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小升初培优（四）： 数论篇课前热身：1 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它自身。
2假如在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是本来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。
3211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5，下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k ak（#)其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表达是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak）[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。
（1996年小学数学奥林匹克预赛）5) 用[a,b]表达a和b的最小公倍数，(a,b)表达a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。
（迎春杯刊赛第10题）6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
五年级数学培优教材综合版五年级数学培优教材（一）1.0版主编：刘志国汇优秀试题之精粹集思想方法之大成建创新能力之平台筑方法习惯之新路版权由株洲市东方金子塔儿童潜能培训学校所有任何人未经允许不得翻印违者必究2012年6月编者的话随着教育改革的不断深入与发展，广大学生与家长迫切需要一本能指导变革时期小学数学培优的新读本。
本套教材是本人结合多年的教学经验，及同行之间多年互相的交流和学习的成果，精心编写而成。
本教材力求以《全日制义务教育数学课程标准》为依据，为广大教育工作者提供全面的系统的各类小学培优竞赛试题的分析和解答，突出素质教育的新思维，既注重知识的系统性、连续性，又注重有关知识的链接和引申，强调问题背景的揭示、解题思路的探求、解题方法的概括，关注问题的开放性与应用性，在培养能力的同时拓展数学知识方法与思想。
本书立足于尝试数学教育教学的“新方法”，里面的每一讲的前面都会对本讲的知识进行总结归纳，并建设性的提出一些解决问题的方法和设想，对学生更进一步的解决一些数学方面的困惑有一些帮助。
欢迎广大小读者和广大教师、家长在使用过程中把你们的批评、建议告诉我们，以便我们今后把本书修改得更精更好，更加适应学生的需要。
编者2012年6月数学教学与学习须知1、为了达到更好的教学和学习效果，我校特阐述如下几点教学与学习的建议，与大家分享。
当然在教学和学习过程中永远以实际情况为准。
2、一期15次课，12次新课，第13次结合义务教育教本教材复习，第14次自主出试卷考试，内容一个方面为教本教材，另一个方面为奥数内容。
3、教学宗旨：让学生觉得数学学习轻松、简单、有效、快乐。
尽最大努力改正学习习惯，培养数学学习兴趣，最大限度提高成绩。
A、培养良好的学习习惯听课要求：学生听课以及跟老师一起思考和解决问题是最重要的，所以我们要求老师在讲课过程中，绝对不允许学生开小差，哪怕是在做笔记也不行。
做笔记要求：让学生了解不是笔记做得越多越好，而是只要把书本上没有的公式、定理、法则、性质等做好笔记就行了，而且是要求做在教科书上。
目录第 1加减法便算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2第 2乘除法便算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6第 3植⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11第 4周期⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16第 5数列的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 21第 6等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 26第 7等差数列求和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第 8原⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯36第 9相遇（一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41第 10假法兔⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯46第 11消去法解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51第 12形的周与面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯56第 1 讲加减法简便计算【知识要点】在加减运算中，我们常用改变运算顺序、互补两数凑整、借数凑整以及选择基准数等方法，把数学算式巧妙变形，从而使运算简便。
【例题精讲】例 1、用简便方法计算下面各题。
1）1834 - (334 + 613) - 3872）4256 + 175- 256+ 8253）7324 - 29984）1308-(308-149)例2、用简便方法计算下面各题。
1）0.9 + 9.9 + 99.9 + 999.9 + 9999.92）101 - 0.9 - 0.09 - 0.009 - 0.0009例 3、算：1）(4+7+ ⋯+25+28)-(2+5+⋯+23+26)2）1 –2 + 3 –4 + 5 –6 + ┉ + 2001 –2002 + 2003例4、用便方法算。
