三角恒等变换常考题含答案

三角恒等变换常考题型分析　■河南　乔国颖（特级教师）　郜珂　三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考　必考内容之一。近几年高考对三角恒等变换的考查　要求有所降低，主要考查三角恒等变换中的化简、求　值和证明。　１．三角函数式的化简　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，　通过看角之间的差别与联系，对角进行合理的拆分，　从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间　的差异，从而确定使用的公式；三看结构特征，分析　结构特征，找到变形的方向。　侧，化简：　４ｓｉｎ　（詈＋ａ）ｔａｎ（　～ａ）。　解：４ｓｉｎ　（手＋ａ）ｔａｎ（　一　）一４ｃ。ｓ　（　一ａ）。　ｔａｎ（　一ａ）一４ｃ。ｓ　（手一ａ）ｓｉｎ　（　一ａ）一　２ｓｉｎ（号一２ａ）一２ｃＯｓ２ａ。　原式一　２ｃｏｓ　２ａ　２ｃｏｓ　２ａ　跟踪练习１：　，　／　ｇ　～　ｌ＿　一（　）。　Ａ．４　Ｂ．２　Ｃ．一２　Ｄ．一４　ｃｏｓ　１０￣一　＝＝＝　一　一　ｓｉｎ　１０。一ｃｏｓ　ｉ０。２ｓｉｎ（１０。－－３０。）　２ｓｉｎ（一２Ｏ　ｓｉｎ　１０。ＣＯＳ　１０。　ｓｉｎ　１０。ＣＯＳ　ｌｏ。　ｓｉｎ　１０。ＣＯＳ　ｉ０。　一一４，应选Ｄ。　专ｓｉｎ　２０。　２．三角函数式的求值　（１）给角求值：利用三角变换消去非特殊角，转　化为求特殊角的三角函数值的问题。（２）给值求值：　解题的关键在于“变角”，如ａ一（ｄ＋　）－ｆｉ，２ａ一（ａ＋　Ｊ９）＋（ａ－ｐ）等，把所求角用含已知角的式子表示，求　解时要注意角的范围的讨论。　倒２若ｓｉｎ（Ｔ兀－－ｘ）一号，则ｓｉｎ　２ｘ一——。　解：由ｓｉｎ（　一ｚ）一　３，可得ｓｉｎ（ｚ一－丌ｉ－）一　一詈，所以ｓｎ［（—ｑ兀－２ｘ　２　）＋号］一一｛，所以ｓｉｎ　—ｓｉｎ　ｌ（ｚ一“１＋等Ｉ—　Ｕ　ｌ　、　，　Ｊ　ｃ。ｓ［２（ｚ一｛）］一　一２ｓｉ　（ｚ一｛）一　一ｚ×　／　３、　７　ｌ—Ｔ　Ｊ一一２５。　跟踪练习２：ｔａｎ　一　。　提示：ｔａｎ半一ｔａｎ（４　一　）一一ｔａｎ号一一　。　３．三角函数的求角　通过某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵　照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已　知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；③若角的　范围是（ｏ，号），选正弦、余弦函数皆可；④若角的范　围是（０，丌），选余弦函数较好；⑤若角的范围为　（一号，号），选正弦函数较好。　侧了　在ＡＡＢＣ中，ｔａｎ　Ａ＋ｔａｎ　Ｂ＋　一　ｔａｎＡｔａｎ　Ｂ，则ｃ＝＝：～。　解：由题意得ｔａｎ　Ａ＋ｔａｎ　Ｂ一一　（１一ｔａｎ　Ａ・　ｔａｎ　Ｂ），所以　一一　卿ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）一　一√　。又ｔａｎ　ｃ—ｔａｎ［７ｃ一（Ａ＋Ｂ）］一一ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）　一￣／　，所以ｃ一要。　、　跟踪练习３：若锐角ａ，口满足（１＋√３　ｔａｎ　ａ）（１＋　４５ｔａｎ卢）一４，贝４　ａ＋卢一——。　提示：因为（１＋　ｔａｎ　ｄ）（１＋√　ｔａｎ　）一４，所以　１＋４５（ｔａｎ　ａ＋ｔａｎ卢）＋３ｔａｎ　ｄｔａｎｐ一４。　所以√　（ｔａｎ　ａ＋ｔａｎ　ｆｉ）一３—３ｔａｎ　ａｔａｎ　ｆｌ＿３（１一　ｔａｎ　ａｔａｎ　Ｊ８），即ｔａｎ　ａ＋ｔａｎ　ｆｌ＝√３（１－－ｔａｎ　ａｔａｎ卢）。　又因为ｔａｎ（　＋Ｊ９）一ｉｔ～ａｎｔａａｎ＋　ｔｔａａｎｎｆｌ　一　一　，所以ｎ＋卢一号。　４．三角函数的性质　求解三角函数的奇偶性、周期性、单调性、最值问　题时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为　一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三　角函数单调性的规律、三角函数的周期公式求解。　侧　已知函数＿厂（ｚ）一ｃｏｓ　ｘｓｉｎ　ｚ，给出下列四　中　学　生　数　理　丫匕　高　使　用　

