一次函数交点问题

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

1 / 4 一次函数的交点问题

思考：求12xy与坐标轴的交点

分析：求与X轴交点，令y = 0,则21x，则交点（21，0)

求与y轴交点，令x = 0,则y =1，则交点为（0,1)

笔记：求与x轴交点，令y = 0，求X得交点坐标.

求与y交点，令；x = 0，求y得交点坐标.

练习：求32xy与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标.

求与x轴交点，令y = 0,则23x，则交点（23，0)

求与y轴交点，令x = 0,则y =3，则交点为（0，3）

思考：已知点P是一次函数32xy和xy2图象的交点，如何求点P的坐标呢？

分析：因为交点既在32xy又在xy2上, 所以要联立解析式，得方程组求解

联立两函数，得到方程组:xyxy232，解得：2343yx

则（43，23）为两函数的交点.

两个一次函数交点的求法：

已知一次函数11bxky和22bxky，求这两个函数的交点，

只需要将这两个函数联立即可.

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

2 / 4 即联立两函数，得到方程组2211bxkybxky，解得nymx

则（m，n）即为两函数的交点.

练习：求一次函数12xy和32xy的交点.

解：由题意得： 步骤：

3212xyxy ←①联立

解得：221yx ←②求解

（21，2）为两函数的交点 ←③写交点坐标

例3.已知一次函数32xy，回答下列问题：

（1）和x轴的交点为________，和y轴交点为________；

（2）和直线y=3的交点为___________，和直线x=−2的交点为_________；

一次函数求交点

一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数。要求求出两个一次函数y1和y2的交点。

设y1=ax1+b1和y2=ax2+b2，我们需要找到x1和x2的值，使得y1=y2。这可以通过将y1和y2相等来解得：

ax1+b1=ax2+b2

将等式两边移项：

ax1-ax2=b2-b1

再将公因式a提取出来：

a(x1-x2)=b2-b1

最后，将x1和x2的值表示出来：

x1-x2=(b2-b1)/a

从上面的等式可以得出，要使得y1和y2相等，x1和x2的差值应为(b2-b1)/a。

这样，我们就成功求得了一次函数y1和y2的交点的x坐标。要求交点的y坐标，只需将x1或x2的值代入其中一个一次函数中即可。

拓展：

这个方法可以应用于解决各种实际问题。例如，在经济学中，我们可能需要求两条线性收入曲线的交点，以确定产量或价格的平衡点。在物理学中，我们可以利用这个方法来求解两个运动物体的相遇时间。在工程学中，我们可以使用一次函数求交点的方法来计算两条直线的交点，以确定材料的切割位置或构建平面结构的连接点。

此外，在求解交点时，还可以考虑使用数值计算方法，如二分法、牛顿法等。这些方法可以更精确地计算交点的位置，特别是当函数的形式更复杂、求解解析解困难时。

总之，一次函数求交点是解决各种实际问题中常见的数学方法之一。通过找到一次函数的交点，我们可以获得重要的信息，并解决许多实际问题。

一次函数和抛物线的相交问题

一次函数和抛物线的相交问题通常涉及解析几何中的方程求解和图像分析。

当一次函数与抛物线相交时，它们的交点坐标是满足两个方程的解。具体来说：

方程设置：设一次函数的方程为 (y = mx + b)，抛物线的方程为 (y = ax^2

+ cx + d)。

方程联立：将这两个方程相等，得到 (mx + b = ax^2 + cx + d)。

方程化简：将上述方程化简为一元二次方程 (ax^2 + (c - m)x + (d - b) =

0)。

判别式判断：计算该一元二次方程的判别式 (D = (c - m)^2 - 4a(d - b))。如果 (D > 0)，则有两个实数解，即一次函数与抛物线有两个交点；如果 (D =

0)，则有一个实数解，即一次函数与抛物线相切于一点；如果 (D < 0)，则没有实数解，即一次函数与抛物线不相交。

在实际问题中，还可能涉及到求交点坐标、面积计算等。例如，如果已知一次函数和抛物线的交点坐标，可以进一步求出这些点构成的多边形的面积。此外，抛物线与y轴的交点可以通过将 (x=0) 代入抛物线方程来求得。

解决一次函数和抛物线相交的问题，关键在于掌握一元二次方程的解法和对函数图像的基本理解。通过代数方法求解方程组，可以得到交点的坐标，进而可以进行更深入的几何分析。

一、含参解析式

1、对于一次函数y＝2x+b，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的位置关系是

；图像与y轴的交点坐标是

。

2、对于一次函数y＝kx+2，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系 ；可以认为图像绕点 旋转。

3、对于一次函数y＝kx-k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系 ；此函数表达式可以整理为 ，图像必过点 ，可以认为图像绕点 旋转。

4、对于一次函数y＝kx+2-3k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系 ；此函数表达式可以整理为 ，图像必过点 ，可以认为图像绕点 旋转。

二、与线段的交点问题

1、已知在平面直角坐标系中，点A(1,3),点B（4,3）,点C(-3,1），点D（4，-2），连接AB,AC,BD.

(1) 当一次函数y＝kx的经过点A时，k的值为 ，经过点B时，k的值为 ，当图像与线段AB有交点时，k的取值范围为 。

(2) 当一次函数y＝3x-b的图像与线段AB有交点时，b的取值范围是 。

(3) 当一次函数y＝kx+2的图像经过点A时，k的值为 ，经过点C时，k的值为 ，当图像与线段AC有交点时，k的取值范围是 。

(4) 当一次函数y＝kx+k的图像与线段AC有交点时，k的取值范围是 。

(5) 当一次函数y＝-x+b的图像与线段AC所在直线交点在第二象限时,b的取值范围是 。

(6) 当一次函数y＝kx+k+1的图像经过点B时，k的值为 ，经过点D时，k的值为 ，当图像与线段BD有交点时，k的取值范围是 。