486+482+485+483+487例 5、用便方法算。
1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+⋯ +9+8+7-6-5-4+3+2+1【基础夯实】1、巧算下面各题。
1）6234 - (234 + 187)2）964 –598 + 983）4976 - (976 - 249) + 2514）5498 –1928 –387 –1072 –1613 2、计算下列各题。
目录第01讲简便计算（一） (01)第02讲简便计算（二） (09)第03讲简便计算（三） (17)第04讲定义新运算 (25)第05讲数的整除 (31)第06讲比较数的大小 (38)第07讲数论专题（一） (44)第08讲数论专题（二） (49)第09讲分数应用题（一） (59)第10讲分数应用题（二） (65)第11讲比的应用（一） (71)第12讲比的应用（二） (78)第1讲 简便计算（一）1、考察范围：运算法则、定律、性质和公式。
2、考察重点：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。
3、命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
1、基本公式.乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 加法交换律：a b b a +=+乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 加法结合律：)(c b a c b a ++=++ 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 2、去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ++=++)( 括号前面是减号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a --=+-)( 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ÷⨯=÷⨯)( 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a ÷÷=⨯÷)(【例1】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+-⨯⨯09.05321323.11857.66.35333.431【变式练习】 1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯81584.0916.1527考点解读知识梳理典例剖析2、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯+÷15.03.031125.63115.3【例2】 475759759975999759999⨯++++【变式练习】 1、659999965999965999659965965+++++2、2008200620001998199719961995++++++【例3】 31151157÷【变式练习】 1、2019201812020÷2、655161544151433141⨯+⨯+⨯【例4】2021202020202020÷【变式练习】 1、2013201220122012÷【例5】⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201812017120161201912018120171201611201912018120171201612018120171201611【变式练习】 1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++91715131111917151311111917151319171513112、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++5141312151413111514131514131211【例6】100910102019201810102019+⨯⨯+【变式练习】 1、202020182019120202019⨯+-⨯2、143138058419921991584204--⨯⨯+A 、温故知新1、()[]25.036.263.12.0242.3825.016.35÷--⨯÷+⨯2、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷20725.22034431187125 3、544156766171833185⨯+⨯+⨯4、()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯÷+837356999111 5、439999439994399439+++课后精练6、2005200420042004200620032003÷+ 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++51413121141315141312114131 8、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++514131216151413121161514131215141312119、201720152016120172016⨯+-⨯B 、拓展提升1、（长郡系）4141312111++++2、（附中系）()()564561126129187125.025.05.0125.025.05.0⨯-+⨯⨯⨯⨯÷++3、（附中系）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+7115113118116114112114、（雅礼系）433141544151655161766171877181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯第2讲 简便计算（二）1、考察范围：分数乘、除法计算法则。
