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人教版数学九年级下册27.2《相似三角形》课件4 (共22张PPT)

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(人教版)数学九年级下册课件：27-2相似三角形的性质(共39张PPT)

(人教版)数学九年级下册课件：27-2相似三角形的性质(共39张PPT)

知识归纳
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比.
角平分线
三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形
三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练 一 练
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
A
D
E
B
C F
相似三角形对应线段的比等于相似比

2．(4 分)若△ABC∽△A′B′C′，AB＝16 cm，A′B′＝4 cm，AD 平分∠BAC， A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm，则 AD＝_ _ cm. 3．(4 分)如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB ∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点 P 到 CD 的距离是 2.7 m，则 AB 与 CD 间的距离 是_ m.
A E G F
B
I
D H
C
变式训练
1、如图，FG∥BC，AE⊥FG，AD⊥BC，E、D是垂足， FG=6，BC=15，求：（1）AE：ED。 （2）若AD=10，求ED的长。 （3）若FGHI是正方形，它 的边长是多少？你会把这个 正方形剪出来吗？
B F A E G
I
D H
C
2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
A′ K
A
B
D
C
B′
D′
C′
相似三角形的对应中线之比等于相似比。

人教版九年级数学下册《27.2.2 相似三角形的性质》优质课件

人教版九年级数学下册《27.2.2 相似三角形的性质》优质课件
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，
三个内角的角度，高、中线、角平分线的长度，以及周
长、面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些几
何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
例1. 如图， △ ABC∽ △ ’’’，相似比为k，它们对应高、
三角形，来测量金字塔的高度。如图，长2m，它的影长为
3m，为201m,求金字塔的高度。
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO = ∠EDF
又∠AOB = ∠DFE = 90°，∴ △ ABO∽ △ DEF


∙
201×2
∴
= ，∴BO =
=
= 134(m)
3



因此金字塔的高度为134m。
解：如图，过N点作ND⟂PQ于D，


∴ = ，又 = 2，


= 1.6， = 1.2，
∙
2×1.2
= 0.8，∴QD =
=
= 1.5，

1.6
∴PQ = QD + NM = 1.5 + 0.8 = 2.3(m)。
6. 如图所示，为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A，在近∴ △ DEF∽ △ ABC， Nhomakorabea相似比为
2
∵ △ ABC的边BC上的高为6，面积为12 5。
∴△
1
DEF的边BC上的高为
2
×6
1
1
=3，面积为 × ×
2
2
12 5 = 3 5
相似三角形应用举例

九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件

九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件

3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。

人教版九年级数学下册：27.2.2 相似三角形的性质 课件(共35张PPT)

人教版九年级数学下册：27.2.2 相似三角形的性质 课件(共35张PPT)

C'
猜想 AF k
你能类比前
A' F'
面的方法证
明吗？
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
知识要点
相似三角形对应高的比，对应中线的比， 对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
A'
A
B
C B'
C' 相似三角形
猜想 C△△ABC k C△△A'B'C '
的周长有什 么关系？
A
B
C
二、学习新知
？ 思考
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些 几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
探究1
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．
A
则∠ADB =∠A'D'B'.
使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、
AC上，这个正方形零件的边长是多少？ A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
P
E
N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE
PN =
B
AD
BC
Q DM C
因此
80–x =
x
，得 x=48（毫米）。答：-------。A'来自ABE
C
B'

人教版数学九年级下册(新) 说课课件：27.2《相似三角形》(共21张PPT)

