专题06 一次函数问题(解析版)

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品

专题 06一次函数的应用问题

【典例分析】

【考点1】行程问题

【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为x(分)，图1中线段OA和折线BCD分别表示甲、乙离开小区的路程y(米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s(米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

(3)在图2中，画出当2530x时s关于x的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

【答案】(1)甲步行的速度是80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是700 米；(3)图象如图所示见解析.

【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x=18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．

【详解】

(1)由题意，得：甲步行的速度是24003080 (米/分)，

∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800 (米).

(2)设直线OA的解析式为:(0)ykxk，

∵直线OA过点30,2400A，

∴302400k，

解得80k，

∴直线OA的解析式为:80yx.

∴当18x时，80181440y，

∴乙骑自行车的速度是14401810180 (米/分).

∵乙骑自行车的时间为251015 (分)，

∴乙骑自行车的路程为180152700 (米).

当25x时，甲走过的路程是8080252000yx (米)，

∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700 (米).

(3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），

乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），

当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小

李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离ykm与小王的行驶时间xh之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【答案】（1）小王和小李的速度分别是10/kmh、20/kmh；（2）(303011.5)yxx．

【解析】1根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

2根据1中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．

【详解】

解：（1）由图可得，

小王的速度为：30310/kmh，

小李的速度为：()30101120/kmh，

答：小王和小李的速度分别是10/kmh、20/kmh；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30201.5h，

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：101.515km，

∴点C的坐标为1.5,15，

设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为ykxb，

01.515kbkb，解得3030kb，

即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是(303011.5)yxx．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的

性质和数形结合的思想解答．

【变式1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离S(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示.

（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

（2）求E点坐标，并解释点的实际意义.

【答案】（1）=16/Vkmh小丽，=20/Vkmh小明；（2）E(95,1445)实际意义为小明到达甲地.

【解析】(1)观察图1可知小丽骑行36千米用了2.25小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观察图2可知小丽与小明1小时机遇，由此即可求得小明的速度；

(2)观察图2，结合两人的速度可知点E为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.

【详解】

(1)V小丽=36÷2.25=16(km/h)，

V小明=36÷1-16=20(km/h)；

(2)36÷20=95(h)，

16×95=1445(km)，

所以点E的坐标为(95，1445)，

实际意义是小明到达了甲地.

【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的关键.

【考点2】方案选择问题

【例2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多

少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kgx(0)x．

（Ⅰ）根据题意填表：

一次购买数量/kg 30 50 150 …

甲批发店花费/元 300 …

乙批发店花费/元 350 …

（Ⅱ）设在甲批发店花费1y元，在乙批发店花费2y元，分别求1y，2y关于x的函数解析式；

（Ⅲ）根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．

【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）16yx(0)x；当050x时，27yx；当50x时，25100yx．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．

【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；

（Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格一次购买数量，可得出12yy、关于x的函数关系式，注意进行分段；

（Ⅲ）①根据21yy得出x的值即可；②把x=120分别代入1y和2y的解析式，并比较1y和2y的大小即可；③分别求出当1360y和2360y时x的值，并比较大小即可．

【详解】

解：（Ⅰ）当x=30时，1306180y，2307210y

当x=150时，11506900y，2507515050850y（）

故答案为：180，900，210，850．

（Ⅱ）16yx(0)x．

当050x时，27yx；

当50x时，27505(50)yx，即25100yx．

（Ⅲ）①∵0x ∴6x7x

∴当21yy时，即6x=5x+100

∴x=100

故答案为：100

②∵x=12050 ，

∴16120720y；25120100=700y

∴乙批发店购买花费少；

故答案为：乙

③∵当x=50时乙批发店的花费是：350 360

∵一次购买苹果花费了360元，∴x50

∴当1360y时，6x=360，∴x=60

∴当2360y时，5x+100=360, ∴x=52

∴甲批发店购买数量多．

故答案为：甲

【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).

(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.

(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.

【答案】(1)1230200;40yxyx；(2)当20x时选择方式一比方式二省钱.

【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；

(2)根据题意，列出关于x的不等式进行解答即可.

【详解】

(1)130200yx，

240yx；

(2)由12yy得：3020040xx，

解得：20x，

∴当20x时选择方式一比方式2省钱，

即一年内来此游泳馆的次数超过20次时先择方式一比方式二省钱.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答.

【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题

（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；

（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

【答案】（1）20yx甲，10100yx乙 （2）见解析

【解析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；

（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．

【详解】

（1）设1ykx甲，根据题意得15100k，