目录第1讲小数的运算技巧（一） (2)第2讲小数的运算技巧（二） (6)第3讲相遇问题（二） (11)第4讲平均数应用题 (15)第5讲尾数与余数问题 (19)第6讲包含与排除 (23)第7讲解方程 (27)第8讲列方程解决问题（一） (31)第9讲列方程解决问题（二） (35)第10讲基本图形的面积 (39)第11讲组合图形的面积（一） (43)第12讲组合图形的面积（二） (47)第1讲小数的运算技巧（一）【知识要点】小数运算中常运用的技巧有：（1）等积变形：（运用一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的性质，可以把几个因数化成相同的数来计算）（2）凑整与拆分；（3）分组与重新组合；（4）乘法分配律及其反用；（5）商不变的性质；（6）用字母代替数字，即代换法。
【例题精讲】例1、计算：0.79×0.46+ 7.9×0.24+11.4×0.079例2、计算：7.5×23+31×2.5例3、计算：（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18）例4、计算：3.6×42.3÷0.9－12.5×0.423×16例5、计算：(1 + 2.3 + 3.4) ×(2.3 + 3.4 + 6.5)-(1 + 2.3 + 3.4 + 6.5) ×(2.3 + 3.4) 例6、计算： 0.1949×0.19951995－0.1995×0.19491949【基础夯实】1、计算： 7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×7242、计算：3.7×15+21×4.53、计算：1）0.9999×0.7+0.1111×2.7 2）99.9 ×22.2+ 33.3×33.44、计算：（3.4×4.8×9.5）÷（1.9×17×2.4）5、(1 + 1.7 + 1.9) × (1.7 + 1.9 + 9.2) - (1 + 1.7 + 1.9 + 9.2) × (1.7 + 1.9)【能力提升】1、大小两数的差是7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，较大数是多少？2、两个数相加，小芳错算成相减了，结果得8. 6,比正确答案小10.4，原数中较大数是多少？3、比较下面两个积的大小A=5.4321×1.2345，B=5.4322×1.2344第二讲小数运算技巧（二）【巩固旧知】1、计算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.92、计算：19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82【例题精讲】例1、计算：0.11+0.13+0.15+0.17+……+0.97+0.99例2、一个物体从空中落下来，经过4秒钟落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距地面多少米？例3、计算：(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(100+1.2×100) 例4、计算：1.999×2003－1.998×2004【基础夯实】1、计算：0.1+0.13+0.16+0.19+...+0.97+12、计算：(1-0.1)+(2-0.2)+(3-0.3)+…+(9-0.9)+(10-1)3、一个物体从空中落下来，第一秒钟下落2.5米，以后每秒多下落9.9米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？4、12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12 +91.235、小王和小明两人比赛赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。
五年级上册数学期中综合培优卷（一） (满分：100分+10分 时间：90分钟)一、智慧填空。
（第7题2分，其余每空1分，共27分） 1.0.69是( )的15倍；( )是3.5的1.04倍。
2.5.67×1.5的积是( )位小数；2.184÷0.23的商的最高位是( )位。
3.3.8951951…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。
4.在○里填上“>”“<”或“=”。
13.8÷0.87○13.8 46.8×1.09○46.82.065÷0.1○2.65×10 7.81÷0.56○7.81×0.567.53×0.9○7.53+0.9 138×0.99○1.38×995.一个小数的小数点向左移动一位后,比原数小了0.72,原来这个小数是( )。
6.笑笑在班上的座位用数对表示为(6,5)，是在第( )列、第( )行，她的同桌的座位用数对表示可能是( ， )，也可能是( ， )。
7.将0.545、0.54、、、0.54、、0.5、43、这四个数按从小到大的顺序排列： ( )<( )<( )<( )8.海伦一家来杭州旅游，花12美元买了一个纪念品，折合人民币是( )元。
1美元兑换人民币7.14元1美元兑换港元7.84元9.中国结是一种手工编织工艺品，每一个中国结从头到尾都是用一根丝绳编织而成的。
如左下图，编一个中国结要用0.85m 长的丝绳，编5个这样的中国结需要( )m长的丝绳；8m 长的丝绳可以编( )个这样的中国结。
10.李阿姨准备买1箱苹果、1箱香蕉和2箱橘子，水果的价格如上图所示，200元够吗？( )（填“够”或“不够”）。
11.如图，同时掷两枚骰子，得到的两个数中，和最大是( ),最小是( )，和是( )的可能性最大。
12.小林在计算9.8×(□+4.25)时，错算成9.8×□+4.25，他得到的结果比正确结果少( )。
