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高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例第2节抽样方法教师用书文北师大版

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第二节 抽样方法[考纲传真] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．1．简单随机抽样(1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相同；(3)常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分组间隔K ，对编号进行分组，当N n 是整数时，取k ＝N n ，当N n 不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k ＝N ′n(N ′为从总体中剔除余数后的总数)． (3)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( )(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]3．(2015·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分组的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20C [根据系统抽样的特点分组间隔为1 00040＝25.] 4．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．]5．(2017·福州检测)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．25 [设男生抽取x 人，则有45900＝x 900－400，解得x ＝25.](1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 B．1C．2 D．3(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )C．02 D．01(1)A(2)D[(1)①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．(2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.][规律方法] 1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相同．2．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形．其中随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．[变式训练1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的为( )A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验D[A，B选项中为系统抽样，C为分层抽样．](1)(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图9­2­1所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2017·郑州调研)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.【导学号：】(1)B (2)76 [(1)抽样间隔为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．(2)由系统抽样知，抽样间隔k ＝805＝16， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44.故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76，即最大编号为76.][规律方法] 1.如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝N n ，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的概率均是n N.2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[变式训练2] (1)(2017·唐山模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51(2)(2017·烟台模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15(1)C (2)C [(1)由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即抽取的编号为7,20,33,46.(2)抽取号码的间隔为96032＝30，落入区间[451,750]的“段”数有750－451＋130＝10. 故做问卷B 的应有10人．](1)(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )A ．90B ．100C ．180D ．300(2)的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为________．(1)C (2)100 [(1)设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x ＝180. (2)法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100.][规律方法] 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．2．为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．[变式训练3] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．1 800 [由题设，抽样比为804 800＝160. 设甲设备生产的产品为x 件，则x 60＝50，∴x ＝3 000. 故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.][思想与方法]1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体容量为N ，每个个体被抽到的概率是n N.2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．3．分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．[易错与防范]1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样．2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分组的组数，当N n 不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的．3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的．。

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统考版2022届高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第2节用样本估计总体教师用书教案北师大版2021

统考版2022届高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第2节用样本估计总体教师用书教案北师大版2021

用样本估计总体[考试要求]1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．常用统计图表(1)频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图． 横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． (3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(4)茎叶图的画法第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n称为x 1，x 2，…，x n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]； s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． [常用结论]1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2；②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )[答案](1)√ (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )A ．4B ．8C ．12D ．16B [设频数为n ，则n 32＝0.25， ∴n ＝32×0.25＝8.] 2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,91,92,93,94,96，则这组数据的中位数和平均数分别是( )C ．91和91.5D ．92和92A [∵这组数据为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋922＝91.5， 平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.] 3．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x －甲，x －乙，则下列判断正确的是( )A.x －甲>x －乙；甲比乙成绩稳定B.x －甲>x －乙；乙比甲成绩稳定C.x －甲<x －乙；甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙；乙比甲成绩稳定D [∵x －甲＝16＋17＋28＋30＋345＝25，x －乙＝15＋28＋28＋26＋335＝26，∴x －甲<x －乙， ∴s 2甲＝15[(16－25)2＋(17－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，s 2乙＝15[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，∴s 2甲＞s 2乙，所以乙成绩稳定，故选D.]4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)X 围内的居民有________人．25 [××100＝25.]考点一 样本的数字特征的计算与应用利用样本的数字特征解决决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．1．(2020·某某模拟)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝4，s 2<2B.x ＝4，s 2>2C.x >4，s 2<2D.x >4，s 2>2A [∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴x ＝28＋48∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数的方差s 2＝7×2＋(4－4)28＝74<2，故选A.]2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )甲 乙A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C [根据条形统计图可知甲的中靶情况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为5环、5环、5环、6环、9环.x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x 乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)25＝2， 乙的成绩的方差为(5－6)2×3＋(6－6)2＋(9－6)25＝2.4；甲的成绩的极差为4环，乙的成绩的极差为4环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为5环，综上可知C 正确，故选C.]3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 D [由题意可知 ⎩⎨⎧ 15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋1＋1]＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2＝208. ∴(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ，即208＋2xy ＝400，∴xy ＝96.∴(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝16，∴|x －y |＝4，故选D.]4．(2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数 28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？[解](1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为40100＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为28100＝0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40＋25×20－5×20－75×20100＝15. 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70 30 0 －70 频数 28 17 34 21因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．考点二 茎叶图(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．注意“叶”中数不一定按大小次数排列．2．利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息．3．以茎叶图为载体，一般考查中位数、平均数、方差．1．(2020·某某模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为()A．2 B．4C．5 D．6A[由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为8×1040＝2(人)．]2.(2020·某某质检)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为()A．2 B． 2C．10 D．10B[甲地该月5天11时的气温数据(单位：℃)为28,29,30,30＋m,32；乙地该月5天11时的气温数据(单位：℃)为26,28,29,31,31，则乙地该月11时的平均气温为(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，所以甲地该月11时的平均气温为30 ℃，故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得m＝1.则甲地该月11时的平均气温的标准差为15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2] ＝ 2.]3.空气质量指数 (Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________(该年为365天)．146 [该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25， 由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25， 估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.]考点三 频率分布直方图频率、频数、样本容量的计算方法(1)频率组距×组距＝频率． (2)频数样本容量＝频率，频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数． [典例] (1)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32(2)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件：“”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(1)D[由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故选D.](2)[解]①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.②甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.点评：(1)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率，切莫与条形图混淆． (2)频率分布直方图考查时，重视求平均数、中位数、方差，计算要准确，解决突破口是各个矩形面积之和为1.[跟进训练]a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27B [前两组中的频数为100××a ＝22＋32＝54.]2．(2020·某某模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.word- 11 - / 11 (ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解]×5＝0.05，∴6x＝0.05，∴x ＝120. (2)设中位数为a ××5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32. (3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感想合理即可)．。