人教版数学九年级下册(新) 说课课件：27.2《相似三角形》(共21张PPT)
两角对应相等，那么这两个三角形相似 ．
∵∠C＝∠C′， ∠A＝∠A′
∠A=∠
∴△ABC∽△A′B′C′
,
如果两个三角形仅有一对角对应相
图 18.3.3 等的，那么它们是否一定相似？
例题解析：
判断题：
⑴所有的等腰三角形都相似。
⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 ⑶所有的等边三角形都相似。 ⑷所有的直角三角形都相似。
B B
E
C
随堂练习 p 73
通过练习１，得到要说明三角形相似需要证明
对应边，对应角的关系；通过练习２，强调相
似三角形中的对应问题．
若给定两个三角形,你有什么办法来判断它们是否相 似? １．通过定义
２．通过平行线
是否存在识别两个三角形相似的简便方法呢？
观察你与老师的直角三角尺,会相似吗？ 这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？ 三个内角对应相等。
注意：相似比具有顺序性噢！
３．全等三角形：形状和大小都相同的三角形称
为全等三角形。 全等三角形是相似三角形的特例。
如下图所示， △ ABC中，D为边AB上任一点，作 DE∥BC，交边AC于E，那么△ ADE与△ABC相似吗？ 为什么？
A D
平行于三角形一边的直线截其它 两边或两边的延长线，所得的三 角形和原三角形相似！
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
( 8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
其中，最为简单的相似图形是什么？
§18.３ 相似三角形
A
D C F
B
E
一、相似三角形
1、概念：三条边对应成比例，三个角对应 相等的两个三角形叫相似三角形。 A D

人教版九年级数学下册 课件：27.2相似三角形(共24张PPT)

人教版九年级数学下册 课件：27.2相似三角形(共24张PPT)

重点：相似三角形的性质和判定
难点：利用相似进行有关计算和推理解决问题
版权所有-
引导练习（自主完成后参考九年级下册教材梳理题目中用到的相似三角形的知识） Ｄ
1、已知：如图所示:△ABC∽△DEF, AB=8， AC=10， DE=4， ∠C=∠F=45°，∠Ｂ=７5° 则 ∠E = ，DF= . A
版权所有-
应用提升
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm， 高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正 P 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB， AC上．问：加工成的正方形零件的边长是 多少毫米？ B
A N
E
Q
D M
C
变式1：如果原题中要加工的零件是一个矩形，如图1，且 此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩 形零件的两条边长又分别为多少毫米？ 变式2：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2， 这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积 有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
三角形与原三角形 相似
判定2: 三边 判定3: 两边
。
对应成比例的两个三角形相似。 对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
版权所有-
判定4:
两角 分别相等的两个三角形相似。
ห้องสมุดไป่ตู้
三、位似图形
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是 相似图形 ，而且对应顶点的连线相交于一点，那
相似三角形(复习)
人教版九年级下数学
曲阜市息陬镇中学
版权所有-
孔峰
复习目标：
（1）理解掌握以下重要的概念和定理
（相似三角形、位似概念；相似三角形的判定和性质）

人教数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形 教学课件


△A′B′C′∽ △ABC
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两
个三角形相似.
简单地说:三组对应边的比相等，两三角形相似.
【例题】
【例】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．证明△ABC与△A′B′C′相似．
B
D
△P2P5D，△P4P5F，△PP12P4D，P5 △A P4P5D，△P2P4 P5P，2 △P1FD． F
P3
P4 C
E
3.（成都·中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC 相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK= KC，求 的值； (2)连接BE5，若BE平C分D∠ABC，则当AE= AD时，猜想线 段结条A论件B并不、予变BC以时、2 证，CD明线三．段者再A之BB探、间A 究B有C：、怎当C样DA的三E=等者量之AD关间12(系又n有>?2请怎)写，样出而的你其等的余 量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
已知:如图△ABC和△A′B′C′中,A′B′﹕AB
A′
=A′C′﹕AC=B′C′﹕BC.求证:△A′B′C′∽△ABC.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD﹕AB=AE﹕AC=DE﹕BC,△ADE∽△ ∵AADB=CA. ′B′,∴AD﹕AB=A′B′﹕AB.
C′
想一想：如果对应相等的角不是两组对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
【跟踪训练】
下列各组条件中不一定使△ABC与△DEF相似的是（ D ） A.∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE B.∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° C.∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 D.∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是两组对应边的夹角，如果不是夹 角，则它们不一定会相似．