小学数学五年级数学培优篇一：五年级数学培优因数和倍数第二讲因数和倍数(一)【知识要点】 1．因数和倍数整数a(a?0)乘整数b(b?0)得到整数C，那么a和b叫做C的因数，C叫做a,b的倍数。
2．倍数的特征2的倍数的特征：个位上是0、2,4、6、8的数都是2的倍数。
5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3.奇数、偶数的意义自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。
【例题讲解】例1、48的全部因数有哪几个?20以内3的倍数有哪几个?例2、一个数既是40的因数，又是5的倍数。
这个数可能是几?例3、在方框里填上适当的数字,使它是2和3的倍数.（1）38□ （2）945□例4、观察下面各数：120 432 115 84130 7579966 2的倍数有既有因数2,又有因数3的数有既有因数3，又有因数5的数有同时是2,3,5的倍数的数是例5、在下面方格内填上适当的数字。
（1）26□4能被2整除，又能被3整除。
（2）412□能被3整除，又能被5整除。
（3）61□□能同时被2、3、5整除。
【巩固练习】A组1、写出下面各数的倍数或因数。
2、填一填。
(1)32的因数有（）共（）个，其中最小因数是（），最大因数是（）。
(2)一个数的倍数的个数是（）的，其中最小倍数是（）。
(3)24的全部因数从小到大依次为（）。
(4)一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是（）。
(5)如果数a能被数b整除（b:*0）a就叫做b的（），b就叫做a的（）。
3、连一连。
4、猜数。
(1)它是24的最大因数，这个数是_______。
(2)它的最小倍数是45，这个数是________。
(3)它是l2的倍数，又是24的因数，这个数可能是________。
B组一、填空。
1．自然数按是不是2的倍数，可分为( )和( )。
2．在30、47、28、51、36、41、135、102中是2的倍数的数有( )，是3的倍数的数有( )，是5的倍数的数有( )。
b aabb模块1：勾股定理的证明和简单运用知识剖析勾股定理在直角三角形当中有，,,a b c 分别为三条边。
c ba则222a b c +=，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。
勾股定理的证明方法至今为止，勾股定理已经有了500多种证明方法，大家一起来看看下面这种证明方法。
比较左右两个大正方形的面积，想想阴影部分之间有什么关系？这种证明方法来自于赵爽的“弦图”，在暑期的课程中，我们还会学到。
如图，求出下列直角三角形中边长a 的长度．43aa610【分析】5,8,学习第一讲一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是5，求斜边长度．【分析】设斜边长度是a ，另一直角边长度是b ．那么()()222255251a b a b a b a b a b +=⎧-=⇒+-=⇒⎨-=⎩，解得1312a b =⎧⎨=⎩．因此斜边长是13.一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条边长度是5，求三角形的面积．【分析】分两种情况考虑：()1如果斜边是5，那么只能是()3,4,5，面积为3426⨯÷=．()2如果直角边是5，设斜边长度是a ，另一直角边长度是b ．那么()()222255251a b a b a b a b a b +=⎧-=⇒+-=⇒⎨-=⎩，解得1312a b =⎧⎨=⎩，此时面积为512230⨯÷=综合计算模块观察下列规律：2223991(54)(54)54==⨯=+⨯-=-222525251(1312)(1312)1312==⨯=+⨯-=-222749491(2524)(2524)2524==⨯=+⨯-=-22222811(4140)(4140)4140981273(1512)(1512)1512⎧⨯=+⨯-=-⎪==⎨⨯=+⨯-=-⎪⎩请写出：22215(__)(__)=-。
想一想，三条边都为整数，且其中一条直角边为15的不同的三角形有多少个？【分析】113和112，39和36，25和20，17和8。
五年级上册数学培优练习卷一、选择1、下面最接近0 的数是（）。
A、－ 3 B 、 2 C 、－ 12、两个三角形等底等高，说明这两个三角形（）。
A、形状相同 B 、面积相同 C 、一定能拼成一个平行四边形3、把一个平行四边形木框拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比（）。
A、周长不变、面积不变B、周长变了、面积不变C、周长不变、面积变了4、在面积为42 平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）。
A、21 B 、30 C 、 145、下面三个完全一样的直角梯形中，阴影部分的面积（）。
甲：乙：丙：A、甲最大 B 、乙最大 C 、丙最大 D 、一样大6、平行四边形的两条边分别是10cm和 6cm ，其中一条高是9cm。
那么这个平行四边形的面积是（）平方厘米。
A、45 B 、 90 C 、54 D 、54或907、一个三角形，底扩大 6 倍，高缩小 2 倍，那么这个三角形的面积（A、扩大 6 倍 B 、缩小 2 倍 C 、面积不变 D 、扩大 3 倍）。
二、填空1 、一个数用四舍五入法得到它的近似数是 9万，这个数最大是（），最小是（）。
2 、一个数用四舍五入法得到它的近似数是34亿，这个数最大是（），最小是（）。
把（3、求小数的近似数，可以用“ （）”法。
如果保留两位小数，就要）位数省略；如果保留一位小数，就要把（）位数省略。
4、在表示近似数时，小数末尾的（）不能去掉。
5、把 40791 改写成用“万”作单位的数是（），省略万位后面的尾数约是（）。
6、0.7 里面有（）个0.1，有（）个0.001。
把6.8写成以千分之一为单位的小数是（）7、把 1.2 改写成以百分之一为单位的数是（），把 5改写成计数单位是0.001 的数是（）。
4 个 100 和 8个 0.01 组成的数是（）。
