三角恒等变换专题复习带答案

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三角恒等变换专题复习

教学目标：

1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 ,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；

2、理解同角三角函数的基本关系式： ；

3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题;

教学重难点：

可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题

基础知识

一、同角的三大关系：

① 倒数关系 tan•cot=1 ② 商数关系 sincos= tan ； cossin= cot

③ 平方关系 22sincos1

温馨提示：

1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网

2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号;

二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限

用诱导公式化简,一般先把角化成,2kkz的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把看作是锐角,判断角2k在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;

用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间00(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;

三、和角与差角公式 ：

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantantan()1tantan

变 用 tan±tan=tan ±1tantan

四、二倍角公式：

sin2= 2sincos.

2222cos2cossin2cos112sin.

22tantan21tan 2

五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式cos()coscossinsin推导出来;

六、注意公式的顺用、逆用、变用;

如：逆用sincoscossinsin() 1sincossin22

变用22cos1cos2 22cos1sin2 21cos4cos22

七、合一变形辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 BxAy)sin(形式;22sincossin,其中tan．

八、万能公式

2tan1tan22sin 22tan1tan12cos 2tan1tan22tan

九、用sin,cos表示2tan

sincos1cos1sin2tan

十、积化和差与和差化积

积化和差 )]sin()[sin(cossin；

)]sin()[sin(sincos；

)]cos()[cos(coscos；

)]cos()[cos(sinsin.

和差化积 2cos2sin2sinsin

2sin2cos2sinsin

2cos2cos2coscos

2sin2sin2coscos

十一、方法总结

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1、三角恒等变换方法

观察角、名、式→三变变角、变名、变式

1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,

如α=α+β－β=α－β+β,

2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.

2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sincostan,cotcossin,

3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等;

2、恒等式的证明方法灵活多样

①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";

④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

例题精讲

例1 已知为第四象限角,化简：cos1cos1sinsin1sin1cos

解：1因为为第四象限角

所以原式=2222cos1)cos1(sinsin1)sin1(cos

sincoscos1sin1sincos1sincossin1cos

例2 已知360270,化简2cos21212121

解：360270,02cos,0cos

所以原式=2111cos211cos2222221coscoscos222

例3 tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=00020cos40sin220sin

=0000sin(6040)2sin40cos200000033cos40sin403cos20223cos20cos20

例4 05天津已知727sin(),cos241025,求sin及tan()3．

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解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得

)cos(sin22)4sin(1027,即57cossin ①

由题设条件,应用二倍角余弦公式得

)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722

故51sincos ② 由①和②式得53sin,54cos

因此,43tan,由两角和的正切公式11325483343344331433tan313tan)3tan(

解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得2sin212cos257,

解得 259sin2,即53sin 由1027)4sin(可得57cossin

由于0cos57sin,且057sincos,故在第二象限于是53sin,

从而5457sincos 以下同解法一

小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含进行转换得到．

2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形．

例5 已知,,ABC为锐角ABC的三个内角,两向量(22sin,cossin)pAAA,(sincos,qAA1sin)A,若p与q是共线向量.

1求A的大小；

2求函数232sincos()2CByB取最大值时,B的大小.

解：122// 2(1)(1+)- pqsinAsinAsinAcosA

22220 120cosAcosAcosA 1cos2A20<2A<,

002A120 A=60

200A=60 B+C=120 2013y=2sinB+cos(602B)1cos2B+cos2Bsin2B22

31 =sin2Bcos2B+1=sin(2B)1226 , 2BB623当时，即=．

小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意

例6 设关于x的方程sinx＋3cosx＋a＝0在0, 2π内有相异二解α、β. 5

1求α的取值范围; 2求tanα＋β的值.

解: 1∵sinx＋3cosx＝221sinx＋23cosx＝2 sinx＋3, ∴方程化为sinx＋3＝－2a.

∵方程sinx＋3cosx＋a＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx＋3≠sin3＝23 .

又sinx＋3≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a|<1 . 且－2a≠23. 即|a|<2且a≠－3.

∴ a的取值范围是－2, －3∪－3, 2.

2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋3cosα＋a＝0 ①. sinβ＋3cosβ＋a＝0 ②.

①－②得sinα－ sinβ＋3 cosα－ cosβ＝0. ∴ 2sin2cos2－23sin2

sin2＝0, 又sin2≠0, ∴tan2＝33.∴tanα＋β＝2tan22tan22＝3.

小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件.

例7 已知函数xxmxfcossin2在区间2,0上单调递减,试求实数m的取值范围．

解：已知条件实际上给出了一个在区间2,0上恒成立的不等式．

任取21,xx2,0,且21xx,则不等式21xfxf恒成立,即11cossin2xxm22cossin2xxm恒成立．化简得2112sin2coscosxxxxm

由2021xx可知：0coscos12xx,所以1221coscossin2xxxxm

上式恒成立的条件为：上的最小值，在区间20coscossin21221xxxxm.

由于2sin2cos22sin2sin22cos2sin4coscossin22121212121211221xxxxxxxxxxxxxxxx

2sin2cos2cos2sin2sin2sin2cos2cos221212121xxxxxxxx2tan2tan2tan2tan122121xxxx