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第五章应用数理统计方差分析

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应用统计学 第5章 方差分析

应用统计学 第5章 方差分析

记
（5.2.1）
1 r s ij ; rs i 1 j 1 1 s i ij , i 1, , r ; s j 1 1 r j r ij , j 1, , s. i 1
（5.2.2）
上一页
s
(5.2.16)
S A B t ( X ij . X i.. X . j . X ) 2
i 1 j 1
r
(5.2.17)
S E 称为误差平方和，S A , S B 分别称为因素 A 和因素 B 的效应平方和，S A B 称为因素
A 和因素 B 的交互效应平方和。
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仅考虑原料产地一个因素。这个因素有 4 个水平，我们要讨论的问题即检验假设：
H 0 : 1 2 3 4 ； H1 : 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
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第五章 方差分析
设因素A有t个水平，在第i个水平下进行了ni 次相互独立的试验，结果如下：
并称 ij 为 Ai 与 B j 的交互效应。
（5.2.5）
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第五章 方差分析
此假设检验问题为
H 01 : 1 2 r 0 H11 : 不全为零 H 02 : 1 2 s 0 H 22 : 不全为零 H 03 : 11 12 rs 0 H 33 : 不全为零
2 i 1 j 1 i 1
t
ni
t
（5.1.14）
易见 S E 反映了随机误差所造成的数据变异，称 S E 为误差平方和（或组内平方和） 。 如果因素 A 的效应是显著的，这些效应引起的数据变异必然反映到 ( X i X ) 中，所以
应用统计学方差分析

应用统计学方差分析

3. 数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失 值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、 样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立 。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议 。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统 计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的 比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更 可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意 事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参 数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确 。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析 结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗 ，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟 形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差 和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独 立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确 性。
数理统计-方差分析

数理统计-方差分析


例1
H 1 : 1 , 2 , 3不全相等.
检验假设
H 0 : 1 2 3 , H 1 : 1 , 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知. 问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
2 SA /( r 1) 在检验水平 下， 由p F 2 k 得 S E /( n r ) k F1 ( r 1, n r )
H0的拒绝域为 :
2 SA /( r 1) F1 ( r 1, n r ) F 2 S E /( n r )
自由度 2
12 14
均
方
F
比
素A 0.00105333
0.00052667 32.92
0.000016
随机误差 0.000192 总 和 0.00124533
F 32.92 F0.05 ( 2,12) 3.89.在水平0.05下拒绝 H 0 . 各机器生产的薄板厚度有显著差异.
在MATLAB中的求解 函数:anova1 格式:p=anova1(x) 说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析, 比较各列的均值,返回“零假设”成立的概率值,如果 概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均 值事实上是不同的. 源程序: x=[0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262]; p=anova1(x’) 助 程序运行结果 方差分析表 Box 图检验 帮
1. 各水平效应 i 的点估计
应用统计学方差分析课件

应用统计学方差分析课件


06
方差分析案例分析
案例一：不同品种水稻产量影响因素分析
总结词
通过对方差分析方法的应用，确定不同 品种水稻产量影响因素，为优化水稻种 植提供参考。
VS
详细描述
首先，收集不同品种水稻的产量数据，并 记录相关影响因素，如种植环境、施肥量 、灌溉方式等；然后，利用方差分析对这 些影响因素进行显著性检验，以确定对水 稻产量的主要影响因素及其影响程度；最 后，根据分析结果，提出优化水稻种植的 措施建议。
解读结果
整理并检查数据，确保 数据质量。
确定要比较的组别和要 检验的假设。
包括组别、样本数量、 平均值和方差等。
利用方差分析表中的数 据，计算F值并确定P值 。
根据P值和显著性水平， 判断是否拒绝原假设。
02
方差分析的数学模型与理论
数学模型
01
02
03
线性模型
方差分析基于线性模型， 将数据分为组间和组内两 部分，并假设这两部分是 独立且来自同一总体。
它是一种非常有用的工具，在科学、工程、商业等领域中，可以用于研究不同分组之间的差异，以及 确定这些差异是否显著。
方差分析的假设条件
01 每个样本都来自正态分布的总体。 02 每个总体方差都是相等的。 03 每个样本是随机独立抽取的。
方差分析的步骤
准备数据
建立假设
计算单因素方差分 析表
进行方差分析
案例三：不同品牌汽车油耗对比分析
总结词
通过应用方差分析方法，对比分析不同品牌 汽车的油耗性能，为消费者购车提供参考。
详细描述
收集市场上不同品牌汽车的油耗数据，并记 录相关车型信息，如排量、车重、风阻等； 利用方差分析对不同品牌汽车的油耗进行显 著性检验，分析各品牌汽车油耗性能的差异 程度；根据分析结果，为消费者提供购车参 考和建议。
应用数理统计课件