7 个 10 、8 个0.01 和 9 个 0.001组成的数是（）。
8、一个数的百位、十分位、百分位上都是5，其他各位都是0 ，这个数是（）。
目录第 1小数的运算技巧（一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2第 2小数的运算技巧（二）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6第 3相遇（二）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11第 4平均数用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15第 5尾数与余数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19第 6包含与排除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 23第 7解方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯27第 8列方程解决（一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第 9列方程解决（二）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯35第 10基本形的面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯39第 11合形的面（一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯43第 12合形的面（二）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯47第 1 讲小数的运算技巧（一）【知识要点】小数运算中常运用的技巧有：（1）等积变形：（运用一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的性质，可以把几个因数化成相同的数来计算）（2）凑整与拆分；（3）分组与重新组合；（4）乘法分配律及其反用；（5）商不变的性质；（6）用字母代替数字，即代换法。
【例题精讲】例1、计算： 0.79 × 0.46+ 7.9 ×0.24+11.4 ×0.079例2、计算： 7.5 ×23+31× 2.5例3、计算：（3.6 × 0.75 × 1.2 ）÷（ 1.5 ×24×0.18 ）例4、计算： 3.6×42.3÷0.9 － 12.5×0.423× 16例5、计算： (1 + 2.3 + 3.4) × (2.3 + 3.4 + 6.5)-(1 + 2.3 + 3.4 + 6.5)× (2.3 + 3.4)例6、计算： 0.1949 ×0.19951995－0.1995 ×0.19491949【基础夯实】1、计算： 7.24 ×0.1+0.5 × 72.4+0.049 × 7242、计算： 3.7 × 15+21×4.53、计算： 1）0.9999 ×0.7+0.1111 ×2.7 2）99.9 × 22.2+ 33.3× 33.44、计算：（3.4 ×4.8 ×9.5 ）÷（ 1.9 × 17×2.4 ）5、(1 + 1.7 + 1.9) (1.7×+ 1.9 + 9.2) - (1 + 1.7 + 1.9 + 9.2) (1.7 + 1.9) ×【能力提升】1、大小两数的差是 7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，较大数是多少？2、两个数相加，小芳错算成相减了，结果得 8. 6, 比正确答案小 10.4 ，原数中较大数是多少？3、比较下面两个积的大小A=5.4321 ×1.2345， B=5.4322 ×1.2344第二讲小数运算技巧（二）【巩固旧知】1、算： 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.92、算： 19.98 ×37-199.8 ×1.9+1998 ×0.82【例精】例1、算： 0.11+0.13+0.15+0.17+ ⋯⋯ +0.97+0.99例2、一个物体从空中落下来， 4 秒落地，已知第一秒下落 4.9 米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多 9.8 米，个物体在下落前距地面多少米？例3、算： (1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+⋯+(100+1.2×100)例4、算： 1.999 ×2003－1.998 ×2004【基夯】1、算： 0.1+0.13+0.16+0.19+...+0.97+12、算： (1-0.1)+(2-0.2)+(3-0.3)+⋯+(9-0.9)+(10-1)3、一个物体从空中落下来，第一秒钟下落 2.5 米，以后每秒多下落9.9 米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？4、12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12 +91.235、小王和小明两人比赛赛跑，限定时间为 10 秒，谁跑的距离长谁就获胜。
小王第一秒跑 l 米，以后每秒都比前一秒多跑 0.1 米，小明自始自终每秒跑 1.5 米，谁能取胜？6、计算： 1.23 ×2.45-1.22 ×2.46【能力提升】算： 1）0.888×125× 73+999×32）下面有两个小数 :a=0.00 ⋯0125b=0.00 ⋯ 08 1996个 02000个0试求： a+b, a- b, a b。
第三讲相遇问题（二）【知识要点】本讲仍继续以前对相遇问题中较复杂的相遇和多次相遇问题进行探究，进一步强调先过程分析再数量关系分析。
