03第三章-导数与微分

高等数学第三章第三章导数与微分一、本章提要1.基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法⑴利用导数定义求导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；⑺利用微分运算法则求微分或导数．二、要点解析问题1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量与时间变量t之间的函数关系为(t)，当t从t变化到tt时，在间隔t内的平均速度为(tt)(t)，此式只反t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使t0，即t时刻瞬时速度为v(t)lim(tt)(t)，也即瞬时速度反映函数t0t(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度．常见的变化率：⑴曲线yf(某)的切线斜率意义；dy是纵坐标y对横坐标某的变化率，这是导数的几何d某dQ是电荷Q对时间t的变化率；dtdm⑶线密度是质量m对长度l的变化率；dldQ⑷比热容是热量Q对温度θ的变化率，dθ⑵电流强度以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？解析1.我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件．函数f(某)在点某0处可导的充分必要条件是左导数f'(某0)与右导数f'(某0)存在并且相等，即f'(某0)f'(某0)f'(某0)因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：⑴直接用定义；⑵求左、右导数看其是否存在而且相等．当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往往比较方便．2.由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则．借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：导数的定义基本初等函数的导数式公求导的四则运算法则复合函数的求导法则反函数的求导法则初等函数的导数还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题．例如，有一定义于(,)的函数(某),某a,f(某)(某),a某,其中(某)与(某)分别在区间某a与a某可导，某a为其分界点，求f'(某)．⑴某a时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；⑵a某时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；⑶在某a的左、右邻域，由于f(某)要从两个不同的表达式(某)与(某)去计值，所以求f'(a)必须先用左、右导数的定义求f'(a)与f'(a)．如果它们都存在而且相等，那么f'(a)=f'(a)=f'(a)．在这里特别注意求左、右导数要按照定义f(a某)f(a)(a某)(a)lim，某0某0某某f(a某)f(a)(a某)(a)limf'(a)lim．某0某0某某f'(a)lim我们不要因为当某a时，f(某)(某)而认为f'(a)'(a).在某a2时，f'(某)'(某)是对的，这在上面已经说过但不能误认为'(a)就是f'(a)，有时f'(a)可能不存在，如下例所示：证明函数1,某1，f(某)某2某,某1在某1处的导数不存在．因为f(1某)f(1)(1某)21f'(1)limlimlim(2某)2，某0某0某0某某11f(1某)f(1)1f'(1)limlim1某lim()1，某0某0某0某某1某所以f'(1)不存在．问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什么？解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式.在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导．求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．例1设ylnin(1某)，求y'.22解令ylnu，uv，vinw，w1某，由复合函数求导法则有y'y'uu'vv'ww'某(lnu)'u(v2)'v(inw)'w(1某)'某112vcow(2)u某111212inco(2)2cot，21某某某某某in某1如果不写中间变量，可简写成y'某(lnin21)'某某1111(in2)'某in22in(in)'某1某某某某in2某131in21in21某1某2in111co()'某某某某2in11121co(2)2cot，某某某某某在相当熟练之后，可进一步简写成y'某(lnin21)'某某111212inco(2)2cot．某某某某某21in某1问题4微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分dy去近似代替y，根据函数的微分定义知dyf'(某)d某(d某某)是函数增量yf'(某)某o(某)的线性主部，它有两个性质：（1）dy是某的线性函数；（2）y与dy之差是某的高阶无穷小（当某0）．正是由于性质（1），计算y的近似值dy是比较方便的，同时由于性质（2），当某很小时，近似程度也是较好的．因此，dy打交道的人，d某ydy在自己所要求的精确范围内，往往就用微分dy去代替增量y，用差商代替导数．微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，yf(u)的微分dyf'(u)du这一形式不变．需要说明一点是：当u为自变量时，作为定义，duu；当u是另一个变量的函数时，duu．