暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分

第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p 是q 的充分条件；2.p 的充分条件是q .五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是()A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件【答案】AC【解析】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误；一元二次方程有实根则0≥ ，反之亦然，故C 正确；当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≥【解析】由已知可得{}{}13x x x x m ≤<⊆<，所以，3m ≥.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是()A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是s 的充分不必要条件D ．q 是s 的充要条件【答案】BD 【解析】由题意得，p r ⇒，r p ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，所以q s ⇔，s r ⇔，q r ⇔，所以r 是s 的充要条件，q 是s 的充要条件，r 是q 的充要条件，故选BD.【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为260x x --=，故可得2x =-或3，若260x x --=，则不一定有3x =，故充分性不满足；若3x =，则一定有260x x --=，故必要性成立，综上所述：“260x x --=”是“3x =”的必要不充分条件.故选B .2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由3x <不能推出13x -<<，例如2x =-，但13x -<<必有3x <，所以p ：3x <是q ：13x -<<的必要不充分条件.故选B.3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是()A ．3x >是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形【答案】B【解析】A.由()5,+∞ ()3,+∞，所以3x >是5x >的必要不充分条件，故A 错误；B.1x ≠±时，则1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是1x ≠的充要条件，故B 正确；C.q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；D.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误.故选B4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()A ．0m >B ．1m >C ．3m >D ．4m >【答案】CD 【解析】由A B ⊆得13m +≥，即2m ≥，故能使A B ⊆成立的充分不必要条件有CD.故选CD.5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是()A ．8-B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【解析】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ³，所以7k ≤-或1k ³.故选ACD6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)【答案】0x >，0y >(答案不唯一).【解析】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>(答案不唯一)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合{240A xx =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】①{|22,N}{0,1}A x x x =-<<∈=，故真子集个数为2213-=个，错误；②由256(6)(1)0x x x x --=-+=，可得6x =或1x =-，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误；③由2()f x x x a =++开口向上且对称轴为12x =-，只需(0)0f a =<即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当0a ≠，0b =时，0ab ≠不成立；当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，正确.故答案为③④8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤＝[)(]2,24,5- ；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以a 的范围是1319,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题，将2x ＝代入240x ﹣＝，等式成立，所以“2x ＝”是“240x ﹣＝”的充分条件；求解240x ﹣＝，得到2x ±＝，故“2x ＝”是“240x ﹣＝”的不必要条件；故选A2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是()A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0【答案】A【解析】设p:0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由:0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选A3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】若“1x ≠或1y ≠”则“2x y +≠”为真，等价于若“2x y +=”则“1x =且1y =”为真，显然该命题为假，∴“1x ≠或1y ≠”推不出“2x y +≠”，反之，若“2x y +≠”，则“1x ≠或1y ≠”为真，等价于若“1x =且1y =”则“2x y +=”为真，显然成立，∴“2x y +≠”可推出“1x ≠或1y ≠”，∴“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的必要非充分条件，故选B4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】在△ABC 中，若AB 2+BC 2=AC 2，，则90B ∠=︒，即△ABC 为直角三角形，若△ABC 为直角三角形，推不出90B ∠=︒，所以AB 2+BC 2=AC 2不一定成立，综上，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选A5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()A ．:325,:235p x q x +>-->-B ．:2,2,:p a b q a b ><>C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解【答案】CD【解析】对于A ，:3251p x x +>⇒>，:2351q x x -->-⇒<，∴p 推不出q ，q 推不出p ，p 是q 既不充分也不必要条件；对于B ，:2,2:p a b q a b ><⇒>；当1,0a b ==时，满足a b >但q 推不出p ，故p 是q 的充分不必要条件；对于C ，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要条件；对于D ，:0:p a q ≠⇔关于x 的方程1ax =有唯一解，故p 是q 的充分必要条件.故选CD.6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有()A ．A B A = B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD 【解析】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选BCD ．7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则()A ．p 是q 的充分条件B ．p 是s 的必要条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【答案】AD【解析】由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.故选AD8.下列命题：①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．【答案】③【解析】①2x >且3y >时，5x y +>成立，反之不一定成立，如0x =，6y =，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是240b ac -≥，故②错误；③当1x =或2x =-时，方程220x x +-=一定成立，反过来，方程220x x +-=成立时，1x =或2x =-，故③正确．9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】()(),41,-∞-+∞U 【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.【解析】(1)假设存在满足条件的实数a ，则B A =，即11x =-，23x =.因为1x ，2x 是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根，所以2131a -⨯=-+，即24a =，解得2a =±，即当2a =±时，“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.(2)由题意可知，关于x 的方程22210x x a --+=的两根分别为1a -和1a +.因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A .当11a a ->+，即0a <时，{}11B x a x a =+<<-，则11,13,a a +>-⎧⎨-<⎩解得20a -<<；当11a a -<+，即0a >时，{}11B x a x a =-<<+，则11,13,a a ->-⎧⎨+<⎩解得02a <<.综上，a 的取值范围是{20a a -<<或}02a <<.。

