第三章 导数与微分(2)

（C）sin2 x cos2 (1 x) （D）arctan x arc cot x.
5、
6、已知函数 f ( x)具有任意阶导数，且
f ( x) f ( x)2,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x)是（ ）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1；
点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ).
7、微分的求法
dy f ( x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
返回
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d( x ) x1dx
d(tanx) sec2xdx d(cotx) csc2xdx
d(sinx) cos xdx d(secx) secxtanxdx
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccotx)
1
1 x2
dx
返回
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
(1) d(u v) du dv, (3) d(uv) vdu udv,
微分形式的不变性
(2) d(cu) cdu,
(4)
d( u) v
vdu udv v2
.
无论 x 是自变量还是中间变量, y f ( x)的 微分形式总是 dy f ( x)dx .
y(n), dn y dx n
或
dn f (x dx n
)
.
5、微分的定义
若函数 y f ( x) 的增量具有表达式 y Ax o(x) ,
则 y f ( x) 可微,相应的微分为 dy Adx.
微分 dy 叫做函数增量y 的线性主部.

考研数学四, 4分
设y arctanex ln
e2 x e2x
,则dy 1 dx
x1
(
).
解 y arctan ex x 1 ln( e2x 1) 2
y
ex 1 e2x
1
1 2
2e2 x e2x 1
y
x1
1
e e2
1
1 2
2e2 e2 1
e1 e2 1.
3.2 微分和求导的法则
3.2 函数的求导法则
函数的和、差、积、商的微分 与求导法则 反函数的微分与求导法则 ★ 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式 小结 思考题 作业
第3章 导数与微分
3.2 微分和求导的法则
一、函数的和、差、积、商的 微分与求导法则
定理3.3 如果函数u(x), v(x)都在点x处可微, 则它们的和、差、积、商 在点 x处也可微, 并且
1 cos xdx cot xdx,
sin x
所以 y cot x.
3.2 微分和求导的法则
例 求函数 y ( x2 1)10 的导数.
解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数.
y 1 x o(y) 1 x o(x), f ( y) f ( y) f ( y)
所以, 定理的结论成立.
3.2 微分和求导的法则
例 求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数与微分. dy
f
1 (
y)
dx
直接函数
解
因为
x

（8） ：
（9） ：
（10） ：
（11） ：
（12） ：
2. 若函数 ，且 ，求 。
解： 。
3. 证明：
（1）可导的偶函数的导数是奇函数。
证明：设 为偶函数且可导，则有 ，两边对 求导，有 ，即 ，得证。
（2）可导的奇函数的导数是偶函数。
证明：设 为奇函数且可导，则有 ，两边对 求导，有 ，即 ，得证。
第三章 导数与微分习题答案
练习题3.1
1. 根据导数定义，求下列函数的导数：
（1） ，求 。
解： 。
（2） ，求 。
解： 。
2. 求抛物线 在点 处的切线方程和法线方程。
解：在 处的切线斜率为 ，法线斜率为 ，
在 处的切线方程为 ；法线方程为 。
3. 为何值时， 与 相切？
（1） ： ，
（2） ： ，
6. 利用对数求导法求下列函数的导数：
（1） ： ，
（2） ： ，
（）
；
（4） ：
7. 求下列函数的高阶导数：
（1） ，求 。
解： ， 。
（2） ，求 。
解： ，
。
（3） ，求 。
解： ，
（4） ，求 。
4. 一球在斜面上向上滚，在 s末与开始的距离为 m，其初速度是多少？何时开始向下滚？
解： ，当 时，初速度 ；当 ，即 时，开始向下滚动。
5. 一矩形两边长分别用 来表示，若 边以 m/s的速度减少， 边以 m/s的速度增加，求在 m， m时矩形面积的变化速度积对角线的变化速度。
解：矩形的面积 ， ；
解：切线的斜率为 ，切线过 点，则切线方程为 ，法线方程为 。

x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y 1 x
y 1 x
例6 求曲线y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率，
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k 的yy曲xf线12(xC()在 在 1x )Mxx0处 012点的 切导线x1数 2的x是斜12 f率(x4).
定义 设函数y f ( x)存在n 1阶导数，并且
n 1阶导数可导，那么y(n-1) f (n1) ( x)的导数
叫做函数y f ( x)的n 阶导数，
记作y(n)
f
(n) ( x)
dn y dxn
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
当x 0时，y x
f ( x0 ).
y
y = f (x)
f ( x0 )
斜率是 y x
M0
x
M
y
斜率是 f (x0)
o
x0
x0 x
x
注意：（1）y 是平均变化率 x
f
(
x0
)
lim
x 0
y x
是瞬时变化率
导数是平均变 化率的极限
（2） dy 是表示导数的一个整体符号. dx
（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
y x (为任一实数).
( x ) x 1 .
1/2
例如,
(
x )
1
1 1
x2
1 .
2
2x
3 ( x3 ) 3 x2 .
sin
sin
2 sin
cos