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用．【变式4】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________．(2)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －2)＜3.四、本课总结1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先． 2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．3．对于对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)，单调增区间：(－∞，－a ]，[a ，＋∞)；单调减区间：[－a ，0)，(0，a ]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．5．若f (x )具有对称轴x ＝a ，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相反的单调性； 若f (x )具有对称中心(a ，b )，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相同的单调性． 6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题 求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例1】 已知函数y ＝(e x－a )2＋(e －x－a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．2.换元法【例2】 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)求函数y ＝x －4－x 2的值域．3.不等式法【例3】 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．4.单调性法【例4】 设a >1，函数f (x )＝x log a 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 5.平方法【例5】 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14 B.12 C.22D.326.数形结合法【例7】 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．五、课堂作业1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －12．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－33．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )4．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)5．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．课题4函数的奇偶性一、课时目标1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2. 掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．二、主要知识点1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f (x )，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称； (2)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝ ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ． (4)若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，反之也成立． 4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x＋a －x为 函数，函数f (x )＝a x －a －x为 函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为 函数；(3)函数f (x )＝alog 1－x1＋x为 函数； (4)函数f (x )＝a log (x ＋x 2＋1)为 函数． 5．周期函数若f (x )对于定义域中任意x 均有 (T 为不等于0的常数)，则f (x )为周期函数．6．函数的对称性若f (x )对于定义域中任意x ，均有f (x )＝f (2a －x )，或f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数f (x )关于 对称．三、经典例题题型一 ：判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝x 3＋x ＋1；(3)f (x )＝x 2－|x |＋1 x ∈[－1,4]；(4)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(5)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；(6)f (x )＝(x －1)1＋x1－xx ∈(－1,1)．【探究1】 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于±f (x )．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 【变式】1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝ln 2－x2＋x；(2)f (x )＝1a x－1＋12(a >0，且a ≠1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ≥0，x 2＋2xx ＜0.题型二 奇偶性的应用【例2】 (1)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，f (x )的解析式为__________________________．(2)f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为增函数，则不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为__________．(3)函数f (x ＋1)为偶函数，则函数f (x )的图像的对称轴方程为__________． 【探究2】 奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )； 若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )． (2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】 (1)若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f (π)<f (a )的实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝f (x －2)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性【例3】设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．(2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．【例4】(2014·衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1．(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性．(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f (x )均可写成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )和的形式，则g (x )＝f x －f －x2，h (x )＝f x ＋f －x2.(2)若函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )＋f (－x )为偶函数，f (x )－f (－x )为奇函数，f (x )·f (－x )为偶函数．3．函数f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )⇔f (2a －x )＝f (x )．4．(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )周期T ＝2a . (2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )周期T ＝2a .5．(1)若f (x )关于x ＝a ，x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数且T ＝2(b －a )． (2)若f (x )关于(a,0)，(b,0)都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝2(b －a )． (3)若f (x )关于(a,0)及x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝4(b －a )．五、课堂作业1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x－e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R2．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图像上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )4．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋bsinx ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A．－5 B．－1C．3 D．46．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.课题5 二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝ .(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a ∈[m，n]，则f(x)max＝max{}f m，f n，f(x)min＝f(－b2a)．(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 .(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 .(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 .(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是 .(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是 .(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是.三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．【探究1】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，32)与x 轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________．题型二 二次函数的值域和最值 【例2】 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋4x －2，x ∈R ；(2)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－5,0]；(3)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－6，－3]；(4)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[0,2]．【探究2】 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的值域问题，均可使用配方法． 【变式2】 求下列函数的值域：（1）y ＝－x 2＋4x －1； (2)y ＝2－4x －x 2(0≤x ≤4)．【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【探究3】 (1)求二次函数f (x )在某区间[m ，n ]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m ，n ]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．本题中的对称轴为x ＝－a2，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论． 【变式3】 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法．(2)韦达定理法．(3)求根公式法．具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．【变式4】(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．四、本课总结1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．(1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得．4．用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．五、课堂作业1．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 2．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝03．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为________．4．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )5．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( )A．x0≥b B．x0≤aC．x0∈(a，b) D．x0∉(a，b)6．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是( ) A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1课题6 指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质(1)a s·a s＝.(2)(a s)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质(1)当n为奇数时，有na n＝；当n为偶数时，有na n＝ .(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．(3)当0<a<1时，y＝a x在定义域内是；当a>1时，y＝a x在定义域内是 (单调性)；y＝a x的图像恒过定点．(4)当0<a<1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈；当a>1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1 计算：【探究1】 化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值． 【变式1】题型二 指数函数的图像及应用 【例2】 (1)已知函数y ＝(13)|x ＋1|.①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x 取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像可能是( )(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及运用【探究3】 (1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y ＝f [g (x )]的值域应先求内层u ＝g (x )的取值范围，再根据u 的取值范围去求y ＝f (u )的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得． 【变式3】求下列函数的定义域与值域．【例4】 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x .(1)求函数的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.。
【第1讲】 乘法公式【基础知识回顾】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +． 【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．【第3讲】 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +【解析】（1=（2220)x x x =-<．(3) 原式=2|1|211+-=--=归纳总结：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥ 【解析】（10)a ==≥；(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【例1-2】（1(x=-x的取值范围是；（2=成立的条件是（）A.2x≠ B.0x> C.2x> D.02x<<【解析】（1|3|(x x=-=-|3|(3)x x-=-(3)0x∴-≥35x∴≤≤（2）由于20xx≥⎧⎨->⎩2x∴>。
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