27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册

位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′

＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3

2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的

九年级数学下册课件-27.2.2 相似三角形的性质4-人教版


B
CE
F ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
追求人品与学问共同进步
探究新知
问题2 全等三角形是相似三角形的特例，在研 究全等三角形的性质时，我们除了研究了全等三角 形的边和角的性质，还通过研究知道全等三角形对 应高相等、对应中线相等、对应角平分线相等，全 等三角形的周长相等、面积也相等．今天这节课， 我们一起来研究相似三角形对应高、对应中线、对 应角平分线的性质，研究相似三角形的周长、面积 的性质．
追求人品与学问共同进步
总结提升
我们今天研究了相似三角形的哪些性质？ 我们是如何来探究新知的，这对我们今 后学习有什么帮助？
追求人品与学问共同进步
布置作业
必做题：教材39页 第2题， 教材42页 第6题
选做题：教材43页 第12题
追求人品与学问共同进步
追求人品与学问共同进步
性质：相似三角形对应线段的比、周长的 比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
追求人品与学问共同进步
巩固提高
如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，
△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积是12 5 . A
D
求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
如果两个三角形的周长之和为 90，B 求这两个三角形的周长.
D
∴ AB AC BC k ．
DE DF EF
B
CE
F
∴AB=kDE，AC=kDF，BC=kEF．
？ ∴ AB+AC BC kDE kDF kEF k. DE DF EF DE DF EF
追求人品与学问共同进步
探究新知
定理：相似三角形的周长之比等于相似比．
问题5 相似三角形的面积有怎样的性质？

人教版九年级数学 下册 27.2.1 相似三角形的判定课件(共22张PPT))


用定义证明△ADE∽△ABC, 需要具备的条件：
角：∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C；
边： AD AE DE ．
A
AB AC BC
DE
问题： AE DE 成立吗？
AC BC
如何证明呢？
BF
C
判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似．
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。 ——培根
1．对应角相等 ，对应边的比相等 的两个三角形， 叫做相似三角形．
2．相似三角形的 对应角相等 ，各对应边的比相等 ．
如果△ABC∽△DEF，那么
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
A
AB AC BC DE DF EF
DB
E
C
F
学习三角形全等时，我们知道，除 了可以验证所有的角和边分别相等来判 定两个三角形全等外，还有判定的简便 方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类 似地，判定两个三角形相似时，是不是 也存在简便的判定方法呢？
（
）
B： AD AE （ ） BD CE
C： AD AE （ ） AC AB
D： AD AB （ ） AE AC
A
D
E
B
C
1．本节课我们学习了三角形相似的哪种判定方法？ 这种判定方法的前提条件是什么？
2．我们是如何证明判定方法的？
平行线分线段成 应用到三角形中 结 以结论为基础 判定三角形
E
D
l3
A
l4
B
C l5
l2
ห้องสมุดไป่ตู้
l1
ED A
FB
C
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A
A'
B
几何语言：
C B'
C'
∵ A'B' A'C' A A' AB AC
∴△A´B´C´∽△ABC
知识点二
B
D
AF AC
两边对 应成比例且夹角相等的两个三角形 相似
26
（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵
AD CD
C∽△CBD，
那么这两个三角形相似。
三组对应边的比相等的两个三角形相似。
几何语言：
∵
AB BC CA . AB BC CA
A
A′
B
C
∴△A´B´C´∽△ABC
B′
C′
知识点一
C
A
相似三角形 1.5
猜想？
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们 能不能通过两边及其夹角来判定两个三角形相 似呢？
新识探究
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D A' E A' B' A'C'
B'
C'
又 AB AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 又A A'.
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比 相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角 形相似。
利用刻度尺和量角器画ABC和
A' B'C',使A A', AB 和 AC 都 A' B' A'C'
等于给定的k值，量出它们第三组对 应边BC和B'C'的长，它们的比值等 于k吗？另外两组角是否会相等呢？
改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论？
事实上我们经过探究发现有两边及
其夹角判定两个三角形相似的结论
第二十七章 相似
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1，2
成比例
成比例 夹角相等 平行线 三边对应成比例 成比例
新识探究
A
三边对应成 比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有
△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC =B`C`:BC.求证:△ABC∽△A`B`C` 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中
∵∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°.
课堂小结
1.判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。 2.判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比 相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相 似。
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B`
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
A
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA. D
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
布置作业
完成《课时夺冠》p28“课后巩固”
祝同学们学习进步！ 再见
如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等，那么这两个 三角形相似。(SAS)
已知：在ABC和A' B'C'中，AA'BB'
AC , A A'C'
A'
求证: △ABC ∽△ A' B'C'
A
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥ B'C'交A'C'交于点E，可得 B
B
∴△A`B`C`∽△ABC
A` C`
E C
A
A’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，