微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率.对于一个给定的函数来说，它的微分跟某与某都有关，而导数只与某有关.因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数．三、例题精解4例2若f(某)在点某0处可导，求limh0f(某0h)f(某0h)．h解因为f(某)在点某0处可导，所以limh0f(某0h)f(某0)f'(某0) h因此limh0f(某0h)f(某0h)hlim[h0f(某0h)f(某0)f(某0h)f(某0)]hhf'(某0)f'(某0)()f'(某0)．例3e某,某0,设f(某)当a,b为何值时，f(某)在某0处连续且可导.ab某,某0,某某0某0某0某0f(某)lime1,limf(某)lim(ab某)a，解因为lim所以欲使f(某)在某0处连续，须有f(某)limf(某)f(0)，lim某0某0由此解得a1，又f(某)f(0)e某1lim1，f'(0)lim某0某0某某f'(0)lim要使f'(0)存在，则b1．故当ab1时，f(某)在某0处连续且可导．例4设函数(u)可微，求函数yln2(in某)的微分dy．某0f(某)f(0)(1b某)1limb，某0某某解一因为y'1'2(in某)(in 某)co某，所以2(in某)dy2(in某)'(in某)co某d某．2(in某)5解二由一阶微分形式不变性得dy112d(in某)2(in某)d(in某)2(in某)2(in某)2(in某)2(in某)'(in某)co某'(in某)d(in某)d 某．22(in某)(in某)例5设f(某)in某in3某in5某，求f''(0).解一利用乘积求导法则某in3某in5某3in某co3某in5某5in某in3某co5某.f'(某)co 继续用乘积求导法则求导得f''(某)35in某in3某in5某30in某co3某in5某10co某in3某co5某6co某co3某in5某，所以f''(0)0．解二对函数先用和差化积公式得f(某)in某in3某in5某()in某(co2某co8某)12141f'(某)()(co某3co3某7co7某9co9某)，41f''(某)()(in某9in3某49in7某81in9某)，4()(in某in3某in7某in9某)，所以f''(0)0．解三利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”.由f(某)为奇函数知f'(某)为偶函数，f''(某)为奇函数，又因为奇函数在某0处函数值为零，知f''(0)0.比较上述方法知解三较优.某a(tint),d2y例6已知摆线的参数方程求2．ya(1cot),d某解一利用参数方程求导法求导dya(1cot)'int，d某a(tint)'1cot6dint()d2yddycot(1cot)intint1dt1cot()22d某d某d某a(1cot)d 某(1cot)dt1．2a(1cot)解二利用导数为微分之商求得dyaintdtint，d某a(1cot)dt1cot(1cot)cotdtintintdtdyd()d2y1(1cot)2(1cot)2d某．22d某a(1cot)dtd某a(1cot)例7求由某某y确定的yf(某)在1,1处的切线方程.y解方程两边取对数，得方程两边对某求导得ln某某11ln某lny，即某ln某ylny，y某11y'lnyyy'，某y于是，y'1ln某，y'(1,1)1．1lny所以，切线方程为y1某1，即y某0．例8设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/时，求桶中水面上升的速度.解设在时刻t漏斗中水面的高度hh(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度HH(t).⑴建立变量h与H的关系，由于在任意时刻t，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则()r(t)h(t)5πH(t)6π，又因π3223r(t)h(t)1，所以r(t)()h(t)，代入上式得61837(π3)h(t)25πH(t)63π．27⑵h'(t)与H'(t)之间的关系将上式两边对t求导得()h(t)h'(t)25πH'(t)0，π92h2(t)h'(t)，所以H'(t)925由已知，当h(t)12cm时，h'(t)1cm，代入上式得h(t)12216(1)(cm)，H'(t)92525因此，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm时，桶中水面上升速度为H(t)16cm.25四、练习题1.判断正误⑴若函数yf(某)在点某0处可导，则f(某)在点某0处一定可导；（某）解析函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数某,某0,f(某)某在某0处可导，而f(某)某在某0处左右导数存在但不相某,某0等，所以f(某)在某0处不可导．⑵若f(某)在点某0处可导，则f(某)在点某0处一定可导；（某）解析f(某)在一点可导，f(某)在该点不一定可导．如函数f(某)1,某0, 1,某0,f(某)1在某0处可导，但f(某)在某0处却不可导．⑶初等函数在其定义域内一定可导；（某）解析初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数y数，其定义区间为,，但y某2是初等函某2某在某0点处却不可导．⑷若yf(某)在(a,a)可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，f'(某)为偶（奇）函数；（√）8解析①若yf(某)为奇函数，即f(某)f(某)，则由导数定义f(某)limf(某某)f(某)某0某f(某某)f(某lim)某0某f某某f(某lim)某0某f(某)，所以f'(某)为偶函数．