应用数理统计课件


SPSS在统计中的应用
数据输入与管理
SPSS提供了数据编辑器，方便用户输入和 管理数据。
描述性统计
SPSS可以进行描述性统计，包括频数、均 值、标准差等计算。
高级统计分析
SPSS支持多种高级统计分析方法，如回归 分析、因子分析、聚类分析等。
报告生成
SPSS可以将分析结果导出为各种格式的报 告，方便用户进行汇报和交流。
季节性指数
计算时间序列的季节性指数，通过比较不同时间段的数据，了解季 节性变化对整个序列的影响程度。
季节性图
绘制时间序列的季节性图，直观地展示时间序列的季节性规律和变 化趋势。
08 统计软件应用
Excel在统计中的应用
描述性统计
Excel提供了丰富的函数和工具，可以 进行平均数、中位数、众数、方差、标
应用数理统计课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 概率论基础 • 统计推断 • 回归分析 • 方差分析 • 多元统计分析 • 时间序列分析 • 统计软件应用
01 引言
什么是应用数理统计
定义
应用数理统计是一门将数学原理和统 计方法应用于实际问题求解的学科。 它利用概率论和数理统计的理论，通 过对数据的收集、整理、分析和推断 ，为决策提供依据。
03 统计推断
点估计
总结词
点估计是一种用确定的数值对未知参数进行估计的方法。
详细描述
点估计的基本思想是用一个数值来近似表示未知参数的值。常见的点估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计 等。这些方法通过构造适当的统计量，使得估计的参数值尽可能地接近真实值。
区间估计
总结词
区间估计是一种给出未知参数可能取值范围的方法。
核心概念
《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α)解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ记167.2081211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S467.7011211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S7.137=-=A T e S S S当H成立时，()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=3经过计算，得方差分析表如下：查表得()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。

(2)软件计算解答过程组建效应检验Dependent Var iable: 存活日数a70.429235.215 6.903.004137.73727 5.101208.16729方差来源菌型误差总和平方和自由度均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289)a.从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。

5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙39 40 43 50 50试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。

方差分析ppt课件

方差分析ppt课件

推断控制变量是否给观测变量带来了显 著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
第5章 方差分析-正式课件

第5章 方差分析-正式课件

这样，处理效应不固定，是随机的，这种模型称为随机模型。
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取 部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况， 这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体， 如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章 方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节 方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国 统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作 为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源 的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的 估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相 等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
第5章方差分析PPT学习教案

第5章方差分析PPT学习教案

2_new1 2_new2 2_new3 2_new4 2_new5 2_new6 2_new7 2_new8 2_new9
三组不同性别学生的数学成绩
数学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 0 56.00 56.00
以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计 算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率 值。 如果F控制变量的相伴概率小于或等于显著性 水平，则控制变量的不同水平对观察变量产 生显著的影响；如果F协变量的相伴概率小于 或等于显著性水平，则协变量的不同水平对 观察变量产生显著的影响。
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研究问题
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图5-4 “One-Way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框
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图5-5 “One-Way ANOVA：Contrasts”对话框
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（1）首先是单因素方差分析的前提检验 结果，也就是Homogeneity of variance test
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（2）输出的结果文件中第2个表格如下所示 。
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（3）输出的结果文件中第3个表格如下所示 。
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（4）输出的结果文件中第4个表格如下所示 。
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（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
第27页/共65页
第62页/共65页
小结
单因素方差分析所解决的是一个因素下 的多个不同水平之间的相关问题；多因素方 差分析的控制变量在两个或两个以上，其主 要用于分析多个控制变量的作用、多个控制 变量的交互作用以及其他随机变量是否对结 果产生了显著影响；协方差分析将那些很难 控制的因素作为协变量，在排除协变量影响 的条件下，分析控制变量对观察变量的影响 ，从而更准确地对控制因素进行评价。
第五章方差分析144页PPT