新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。

第1讲数与式910+⨯(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图： 【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系． 例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ； (3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集： 【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作BA (或AB)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A B ，BC ，则AC ．例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集 【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。

进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

练习主题 一元二次方程第一节：一元二次方程根的判别式 一、知识对接：初中阶段我们初步学习了：1、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac.定理1：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＞0， 方程有两个不相等的实数根. 定理2：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△=0， 方程有两个相等的实数根. 定理3：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＜0，方程没有实数根.定理4：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个不相等的实数根， △＞0. 定理5：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个相等的实数根， △=0.定理6：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程没有实数根， △＜0.例1、已知关于x 的方程x 2-4k 2+x+k=0有两个不相等的实数根，化简∣-k-2+4k 4-k 2+∣.对应练习：1、已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长. （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.巩固练习：1、已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2-1）-2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2、关于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53、如果关于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，那么m的取值范围是 .4、设下列三个一元二次方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+1+a2=0，x2+2ax-2a+3=0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 .5、已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=∣m∣.（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.6、若方程∣x2-5x∣=a，有且只有两个不相等的实数根，求a的取值范围.7、若方程∣x 2+ax ∣=4，有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.8、a 、b 为实数，关于x 的方程∣x 2+ax+b ∣=2有3个不相等的实数根. （1）求证：a 2-4b-8=0；（2）若该方程的3个不等实根恰为一个三角形3个内角的度数，求证：该三角形必有一个内角为60°.第二节：一元二次方程根与系数的关系 初中知识回顾：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个实数根，则x 1=a 2ac 4-b b -2+，x 2=a2ac4-b -b -21x +=2x a 2ac 4-b b -2++a 2ac 4-b -b -2=a b -， 1x ·=2x a 2ac 4-b b -2+·a 2ac 4-b -b -2=24a 4ac =ac定理：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根为1x ，2x ，那么：1x +=2x a b -，1x ·=2x ac说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是△≥0．例1、已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.例2、若x 1、x 2是方程x 2+2x-2012=0的两个根，试求下列各式的值. （1）2221x x +； （2）21x 1x 1+； （3）（x 1-5）（x 2-5）； （4）∣x 1-x 2∣例3、设m 是不小于-1的实数，关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2. （1）若2221x x +=6，求m 的值；（2）求222121x -1mx x -1mx +的最大值.对应练习：1、关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）A. 2B. 0C. 1D. 2或02、若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2-ab+b 2=18,则b a +ab的值是（ ）A. 3B. -3C. 5D. -53、若实数a ≠b ，且a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0，则代数式1-a 1-b +1-b 1-a 的值为（ ） A. -20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或204、若方程2x 2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，则k 的值是 .5、设x 1、x 2是方程x 2+qx+p=0的两实根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两实根，则p=_____，q=_____．第三节：根的判别式及根与系数的关系的应用例1、（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x 2-3x+1的交点的个数；（2）若直线y=2x+b 与抛物线y=x 2有两个不同的交点，求b 的取值范围.例2、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1、x 2满足∣x 1∣=x 2．对应练习：1、关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ）A. 1B. -1C. 1或-1D. 22、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2-2tx+t 2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）A. 7B. 11C. 12D. 163、已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于点O ，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2+（2m-1)x+m 2+3=0 的根，则m 等于（ ）A. -3B. 5C. 5或-3D. -5或34、已知a 、b 是一元二次方程x 2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b ）（a+b-2）+ab 的值等于_____． 5、已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2. （1）求k 的取值范围；（2）若∣x 1+x 2∣=x 1x 2-1，求k 的值.6、若x 1、x 2是关于x 的方程x 2-（2k+1）x+k 2+1=0的两个实数根，且x 1、x 2都大于1． （1）求实数k 的取值范围； （2）若21x x 21 ，求k 的值．。

第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。

题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。

变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。

模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。

02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源

初升高衔接班补充初高中衔接材料（一）恒等式变形：1、因式分解 2、配方 3、分式和根式（二）方程与不等式1、一元二次方程的韦达定理 2、一元二次不等式3、分式不等式，绝对值不等式 （三）二次函数补充一：立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233b ab a b a b a +-+=+（4）()()2233bab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-例1：计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a例2：（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a （2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211x x x ++- （4）()()3211x xx x +++-例3．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x （4）4323-+x x例4：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值例5：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。