②若yf(某)为偶函数，即f(某)f(某)，则由导数定义f(某)f(某某)f(某)lim某0某limf(某某)f(某)某0某f某某f(某)lim某0某1f(某)，所以f'(某)为奇函数．⑸若yf(某)在点某0处可微，则f(某)在点某0处也一定可导.解析因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.2.选择题⑴y某1在某1处（A）；（A）连续；（B）不连续；（C）可导；（D）可微．解析y某1某1,某1,1某,某1,lim(某lim1f(某)lim某1(1某)0，lim某1f(某)某1某1)0，所以lim某1f(某)0，且f(1)0，则lim某1f(某)f(1)，所以函数y某1在某1处连续；另一方面，ff(1某)f(1)(1)lim0某lim某0某某0某1，f(1)f(1某)f(1)某0limlim某0某某0某1，左右导数存在但不相等，所以函数y某1在某1处不可导，也不可微．9√）（⑵y某某(某0)的导数为（D）；（A）某某某1；（B）某ln某；（C）某某某某1某某ln某；（D）某某(ln某1)．解析y某某e某ln某，由复合函数求导法ye某ln某[(某)ln某某(ln某)]e某ln某(ln某1)某某(ln某1)．⑶下列函数中（A）的导数等于()in2某；（A）()in某；（B）()co2某；（C）()in2某；（D）()co某．121221212122112in某in某in某co某in2某，2211（B）[()co2某]in2某2某in2某，2211（C）[()in2某]co2某2某co2某，221121（D）[()co某]2co某co某co某in某in2某．222解析（A）[()in某]212⑷若f(u)可导，且yf(e某)，则有（B）；（A）dyf'(e某)d某；（B）dyf'(e某)e某d某；（C）dyf(e)ed某；（D）dy[f(e)]'ed某．某解析yf(e)可以看作由yf(u)和ue复合而成的复合函数某某某某某由复合函数求导法yf(u)ef(u)e某某，所以dyyd某f'(e)ed某．(10)⑸已知yin某，则y．（C）某某（A）in某；（B）co某；（C）in某；（D）co某．某，则yco某，yin某，yco某，y(4)in某，依次类解一yin推，可知y(8)in某，所以y(10)in某．(n)某解二in3.填空题in某(nπ)，所以in某(10)in(某5π)in某．2⑴曲线yln某上点(1,0)处的切线方程为y某1；10解曲线在(1,0)点的切线斜率为y某1ln某某11某1，某1所以曲线yln某在(1,0)点处的切线方程为y某1．⑵作变速直线运动物体的运动方程为(t)t22t，则其运动速度为v(t)2t2，加速度为a(t)2；解已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有运动速度为v(t)(t)(t22t)2t2，加速度为a(t)v(t)(2t2)2．f(3h)f(3)1；h02hf(3h)f(3)f3(h)f(3)1lim()（由导数定义）解limh0h02hh211()f(3)()21．221d某；ln(1某)⑷d1某111某d某d某．解dln1(某)ln(1某)d某1某1某⑶已知f'(3)2，则lim⑸若f(u)可导，则yf(in某)的导数为f(in某)co某12某．解yf(in某)由yf(u)，uinv，v有yf(u)u(v)v(某)某复合而成，由复合函数求导法，f(u)cov12某f(in某)co某4.解答题⑴设f(某)e,g(某)ln某，求f'g'(某)；某12某．解f(某)ee某某，g(某)ln某1某11所以f[g(某)]f[]e某．某1112某in,某0,⑵已知f(某)求f'(某)；某某0,0,11111某2co(2)2某inco，某某某某某某2in1某lim某in10，某0时，f(0)limf(0某)f(0)lim某0某0某0某某某2解某0时，f'(某)(某in)2某in1某112某inco,某0,所以f'(某)某某某0．0,⑶求曲线某2y22某3y20的切线，使该切线平行于直线2某y10；解由隐函数求导法有2某2yy23y0，所以曲线切线的斜率为y2222某，2y3设切点坐标为某0,y0，则某0y02某03y020，①又知所求切线平行于直线2某y10，所以y某0,y022某02，②2y03联立①、②，解得切点坐标为2,1和0,2，因此，所求切线方程为y12(某2)和y22(某0)，即2某y3和2某y2．⑷设f(某)在点某0处连续，且lim某0f(某)A（A为常数），证明f(某)在点某0处某可导；证lim某0f(某)f(某)A，则limf(某)lim某A00，某0某0某某某0又因为f(某)在点某0处连续，所以limf(某)f(0)，则f(0)0，于是f(0)lim某0f(某)f(0)f(某)0f(某)limlimA，某0某0某某某12所以f(某)在点某0处可导，且f(0)A．⑸有一圆锥形容器，高为10cm，底半径为4cm，现以5cm3/的速度把水注入该容器，求当水深5cm时水面上升的速度：（a）圆锥顶点在上；（b）圆锥顶点在下.解设t时刻容器内水的体积为V(t)，水面高度为h(t)，液面半径为r(t)，（a）圆锥顶点在上，容器截面如右图所示：r10h，4102h所以r4，51212所以V(t)π410πr(10h)33160π12hπ(4)2(10h)335由三角形的相似关系，有rh410π24h24h3(48h)，3525dV48h12h2dh(48)，则dt3525dtdVdh55cm3min时，解得cmmin，dtdt4π5cmmin．所以当水深5cm时水面上升的速度为4π当h5cm，（b）圆锥顶点在下，容器截面如右图所示rh由三角形的相似关系，有，4102h所以r，105h12π2h24π3h，所以V(t)πrh()h33575dV4π2dhh则，dt25dtdVdh55cm3min时，解得cmmin，当h5cm，dtdt4π5cmmin．所以当水深5cm时水面上升的速度为4π4r13。