第五章方差分析144页PPT

较同需时估没计有一充个分利S用xi 资xj 料，所故提使供得的各信次息比而较使误误差差的估估计计的不精统确一，
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j

xi.
)

0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α)解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ记167.2081211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S467.7011211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S7.137=-=A T e S S S当H成立时，()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=3经过计算，得方差分析表如下：查表得()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。

(2)软件计算解答过程组建效应检验Dependent Var iable: 存活日数a70.429235.215 6.903.004137.73727 5.101208.16729方差来源菌型误差总和平方和自由度均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289)a.从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。

5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙39 40 43 50 50试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。

应用数理统计(基于MATLAB实现)第5章 方差分析

2. 【说明】anova1函数产生两副图：① 方差分析表；②盒图
➢ 方差分析表中有6列：第1列（Source）显示：X中数据的可变性来源； ➢ 第2列（SS）每一列的平方和； ➢ 第3列（df）显示：与每一种可变性来源有关的自由度； ➢ 第4列（MS）显示：比值SS/df； ➢ 第5列（F）显示：F统计量数值，是MS的比率； ➢ 第6列（p值）显示：从累积分布中得到的概率，当F值增大时，p值减小。
方差分析表
5.1.4 方差分析的软件实现
1. 相关概念
单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值（同方差），返回原假设均值相等 的概率。【命令】[p, table]=anova1(X)
注：（1）数据按照列输入（每个水平下的数据为一列，各列数据个数可以不同） （2）P值越小各水平的差异越显著
5.1.4 方差分析的软件实现
5.1.4 方差分析的软件实现
例 5.4.2 设在例5.1.1中符合方差分析模型的条件.
5.1.4 方差分析的软件实现
5.1.4 方差分析的软件实现
5.1.4 方差分析的软件实现
得方差分析表如下：
5.1.4 方差分析的软件实现
例 5.4.2 (实现)
X = [0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262];
应用数理统计
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单因素方差分析
5.1.1 问题的提出 例5.1.1 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精 确至千分之一厘米。结果如下表所示。
考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。
5.1.2 方差分析的数学模型
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t
nii 0,且原假设等价于H0 :1 .... t 0
i 1
X
ji
i
ji , i
1,...t;
j
1,...,ni
则原模型等价于 t nii 0
i1
ji
~
N (0,
2 ),各
相互独立
ji
这里，，1，...，t , 2均未知
方差分析的基本思想
若被考察的因素对试验结果没有显著的影响，即各正态 总体的均值相等，则试验数据的波动完全由随机误差 引起；如果因素有明显的效应，即各正态总体均值不 全相等，则表明试验数据的波动除了随机误差的影响 以外，还包含被考察因素效应的影响。
SE
S
，
A
i1 j1
i1 j1
i1 j1
t ni
其中SE
( X ji Xi )2，反映了随机误差造成的数据变异，称为误差平方和（或组内平方和）
i1 j1
t ni
t
SA
( Xi X )2 ni ( Xi X )2，包含了因素A在各个水平下的不同作用在数据中引起的波动，
i1 j1
i 1
（1）检验假设：HH10
: :
1 1,
... t ...t不全相等