（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。

例6： 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x例7：已知0152=++a a ，试求下列各式的值：（1）a a 1+（2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +例8：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．补充二：十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++例1：分解因式（十字相乘法）（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（2）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x（6）6222++-xy y x （8）22592y xy x --例2：分解因式（分组分解法）（1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x（3）32933x x x +++例3：分解因式（1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（2）2221b ab a -+- （4）2215x x --（5）21252x x -- （6）2524x x +-（6）233+-x x （8）=-+2675x x（9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m例4：用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-22112补充三：根式与分式10)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． 2．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n pmn p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例5 计算(没有特殊说明，本题中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x≥（3（4）（5）例6设x y==33x y+的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+-补充四：一元二次方程的韦达定理对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 用配方法可变形为：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 因右边大于0.所以（1） 当042>-=∆ac b 时，方程有根ab x a b x 2,221∆--=∆+-=（2） 当042=-=∆ac b ，方程有根abx x 221-== （3） 当042<-=∆ac b ，方程没有实数根。

第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x 解：原式=22]31)2([+-+x 913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明:3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644mm +=+（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331x x +的值．解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]311()111(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x 说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111(()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b ac a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-=①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)+(2)1)x ≥解：(1)原式=2||1|211-+-=-=(2)原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)-+解：(1)原式6=--(2)原式=ab=(3)原式=x -+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如或被开方数有分母(如)形式()，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中2+2-)．【例8】计算：(1)21)(1++-+-(2)+解：(1)原式=22(1()21a b a+--+=--(2)原式=+=a b=-说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y==，求33x y+的值．解：22(27714,123x y x y xy+===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy+-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例10】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x ++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．A组1a =-成立的条件是()A ．a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是()A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算：(1)2(34)x y z --(2)2(21)()(2)a b a b a b +---+(3)222()()()a b a ab b a b +-+-+(4)221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(1)(2)a(3)(4)+-5(1)102m +-(2)0)x y ÷>>B组1．若112x y -=，则33x xy yx xy y+---的值为()：A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1)+--(2)1÷-3．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求+6．已知11120,19,21202020a x b x c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设12x -=，求4221x x x ++-的值．8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-11．化简或计算：(1)3-÷(2)-(3)-(4)+÷第一讲习题答案A 组1．C 2．A3．(1)2229166824x y z xy xz yz++--+(2)22353421a ab b a b -++-+(3)2233a b ab --(4)331164a b -4．2()22 12a b +----5．B 组1．D 2．a c b +--3．4．3,2-5．±6．37．3-8．4328243216x x x x -+-+9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z---+++11．3,3-。

第27讲正切函数的性质与图象1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。

一、正切函数的图象与性质1、定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2、值域：R3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4、奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5、单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增二、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-∞+∞3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数tan y x =有意义，即,2x k k z ππ≠+∈。

而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如tan x a >的不等式的步骤如下：（1）作图象：作在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的正切函数图象；（2）求界点：求在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a =成立的值；（3）求范围：求,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a >成立的x 范围；（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。

四、求函数tan()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ都是常数）的单调区间的方法（1）若0ω>，由于tan y x =在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令,22k x k k Z πππωϕπ-<+<+∈，解得x 的范围即可；（2）若0ω<，可利用诱导公式先把tan()y A x ωϕ=+转化为tan[()]tan()y A x A x ωϕωϕ=--+=--+，即先把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可。