北师大版高三数学第一轮复习第九章统计,统计案例与算法初步第一节第五节 用样本估计总体复习课课件

北师大版高三数学第一轮复习第九章统计,统计案例与算法初步第一节第五节 用样本估计总体复习课课件

x 甲＝10＋13＋152＋14＋16＝13， x 乙＝13＋14＋152＋12＋14＝13， s2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s＞s，可知乙的成绩稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在 不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
35＝
15 3.
答案：
15 3
考点一 频率分布直方图的绘制与应用 【例1】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳 次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长 方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110次以上(含110次)为达标，试求该学校全体高一学生的达标率是 多少？ (3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
【例3】 甲、乙两台机床同时加工直径为10 mm的零件，为了检验产品的 质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)： 甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100. (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差； (2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求
(2)总体密度曲线：随着 样本容量 的增加，作图时 所分的组数 增 加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即
总体密度曲线．
3. 茎叶图的优点 用茎叶图表示数据有两个突出的优点： 一是在统计图上没有原始信息的损失，所有的 数据信息都可以从茎叶图中 得到； 二是茎叶图可以在比赛时 随时记录 ，方便 记录 与 表示 ．
高中数学《抽样方法》教案北师大版必修

高中数学《抽样方法》教案北师大版必修

高中数学《抽样方法》教案北师大版必修一、教学目标：1. 让学生理解掌握简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的基本方法。

2. 培养学生运用抽样方法解决实际问题的能力。

3. 让学生体会数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的方法及其应用。

2. 教学难点：分层抽样和系统抽样的原理及其操作。

三、教学过程：1. 导入：通过现实生活中的实例，引发学生对抽样方法的思考，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：学生通过阅读教材，理解简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的基本方法。

3. 课堂讲解：讲解简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的原理，并通过例题演示其操作过程。

4. 动手实践：学生分组进行抽样实践，运用所学方法解决实际问题。

5. 归纳总结：教师引导学生总结抽样方法的应用及注意事项。

四、课后作业：1. 完成教材课后练习题。

五、教学评价：1. 课堂讲解评价：评价学生对抽样方法的理解掌握程度。

2. 课后作业评价：评价学生运用抽样方法解决实际问题的能力。

3. 实践操作评价：评价学生在动手实践中的操作技能及团队协作能力。

六、教学内容与目标：章节名称：简单随机抽样教学内容：1. 理解简单随机抽样的概念。

2. 学会使用抽签法和随机数法进行简单随机抽样。

3. 理解简单随机抽样的特点及其在实际应用中的重要性。

教学目标：1. 学生能正确理解简单随机抽样的定义和原理。

2. 学生能够运用抽签法和随机数法进行简单的随机抽样。

3. 学生能够分析简单随机抽样在实际研究中的作用和意义。

七、教学内容与目标：章节名称：分层抽样教学内容：1. 理解分层抽样的概念。

2. 学会根据不同层次进行抽样的方法。

3. 掌握分层抽样的比例分配原则。

教学目标：1. 学生能正确理解分层抽样的概念和原理。

2. 学生能够根据不同层次的特点选择合适的抽样方法。

3. 学生能够运用比例分配原则进行分层抽样，并解释其合理性。

高考数学统考一轮复习 第九章 概率、统计与统计案例 第五节 随机抽样(教师文档)教案 文 北师大版

高考数学统考一轮复习 第九章 概率、统计与统计案例 第五节 随机抽样(教师文档)教案 文 北师大版

学习资料第五节随机抽样授课提示：对应学生用书第181页[基础梳理]1．简单随机抽样(1）定义：设一个总体含有N个个体．从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．(2)常用方法:抽签法和随机数法．2．系统抽样（1)定义：在抽样时,将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本,这种抽样叫作系统抽样（也称为机械抽样）．(2)适用范围：适用于总体中的个数较多时．3．分层抽样（1)定义:在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．（2）适用范围:适用于总体由差异明显的几部分组成时．1．一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是错误!。

2．三种抽样方法的差异（1）简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少．（2)系统抽样:适用于元素个数很多且均衡的总体．（3）分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形．[四基自测]1．（基础点：抽样的概念）2019年4月13日,某中学初三650名学生参加了中考体育测试，为了了解这些学生的体考成绩，现从中抽取了50名学生的体考成绩进行了分析，以下说法正确的是（）A．这50名学生是总体的一个样本B．每位学生的体考成绩是个体C．50名学生是样本容量D．650名学生是总体答案：B2．(基础点：分层抽样）某工厂生产A，B,C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70 D．80答案：C3．(基础点：随机数法抽样)假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时,先将500名同学按000，001,…，499进行编号,如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的5名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行）() 84421753315724550688770474476721763350258392120676 63016378591695556719981050717512867358074439523879 A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212答案：B4．(基础点：系统抽样)设某校共有112名教师,为了支援西部教育事业，现要从中抽取12名组成暑期西部讲师团．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（) A．9，4 B．12，3C．10，2 D．8,2答案：A授课提示：对应学生用书第182页考点一简单随机抽样挖掘随机抽样的实施/ 自主练透［例］(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是(）A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]因为A，D中总体的个体数较大,不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．[答案] B（2)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的有(）①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析］①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个"抽取；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．［答案］ A［破题技法］1。