等壅撬　型　

◇山东刘　颖　三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是　求三角函数极值与最值的一个过渡步骤．有时求三角　函数周期、对称轴等，需要将三角函数式化成一个角　的三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变　换．有关三角恒等变换的常考题型及解析总结如下．　１　利用和差角公式以及倍角公式解决三角函数求值　问题　ｆｃｏｓ（ａ－－ｐ）一善，　例１　若｛。　？　则ｔ　ｎ　．ｔ　ｎ卢的值为　Ｉ　ｃｏｓ（ａ＋卢）一　，　（　）．　Ａ　２；　Ｂ吉；　ｃ詈；　Ｄ＿詈－　

析由ｃｏ　一詈一ｓ（ａ＋　—　１　３　ｃｏ

…ｓ　ａｃ　ｏｓ　ｆｌ　＝５２－－＇　

所以ｔａｎ　ａ・ｔａｎ　：＝＝　１．故选Ｂ．　彝妻主　蒿　羔　馘眦删　

例２若ｏ＜ｎ＜号＜６＜兀，并且ｃ。ｓ　６一一号，　

ｓｉｎ（口＋６）一舌，则ｓｉｎ　ｎ的值是（　）．　

Ａ　；　Ｂ　；　ｃ号；　Ｄ舅　

析由。＜以＜号＜６＜兀，可知号＜口＋６＜　３　

又由ｃ。ｓ　６一一÷，ｓｉｎ（口＋６）一百７，解得ｓｉｎ　６一　，　Ｊ　５　ｃｏｓ（口＋６）一一　．所以ｓｉｎ　ｎ—ｓｉｎ［（口＋６）一６］一　ｓｉｎ（口＋６）ｃ。ｓ　ｂ－－ｃｏｓ（口＋６）ｓｉｎ　６一　１．故选Ｃ．　参彝　恒　拉角　

３借助切、弦互化解决三角函数求值问题　∞　—¨一　例３　锐角三角形的内角Ａ，Ｂ满足ｔａｎ　Ａ一　＿－　一ｔａｎ　Ｂ，则有（　）．　ＳＩｎ　Ａ　Ａ　ｓｉｎ　２Ａ—ＣＯＳ　Ｂ一０：　Ｂ　ｓｉｎ　２Ａ＋ＣＯＳ　Ｂ一０；　Ｃ　ｓｉｎ　２Ａ—ｓｉｎ　Ｂ一０：　Ｄ　ｓｉｎ　２Ａ—　—ｓｉｎ　Ｂ＝＝０　

析由ｔａｎ　Ａ一而１＿ｔａｎ　Ｂ，可得　一　

ｔａｎ　Ａ—ｔａｎ　Ｂ，所以　一　，故　ＣＯＳ　Ｂ一２ｓｉｎ　Ａｓｉｎ（Ａ—Ｂ），　ｃｏｓ［－（Ａ－－Ｂ）－－Ａ］一２ｓｉｎ　Ａｓｉｎ（Ａ－－Ｂ），　故ｃｏｓ（Ａ－－Ｂ）ＣＯＳ　Ａ—ｓｉｎ　Ａｓｉｎ（Ａ—Ｂ）一０，即　ＣＯＳ（２Ａ—Ｂ）一０．　因为Ａ、Ｂ是锐角三角形的内角，所以一　＜　２Ａ－－Ｂ＜７ｃ，所以２Ａ—Ｂ一　，故ｓｉｎ　２Ａ—ＣＯＳ　Ｂ，即　ｓｉｎ　２Ａ—ＣＯＳ　Ｂ一０．答案为Ａ．　彝　数袱　的　

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精品 考点19：三角恒等变换

一、走进学考：

1.（2013年）已知1cos2 ，0,2 ，则sin6 = 。

2. （2011年）已知函数()sincosfxxx，则()fx是（ ）

A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既是奇函数又是偶函数

二、重点知识点：

1、和差角公式：

)sin( ； )cos( ；

)tan( 。

两角和的正切公式可变形为： 。

2、二倍角公式：

2sin= ； 2tan= ；

2cos= = = 。

3、降幂公式：

2sin ； 2cos 。

4、辅助角公式：cossinba 。（可达到“将两个三角函数名化简为一个”的目的）

三、典型例题

例1. 计算

（1） (2) (3)

（4）sin 25°cos 65°＋cos 25°sin 65° （5）

...

精品

例2.已知

例3.若的值.

四、巩固练习

1. 已知32sin，则2cos 。

2.计算：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝ ；

12cos12sin 。

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三角恒等变换知识点解读及常考题型分析

作者：计杨娟

来源：《中学生数理化·高一版》2015年第06期

三角函数是高中数学的重要内容，也是每年高考的必考内容。下面主要介绍三角恒等变换的知识点与常考题型，供大家参考。

一、知识点解读

1.要熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，要灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2.有关公式的逆用与变形。

（2）化简技巧：切化弦，“1”的代换等。

5.三种变换。

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。

二、常考题型分析

1.辅助角公式的应用。

利用辅助角公式可求三角函数的最值、单调区间、周期等。

2.三角函数式的求值。

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，这时要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角，换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题。（2）给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外，些角的三角函数值，其解题的关键在于“变角”，如a-（α+β）-β，2α一（α+βp）+（α-β）等，再把所求角用含已知角的式子表示，这时要注意角的范围的讨论。

4.三角函数的性质。 龙源期刊网

求解三角函数的奇偶性、周期性、单调性、最值问题时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性的规律、三角函数的周期公式求解。