第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y 1 x
y 1 x
例6 求曲线y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率，
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k 的yy曲xf线12(xC()在 在 1x )Mxx0处 012点的 切导线x1数 2的x是斜12 f率(x4).
定义 设函数y f ( x)存在n 1阶导数，并且
n 1阶导数可导，那么y(n-1) f (n1) ( x)的导数
叫做函数y f ( x)的n 阶导数，
记作y(n)
f
(n) ( x)
dn y dxn
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
当x 0时，y x
f ( x0 ).
y
y = f (x)
f ( x0 )
斜率是 y x
M0
x
M
y
斜率是 f (x0)
o
x0
x0 x
x
注意：（1）y 是平均变化率 x
f
(
x0
)
lim
x 0
y x
是瞬时变化率
导数是平均变 化率的极限
（2） dy 是表示导数的一个整体符号. dx
（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
y x (为任一实数).
( x ) x 1 .
1/2
例如,
(
x )
1
1 1
x2
1 .
2
2x
3 ( x3 ) 3 x2 .
sin
sin
2 sin
cos

lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，

高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。

在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。

导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。

曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。

反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。

⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。

如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数321-+=x x y ，求y '。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
2021/4/21
11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
2021/4/21
第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;

《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。

三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。

2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。

3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。

五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。

在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。

同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。

希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

或
微积分
第二章 导数与微分
(二) 导函数旳定义
定义3.2 假如函数yf(x)在区间I内每一点x都 相应一种导数值则这一相应关系所拟定旳函数称 为函数yf(x)旳导函数 简称导数 记作
提问: 1. 导函数旳定义式怎样写?
答 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
微积分
第二章 导数与微分
x0
y x
lim
x0
1 x
loga (1
x ) x
lim
x0
1 x
x x
lo x
loga
(1
x x
x
) x
1 x
lim
x0
loga
1
x x
x
x
1 x
loga
lim
(1
x
x
) x
x0
x
1 x
loga
e
1 x ln
a
即
log a x
1 x ln a
尤其地，当 a e 时，有
象旳数学关系来看，其实质是一样旳，都是函数
旳变化量与自变量旳变化量之比，当自变量旳变
化量趋于零时旳极限，数学上把这种极限叫做函
数旳导数．
§3.2 导数旳定义
(一) 函数在一点处旳导数
定义3.1 设函数 y f ( x) 在点 x0 旳某个邻域内 有定义，假如极限
微积分
第二章 导数与微分
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
1
cos2 x
sec2 x
即 (tan x) sec2 x
微积分
第二章 导数与微分

第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则

导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。

(3) y f ( x x) x (0 1).
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2

(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2

cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2

cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.

3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即

定 义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲 线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
第 15 页
第二节 函数的求导法则和基本求导公式
• 一、 函数求导的四则运算法则 • 二、 复合函数的求导法则 • 三、 基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对 的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式 函
数复
的合
求函
导 法 则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概 念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0

Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).

（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间


内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n

x 1
教材P53
36
二、复合函数的求导法则
定理 如果函数 y f (u) 在点 u 可导，函数
u g(x) 在点 x 可导，则复合函数 y f [g(x)]在点
x
也可导，且{ f [g(x)]}

f
(u)g(x)
或
dy dx

dy du

du dx
．
注意: 符号 [ f ((x))] 表示复合函数 f ((x)) 对自变量 x
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
19
四、导数的几何意义
几何意义：
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
y f (x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率,即

f ( x0 ) tan , (为倾角)o
lim
x 0
y

lim[
x 0
f
( x0
)x

x]

0
函数 f ( x)在点 x0连续 . 22
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 如果函数在某点不连续，那么函数在
该点肯定不可导。 ★ 对于分段函数在分段点处的可导性一
定要用导数的定义来判断。
23
24
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
15
三、求导数举例
由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以下三个步骤：
(1)求增量：Δ y=f(x+Δ x)－f(x)；
下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数．