目录1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法2.3.2一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2几种特殊的三角形3．3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2圆幂定理及其应用1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．练习1、如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________．2、下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b =（B ）若a b >，则a b>（C ）若a b <，则a b <（D ）若a b =，则a b=±3．求值：|x －5|－|2x －13|＞5．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m +22)164(m m =++)；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 等是无理式，212x ++，22x y ++例1将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥；（30)x <．解：（1=；（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2(3-．解法一：(3÷＝33393+-＝1)6+＝12+．例3试比较下列各组数的大小：（1；（2和.解：（11--==，11101==，+>，-（2）∵1==又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜.例4化简：20172018⋅．解：20042005+⋅-＝20042004+⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-．例5化简：（1；（21)x <<．解：（1）原式===2=2=-．（2）原式1x x =-，∵01x <<，∴11x x>>，所以，原式＝1x x-．例6已知x y ==，求22353x xy y -+的值．解：∵2210x y +=+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空：（1＝_____；（2(x =-，则x 的取值范围是_____；（3）-_____；（4）若2x ==________．2．选择题：等式22-=-x x x x成立的条件是（）（A ）2x ≠（B ）0x >（C ）2x >（D ）02x <<3．若1b a =+，求a b +的值．4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2x A Bx x x x+=+++，求常数,A B的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A xx x x x x x x x++++++===++++，∴5, 24, A BA+=⎧⎨=⎩解得2,3A B==．例2（1）试证：111(1)1n n n n=-++（其中n是正整数）；（2）计算：111 1223910+++⨯⨯⨯；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有1111 2334(1)2n n+++<⨯⨯+．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n nn n n n n n+--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯11111(1()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+＝111111(()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+(112n n -+)；2．选择题：若322=+-y x y x ，则yx＝（）（A ）１（B ）45（C ）54（D ）563．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1.1A 组1．解不等式：(1)13x ->；(2)327x x ++-<；(3)116x x -++>．2．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3．填空：(1)1819(2(2-＝________；(2)2，则a 的取值范围是________；________．B 组1．选择题：（1=，则（）（A ）a b<（B ）a b>（C ）0a b <<（D ）0b a <<（2）计算等于（）（A （B （C ）（D ）2．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-________；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+____；3．已知：11,23x y ==，-的值．4．解方程22112()3()10x x x x+-+-=．5．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．1.2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2－1中的两个x 用1来表示（如图1.2－2所示）．（2）由图1.2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1.2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --－1－2x x 图1.2－1－1－211图1.2－2－2611图1.2－3－ay －byx x 图1.2－4－11x y 图1.2－5（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1)(y+1)（如图1.2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --．例3把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-+21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+---⎣⎦⎣⎦=(11x x +++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y -（B ）3x y-（C ）3x y+（D ）5x y-2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1.21．分解因式：（1）31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．2.1一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1,2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2(2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a )＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =+21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a--=，则有122222b b b bx x a a a a----+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+----====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ba-，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则2x 1＝－65，∴135x =-．由（－35）＋2＝－5k，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝－1．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求|x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵|x 1－x 2|2＝x 12+x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴|x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)(x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则12b x a -+=，22b x a--=，∴|x 1－x 2|=||||a a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则|x 1－x 2|＝||a 中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．②由①得a ＜4，由②得a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练习1．选择题：（1）方程033222=+-k kx x 的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A ）m ＜14（B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0（D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3．已知|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)(x 2－3)的值．习题2.1A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3（B ）3（C ）－2（D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（）（A ）0（B ）1（C ）－1（D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则|x 1－x 2|＝．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B组1．选择题:（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B ）3（C ）6（D ）9（2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x 的值为（）（A ）6（B ）4（C ）3（D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）（A ）α＋β≥12（B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1（D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1)x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1（B ）1（C ）－1（D ）02．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）|x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．6．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x x λ=，试求λ的值．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2．2二次函数2.2.1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．先列表：x …－3－2－10123…x 2…9410149…2x 2…18822818从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．图2.2-2xyO －1y ＝2x 2y ＝2(x ＋1)2y ＝2(x ＋1)2＋1y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1xO y类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a =ab ac a b x a 442(22-++所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2ba-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2.2－3和图2.2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3+-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2.2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图图2.2-3图2.2-4xO yx ＝－1A (－1,4)D (0,1)BC图2.2－5像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例3已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A ）y ＝2x 2（B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1（D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n＝．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y＝；当x时，y 随着x 的增大而减小．①图2.2－6②③3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝ca，即b a ＝－(x 1＋x 2)，ca＝x 1x 2．所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b cx x a a++)=a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1)(x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开，得y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2)（B ）(1，－2)（C ）(－1，2)（D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0)．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为。

第9讲函数的概念及其表示1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。

一、函数的定义及概念概念1、函数的定义：设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x 值，必须有且仅有唯一的y 值与之对应。

（1）特殊性：定义的集合A ，B 必须是两个非空数集；（2）任意性：A 中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B 中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A →B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、函数的三要素的理解（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则。