（2）对未知参数1，...t , 2进行估计
5.1 单因素试验的方差分析
引入因素各水平效应的概念，令
1 n
t i 1
ni i ,i
i
,i
1,...t
称为总平均，
i为因素A在水平A
下的主效应，简称效应，它反映了在
i
水平Ai下的总体均值与总平均的差异。则t个效应1，....t满足
称为因素A的效应（组间）平方和。
关键二：拒绝域的确定
拒绝域的确定：由SA / SE C的形式确定
在单因素试验方差分析模型中，S
A与S
E
相互独立
，且S
E 2
～（2 n
t);
当H 0
: 1
... t
0成立时，S
A 2
～（2 t
1)，从而
F
SA SE
~
F (t 1, n t),其中，SA
SA t 1
因素 A1 A2 … Ai A
试验 X11 X12 … X1i
指标 X21 X22
…
X2i
… At
… X1t … X2t
例5.1.4中t=4， n1=4，n2=2， n3=3，n4=2
…
…
…
…
Xn11 Xn22
…
Xnii
…
Xntt
5.1 单因素试验的方差分析
假设在水平Ai下，试验指标X ji来自正态总体N (i , 2 ),i 1,...,t; j 1,..,ni ,
第五章 方差分析
在有关因素中找出有显著影响的那些 因素的一种方法
分析的并非方差，而是研究数据间的 变异，即在可比的数组中把总的变异 按各自指定的变异来源进行分解的一 种技巧
方差分析方法就是从总离差平方和中 分解出可追溯到指定来源的部分离差 平方和
第五章 方差分析
试验指标：要考察的指标 因素：影响试验指标的条件A,B,C 单因素试验：一项试验中只有一个因
产地1 124.0 123.0 123.5 123.0
产地2
123.0 123.0
产地3 121.5 121.0 123.0
产地4
123.5 121.0
• 试验指标： β-萘酚 熔点
• 因素：原料产地 • 水平：4个
单因素试验
5.1 单因素试验的方差分析
每个水平下均可进行独立试验，其结果为一个随 机变量，因此数据可以看成来自四个不同总体 （每个水平对应于一个总体）的样本ni
X ji ,
j 1
t ni
总平方和为ST
( X ji X )2反映了全部数据的波动程度。
i1 j1
记水平Ai下的样本均值为Xi ,即X i
1 ni
ni
X ji ,i 1,...,t
j 1
t
因为ST
ni ( X ji X i ) ( X i X ) 2 t
其中i （- ，）， 2 0均未知。通过引进随机误差 ji X ji i ,则
可以把X ji表示成
X ji i ji , i 1,...,t; j 1,..,ni
ji
~
N (0,
2 ),各
相互独立
ji
其中，1，...t , 2均为未知参数。该式为单因素方差分析的统计模型
对于该模型，方差分析的基本任务是：
如果将各个总体的均值依次记为1，2，3，4，要讨论的问题即 检验假设：H0 : 1 2 3 4, H1 : 1, 2, 3, 4不全相等
如果假设各总体均为正态变量，且各总体的方差 相等，但参数均未知。则这是一个检验同方差 的多个正态总体均值是否相等的问题
5.1 单因素试验的方差分析
一般性问题：设被考察因素A有t个水平A1, A2,...At。在第i个水平Ai下， 进行了ni (ni 2)次相互独立的试验，得到第i个总体的样本：X1i , X 2i , ...,X nii ,i 1,2,...,t，则共进行了n n1 n2 ... ni次试验，得到了n个试 验指标值，如表所示
,
S
E
SE nt
,
这里S
A和S
E分别称S
A和S
的均方。
E
这样
，对
上述假设问题，由
F
SA SE
F (t 1, n t)所确定的拒绝域给出了显著性水平的一个检验，
其直观的解
释是：当组之间的差异相对
于组内的差
异来说比较大时
，拒绝H
。
0
简便公式
ni
t
记Ti
素在改变 双因素试验：一项试验中只有两个因
素在改变 水平：因素所处的状态
5.1 单因素试验的方差分析
• 例5.1.1 • 例5.1.2 • 例5.1.3
5.1 单因素试验的方差分析
例5.1.4：采用四种不同产地的原料萘，按同样的 工艺条件合成β-萘酚，测定所得产品的熔点如 表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的 熔点？
ni
t
( X ji X i )2 2
ni
t
( X ji X i )( X i X )
ni
( X i X )2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
i1 j1
t ni
t ni
t ni
而
( X ji X i )( X i X ) 0，故ST
( X ji X i )2
( X i
X )2，故ST 可分解成ST
据此，需要寻找一个适当的统计量，来表示数据的波 动程度，并设法将这个统计量分解为两部分：一部 分是纯随机误差造成的影响，另一部分是除随机误 差的影响外来自于因素效应的影响。然后将这两部 分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明因素 的效应是显著的。
关键一：对全部数据的波动程度进行分解
n个指标数据的总平均为X