【例题精讲】例 1、甲、乙两列火车分别从 A、B 开出，同时出发，相向而行，甲每小时走 60 千米，乙每小时走 45 千米， 4 小时后两车相距 100 千米，求 AB相距多远？例2、小明和小勇分别从相距 1000 米的甲乙两地出发，相向而行。
小明每分钟走60 米，小勇每分钟走 50 米。
如小明先出发 2 分钟小勇才出发，问小勇出发几分钟后两人相遇？例 3、小斌骑自行车每小时行 15 千米，小明步行每小时行 5 千米。
两人同时在某地沿同一条线路到 30 千米外的学校去上学。
小斌到校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在途中与小明相遇。
问：相遇时小明共行了多少千米？例4、A、B 两地相距 21 千米 , 甲从 A 地出发 , 每小时行 4 千米 , 同时乙从 B 地出发相向而行 , 每小时行 3 千米 . 在途中相遇以后 , 两人又相背而行 . 各自到达目的的地后立即返回 , 在途中二次相遇 . 两次相遇点间相距多少千米?【基础夯实】1、甲、乙两人相距 400 米，两人同时相向而行， 5 分钟后，两人相距 200 米，已知甲的速度是 30 米每分钟，求乙的速度。
2、兄弟二人同时从家往学校走 , 哥每分钟走 90 米, 弟每分钟走 70 米, 出发 1 分钟后, 哥哥发现少带铅笔盒, 则原路返回, 取回立即出发, 结果与弟弟同时到达学校, 问他们家离学校有多远 ?3、姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770 米。
妹妹步行每分钟行60 米，姐姐骑自行车以每分钟160 米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。
这时妹妹走了几分钟 ?4、甲、乙两车的速度分别为每小时 52 千米和 40 千米，它们同时从 A 地出发去 B 地，出发后 6 小时，甲遇到迎面而来的大卡车， 1 小时后乙也遇到了这辆大卡车，求大卡车的速度。
5、甲以每小时 15 千米的速度去 120 千米外的 A 城，乙以每小时 9 千米的速度与甲同时出发，甲到达 A 城后立即返回，再行几小时和乙相遇？【能力提升】1、甲乙两辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲车速度为每小时 60 千米，乙车速度为每小时 48 千米，出发后 8 小时，甲车遇到一骑电动车的人， 1.5 小时后乙车也遇到了这骑电动车的人，求骑电动车的人的速度是多少？2、甲乙两辆汽车早上 8 时分别从 A 、B 两城同时相向出发，到 10 时两车相距112.5 千米，继续行进到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。
问 A 、 B 两地距离是多少于米？第四讲平均数应用题【知识要点】平均数 =总数量÷总份数总数量=平均数×总份数难点是总数量和总份数在题目中没有直接告诉我们时，要先设法求出来。
【例题精讲】例1、一次数学测验，五年级甲班 54 位同学平均分是 81.5 分，乙班 50 位同学平均分比甲班平均分高 5.2 分，求两个班全体同学的平均分是多少？例2、有五个数的平均数为 30，如果把其中一个数按 60 来计算，则平均数变为40，这个数原来是多少？例3、小明看着自己的数学成绩表预测，如果下次数学考100 分，那么数学总平均分是 91 分；如果下次考 80 分，那么数学总平均分就只有 86 分。
小明数学统计表上已有几次成绩？例4、有八个数字排成一排，它们的平均数是 9.3。
已知前五个数的平均数是 10.5，后四个数的平均数是 11.3，问第五个数是多少？例5、果品店把 2 千克酥糖， 3 千克水果糖， 4 千克奶糖混合成什锦糖，已知酥糖每千克 8 元，水果糖每千克 11 元，奶糖每千克 17 元。
问什锦糖每千克多少钱？【基础夯实】1、女同学的人数是男同学的 2 倍，女同学的平均身高是 160 厘米，男同学学的平均身高是 154 厘米，全班同学的平均身高是多少厘米？2、一条山路长 15 千米，一辆汽车上山每小时行 30 千米 .从原路下山每小时行 50 千米，求这辆汽车上山和下山的平均速度？3、四个数的平均数是60 ，若把其中一个数改为60 ，这四个数的平均数变为 66 ，被改的数是多少？4、小华的第一次和第二次数学测验的平均成绩是 82 分，第三次测验后，计算得三次测验的平均成绩为 85 分，问第三次测验得了多少分？5、10 个人参加数学竞赛，10 个人的总平均分是82 分，前6 个人的平均分是83 分，后6 个人的平均分是80 分，那么第五个人和第六个人的平均分是多少？【能力提升】1、有 35 千克软糖，每千克 10.3 元，还有 65 千克水果糖，每千克 8.5 元。
把这两种糖混合起来成为什锦糖，至少每千克多少元卖出才不亏本？2、A、B、C、D 四个数，每次去掉一个数，得其余三个数求平均数，这样计算了 4 次得到下面四个数： 23 ， 26 ， 30 ， 33 。
问 A、 B、 C、 D 四个数的平均数是多少？第五讲尾数和余数问题【知识要点】一个自然数的个位数称为自然数的尾数，如： 4535 的尾数是 5，123. 23 的尾数是 3，20 的尾数是 0。
自然数的尾数有着许多的应用。
这里我们主要讲如何判断自然数的尾数。
在运算中，尾数是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
自然数尾数、余数的性质：1、一位数的尾数是它本身，0 的尾数是 0。
2、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。
3、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。
4、一个自然数的 N 次方的尾数就等于它的尾数的N 次方的尾数。
5、两个自然数的差的尾数，等于这两个自然数尾数之差，当尾数不够减时被减数尾数加 10 后再减。
6、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数，所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。