例如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方。

（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值。

4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。

初升高暑假数学衔接教材第一部分，如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。

高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。

第02讲：因式分解【考点梳理】考点一、公式法(立方和、立方差公式)3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++.2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【专题突破】一、单选题1．把多项式2221a a b --+分解因式，结果是（ ）A ．(1)(1)a b a b +-++B ．(1)(1)a b a b --+-C ．(1)(1)a b a b --++D ．(1)(1)a b a b ---+2．因式分解22a a b b --+=（ ） A ．()()1a b a b -+- B ．()()1a b a b -++ C ．()()1a b a b ++-D ．()()1a b a b +--3．把多项式22344x y xy x --分解因式得结果是（ ） A ．24()xy x y x -- B ．()2244x xy y x --C ．2(2)x x y --D ．()2244x xy y x --++4．下列因式分解完全正确的是 A ．2242(2)a a a a -+=-+ B ．2224(2)x y x y --=-+ C ．222816(4)a ab b a b -+=+ D ．222(2)()x xy y x y x y +-=-+5．下列各式运算正确的是 A ．245(1)(5)a a a a ++=++ B ．222249(23)a ab b a b ++=+C ．()3322()a b a b a ab b +=+-+ D ．()3322()a b a b a ab b -=--+6．阅读材料：对于多项式222x ax a ++可以直接用公式法分解为()2x a +的形式.但对于多项式2223x ax a +-就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在2223x ax a +-中先加上一项2a ，再减去2a 这项，使整个式子的值不变. 解题过程如下： 2223x ax a +-222223x ax a a a =+-+-（第一步） 222223x ax a a a =++--（第二步）()()222x a a =+-（第三步）()()3x a x a =+-（第四步）根据上述材料，回答问题.上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ） A ．提公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法D ．十字相乘法7．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()()x x y x y +- B ．()222x x xy y -+C ．()2x x y +D ．()2x x y -8．下列分解不正确的是（ ） A ．22816(4)x x x ++=+ B ．2222()a ab b a b ++=- C ．22111()3366x x x -+=- D ．222441(21)a b ab ab ++=+9．二次三项式22x bx c ++分解因式为()()231x x -+，则b ，c 的值分别为（ ） A ．3，1B ．6-，2-C ．6-，4-D ．4-，6-10．多项式22221x y y x --+因式分解的结果是（ ）. A ．22(1)(1)x y ++ B ．2(1)(1)(1)x x y -++ C ．2(1)(1)(1)x y y ++-D ．(1)(1)(1)(1)x x y y +-+-11．若多项式2317x x b +-分解因式的结果中有一个因式为4x +，则b 的值为（ ） A ．20B ．-20C ．13D ．-1312．下列分解因式错误的是（ ） A ．a 2-5a +6=(a -2)(a -3) B ．1-4m 2+4m =(1-2m )2C ．-4x 2+y 2=-(2x +y )(2x -y )D ．3ab +14a 2b 2+9=(3+12ab )213．多项式23x x a ++可分解为()()5x x b +-，则,a b 的值分别为（ ） A ．10和2-B ．10-和2C ．10-和2-D ．10和214．已知正数m ，满足m 4﹣7m 2+1＝0，则m +1m的值为（ ） A ．2B ．C ．D ．315．33333333(21)(31)(41)(20201)(21)(31)(41)(20201)---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+的值最接近（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．45二、填空题16．因式分解：22944x y y ---=_______.17．因式分解()()2222728x x x x +-+-=________18．因式分解3223x x y xy y --+=______. 19．已知x 为实数，且2213x x +=，则331x x +的值是________. 20．分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 21．因式分解()()2222223x x x x +-+-=________.三、解答题 22．分解因式（1）21424x x ++ （2）21536a a -+ （3）245x x +- （4）22x x +- （5）2524x x +- （6）2215y y -- （7）21024x x -- （8）2224x x +- 23．因式分解： （1）22672-+x xy y ；（2）()()22228215x x x x -+-+.24．分解因式（1）2576x x +- （2）2372x x -+ （3）210173x x -+ （4）261110y y -++ （5）2251712x xy y -- （6）221574x xy y +- （7）22135442x xy y --（8）22(21)x a x a -++（9）2222(6)11(6)5x x x x +-++ 25．选用适当的方法分解因式 （1）432673676x x x x +--+（2）4322212()x x x x x +++++ （3）432441x x x x -+++ 26．分解因式：(1)(y ﹣1)2﹣10(y ﹣1)+25； (2)(x +2)(x +4)+1；(3)x 4﹣18x 2y 2+81y 4； (4)(y 2﹣1)2﹣6(y 2﹣1)+9；(5)2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3； (6)(m 2﹣4m )2+8(m 2﹣4m )+16． 27．把下列各式分解因式： (1)233ax ay xy y -+-； (2)251526x x xy y -+-； (3)224202536a ab b -+-； (4)2(1)()x x y xy x +-+． 28．选用适当的方法分解因式（1）2231092x xy y x y --++-； （2）2232576x xy y x y +++++.参考答案：1．B 【解析】先利用分组分解法得()22222221211a a b a a b a b =--+=-+---，再利用平方差公式分解因式即可 【详解】解：()2222221(111)(122)a b a a a b b a a b a b =--=+---+=+----， 故选：B 2．A 【解析】 【分析】利用平方差公式以及提公因式法化简可得结果. 【详解】()()()()()()()22221a a b b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=-+--=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查多项式的因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】提取公因式x -，再由完全平方可得解. 【详解】()()22232244442x y xy x x x xy y x x y --=--+=--. 故选：C. 4．D 【解析】 【分析】将选项右边表达式展开，由此判断选项是否正确. 【详解】对于A 选项，右边224a a =--≠左边，所以A 不正确.对于B 选项，右边2244x xy y =---≠左边，所以B 选项不正确. 对于C 选项，右边22816a ab b =++≠左边，所以C 选项不正确. 对于D 选项，右边222x xy y =+-=左边，所以D 选项正确.【点睛】本小题主要考查判断因式分解的结果是否正确，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，右边265a a =++≠左边，故A 选项错误. 对于B 选项，右边224129a ab b =++≠左边，故B 选项错误. 对于C 选项，根据立方和公式可知，C 选项正确.对于D 选项，根据立方差公式可知，正确的运算是()3322()a b a b a ab b -=-++，故D 选项错误.故选C. 【点睛】本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项. 【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法. 故选C. 【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】提公因式x ，再利用完全平方公式，即得解 【详解】由题意，3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=- 故选：D 8．B利用完全平方公式，对选项进行验证，即可得答案； 【详解】完成平方公式的运用：2()aab b a b ++=+，22816(4)x x x ++=+，22222()(),a ab b a b a b ++=+-≠22111()3366x x x -+=-，222441(21)a b ab ab ++=+故选：B. 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用多项式乘法运算法则去括号合并同类项得出即可. 【详解】 解:()()2231246x x x x -+=--,4b ∴=-,6c =-. 故选:D 【点睛】此题主要考查了多项式乘法以及合并同类项,正确运用多项式乘法法则是解,也可用一元二次方程的根的关系来解. 10．D 【解析】 【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案. 【详解】 22221x y y x --+ 222(1)(1)y x x =--- 2(1)(1)(1)y x x =--+ (1)(1)(1)(1)x x y y =+-+-故选：D. 11．B 【解析】依题意设()()23174x x b x mx n +-=++，再根据多项式相等得到方程组，解得即可；【详解】解：设()()23174x x b x mx n +-=++所以()2231744x x b mx n m x n +-=+++所以34174m n m n b =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得3520m n b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：B 12．B 【解析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A 选项根据十字相乘分解因式可知正确；B 选项中的1+4m 2-4m =(1-2m )2，左右两边不相等，所以B 是错的；C 选项根据平方差公式可知正确；D 选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题. 13．B 【解析】 【分析】首先根据题意得到()()()225553+-=+--=++x x b x b x b x x a ，即可得到答案.【详解】由题知：()()()225553+-=+--=++x x b x b x b x x a ，所以535b b a -=⎧⎨-=⎩，解得102a b =-⎧⎨=⎩. 故选：B 【点睛】本题主要考查整式的运算，属于简单题. 14．D【解析】 【分析】已知等式整理后，求出m 2+21m 的值，利用完全平方公式及平方根定义求出所求即可． 【详解】解：已知等式整理得：m 2+21m ＝7， ∴m 2+21m +2＝9，即（m +1m）2＝9， ∵m ＞0， ∴m +1m＝3， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，灵活意义完全平方公式是解本题的关键． 15．B 【解析】 【分析】首先根据立方和、立方差公式得到3311(1)12n n n n --=+++，再将分式化简即可得到答案.【详解】由立方和、立方差公式得： 321(1)(1)n n n n -=-++，322(1)1(11)[(1)(1)1](2)(1)n n n n n n n ++=+++-++=+++.所以32321(1)(1)1(1)1(2)(1)2n n n n n n n n n n --++-==++++++. 33333333(21)(31)(41)(20201)(21)(31)(41)(20201)---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+333333331213120191(20201)21314120201---=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯-++++ 31122018(20201)9452021=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯- 31123(20201)9201920202021⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ 222019(202020201)3201920202021⨯++=⨯⨯⨯ 22202020201320202021++=⨯⨯ 2220202020132020(20201)++=⨯⨯+222202020201320202020++=⨯+ 221(1)32020202230=⨯++≈ 故选：B.【点睛】本题主要考查立方和、立方差公式，熟记公式为解题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．()()3232x y x y ++--【解析】先由完全平方公式得229(2)x y -+，再由平方差公式化简可得.【详解】22229449(2)(32)(32)x y y x y x y x y ---=-+=++--.故答案为：()()3232x y x y ++--17．()()()2142x x x ++-【解析】【分析】将22x x +看做一个整体，利用十字相乘法化为乘积的形式；再次利用十字相乘法可得到结果.【详解】 ()()()()()()()22222227282128142x x x x x x x x x x x +-+-=+++-=++- 本题正确结果：()()()2142x x x ++-【点睛】本题考查利用十字相乘法进行因式分解的问题，属于基础题.18．()()2x y x y +-【解析】【分析】解：()()322322x x y xy y x x y y x y --+=--- ()()22x y x y =--()()()x y x y x y =--+()()2x y x y =-+ 故答案为：()()2x y x y -+【详解】本题考查分组分解法因式分解，属于基础题.19．±【解析】【分析】计算1x x+=32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，带入数据计算得到答案. 【详解】222112325x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，故1x x +=323211112x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+==± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：±【点睛】本题考查了代数式的运算，属于简单题.20．()()22x y x y +++【解析】【分析】前三项用十字相乘法分解因式()()22322x xy y x y x y =++++，后两项提公因数()2422x y x y +=+，在对其提公因式()2x y +得答案.【详解】利用分组分解法（前三项与后两组）()()()()()22322422222x xy y x y x y x y x y x y x y ++++=++++=+++故答案为：()()22x y x y +++【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题.21．()()()2131x x x -++【解析】【分析】先设22x x t +=,则原式可变形为223t t --,将其分解后，再代入22x x t +=后再将每一个因式分解，可得答案..【详解】设22x x t +=,则原式可化为:223t t --，而223(1)(3)t t t t --=+-，所以()()()()2222222232123x x x x x x x x +-+-=+++-， 而()22211x x x ++=+，()()22331x x x x +-=+-， 所以()()()()()22222223131x x x x x x x +-+-=-++， 故答案为：()()()2131x x x -++.【点睛】本题主要考查运用换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换进行因式分解，注意在分解后一定要再每一个因式能否再分解，分解到不能再分解为止，属于中档题.22．（1）(12)(2)x x ++；（2）(12)(3)a a --；（3）(5)(1)x x +-；（4）(2)(1)x x +-；（5）(8)(3)x x +-；（6）(5)(3)y x -+；（7）(12)(2)x x -+；（8）(6)(4)x x +-.【解析】【分析】十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

练习主题子集、全集、补集观察下列各组集合：（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2）A=N，B=R；（3）A={x|x为正方形}，B={x|x为四边形}.集合A与B之间具有怎样的关系? 如何用数学语言来表述这种关系？观察（1），可以发现，集合A中的每个元素都是集合B的元素.观察（2）（3），它们也有同样的特征.这时称A是B的子集.一、子集定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B 的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.例如，{1，2，3}⊆N，N⊆R，{x|x为正方形}⊆{x|x为四边形）等.A⊆B可以用Venn图来表示根据子集的定义，我们知道A⊆A.也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集.例1、若集合A={x|x是平行四边形}，集合B={x|x是正方形}，集合C={x|x是长方形}，D={x|x是菱形}，则下列正确的是（）A．A⊆C B．C⊆B C．D⊆C D．B⊆D例2、写出集合｛a，b，c｝的所有子集.对应练习：1、对于集合A，B，“A≤B”不成立的含义是（）A. B是A的子集B. A中的元素都不是B的元素C. A中至少有一个元素不属于BD. B中至少有一个元素不属于A2、已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|2＜x＜3}，则（）A. A∈BB. A⊆BC. A=BD. B⊆A3、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A. {2，4，5}B. {1，2，5}C. {1，6}D. {1，3}4、集合A={1，2}的非空子集个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 15、已知集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则a= .例3、设集合A={ x∣x2+4x=0，x∈R }，集合B={ x∣x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R }，若B⊆A，求实数a 的取值范围．对应练习：B ，求实数m的值．1、设集合A=｛x∣x2+x-6=0，x∈R｝，B=｛x∣mx+1=0，x∈R｝，若A2、若集合M={x ∣x 2-x-2＞0}，T={x ∣mx+1＜0}，且M ⊇T ，求实数m 的取值范围．二、真子集定义：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A ⫋B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真含A ”，如{a}⫋{a ，b}.例4、若x 、y ∈R ，集合A={（x ，y ）∣y=x}，B={（x ，y ）∣x y =1}，则集合A 、B 之间的关系为（ ） A. A ⫋B B. B ⫋A C. A=B D. A ⊆B对应练习：1、已知集合M={x ∣x ＞1}，N={x ∣x ＞a}，且M ⫋N ，则（ ）A. a ≤1B. a ＜1C. a ≥1D. a ＞12、已知∅⫋{x ∣x 2-x+a=0}，则实数a 的取值范围是（ ）A. {a ∣a ＜41}B. {a ∣a ≤41}C. {a ∣a ≥41}D. {a ∣a ＞41} 3、（多选题）下列说法正确的是（ ）A. 空集是任何集合的真子集B. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集C. 若A ⫋B ，B ⫋C ，则A ⫋CD. 如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A ⊆B4、已知集合A={x ∣x 2-2x+3=0}，B={x ∣x-a=0}，若B ⫋A ，则实数a 的值构成的集合是 .5、集合M={x ∣x 2+2x-a=0}，若∅⫋M ，则实数a 的范围是 .三、补集定义：一般地，设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C S （读作“A 在S 中的补集”），即A C S ={x ∣x ∈S ，且x ∉A}.A C S 可用图中的阴影部分来表示：对于例3，我们有：B=A C S ，A=B C S .四、全集定义：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看作一个全集U.例5、设全集U=R ，不等式组的解集为A ，试求A 及，并把它们分别表示在数轴上.对应练习：1、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，5}，A C U =（ ）A.{ 1 ，3 }B.{ 1 ，3 ，6}C.{2，3，6}D.{2 ，3，5}2、已知全集U={x ∣-2≤x ≤3}，集合A={x ∣-1＜x ＜0或2＜x ≤3}，则A C U = .3、已知全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x ∣x=1-n 2，x ，n ∈Z}，则A C U = . 4、设U={1，2，3，4}，A={x ∣x 2-mx+n=0，x ∈U}.A C U ={2，3}，则m+n 的值为 .5、设全集U 和集合A ，B ，P 满足A=B C U ，B=P C U ，则A 与P 的关系是 .6、设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，A C U ={5}，求实数a ，b 的值.巩固练习：1、若集合A=｛y ∣y=x 2+1，x ∈R ｝，B=｛x ∣x+5＞0｝，则集合A 和B 的关系是（ ）A ．A ∈B B ．A ⊆BC ．A ⊇BD ．A=B2、设集合A=｛x ∣-1＜x ≤3｝，集合B=｛x ∣x ＞a ｝，若A ⫋B ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥3B ．a ≤-1C ．a ＞3D ．a ＜-13、已知A={1，2，3}，B={（x ，y ）| x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则集合B 的子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．324、设集合A=｛x ∣2≤x ≤6｝，B=｛x ∣2a ≤x ≤a+3｝，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．｛a ∣1≤a ≤3｝B ．｛a ∣a ≥3｝C ．｛a ∣a ≥1｝D ．｛a ∣1＜a ＜3｝5、已知集合A=｛1，2｝，B=｛x ∣x ∈A ｝，则集合A 与B 的关系是_________．6、集合A=｛x ∣x 2=4，x ∈R ｝，B=｛x ∣kx=4，x ∈R ｝，若B ⊆A ，则实数k= .7、设集合A=｛x ∣1＜x ≤2｝，B={x ∣x ＜a}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_________．8、设A=｛x ∣x 2-3x-10≤0｝，B={x ∣a+1≤x ≤2a-1}，若A ⊇B ，则a 的取值范围是______．9、设集合A=｛y ∣y=x 2-2x-1，x ∈R ｝，B={x ∣-2≤x ＜8}，则集合A 与B 的关系是_______．10、已知全集U=｛3，4，a 2+2a+3｝，集合A=｛3，4｝，A C U =｛6｝，则实数a 的值为_______． 11、已知集合A=｛x ∈R ∣x 2-3x+4=0｝，集合B=｛x ∈R ∣（x+1）（x 2-3x+4）=0｝，若A ⫋P ⊆B ，求满足条件的集合P 构成的集合．12、已知集合M=｛x ∣x 2+2x-a=0｝.（1）若∅⫋M ，求实数a 的取值范围；（2）若N=｛x ∣x 2+x=0｝且M ⊆N ，求实数a 的取值范围.13、设集合A=｛2，3，a 2+2a-3｝，B={∣2a-1∣，2}（1）若B C A ={5}，求实数a 的值；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值集合.14、已知全集U=R ，集合A={x ∣x ＞3或x ≤-2}，集合B={x ∣2m-1＜x ＜m+1}，且B ⊆A C U ，求实数m 的取值范围.15、已知集合A=｛x ∣x 2-3x-10≤0｝.（1）若A ⊆B ，B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，求实数m 的取值范围；（2）若B ⊆A ，B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，求实数m 的取值范围；（3）若B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，是否存在实数m ，使得A=B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

初高中数学衔接教材（内部专用教材）１２初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

３（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

2024年暑假初升高衔接数学讲义拓展初中-衔接高中-精准定位-强化练习快人一小步，领先一大步。

充实一个暑假，领跑高中三年。

让我们以梦为马，不负青春韶华！1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。

在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。

这也是我们继续高中数学学习的基础。

良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。

高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。

高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。

1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。

“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。

兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。

在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。

那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。

听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。