基变换与坐标变换公式

龙源期刊网

坐标变换

作者：徐守兵

来源：《化学教学》2010年第04期

文章编号：1005-6629(2010)04-0069-03 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

1、从2009年江苏高考最后一问谈起

试题：在1个Cu2O晶胞中(如图1所示)，所包含的Cu原子数目为_____。作为全卷的最后一问，格外引起考生和教师的关注，应当说试题并不难，可答完试题后，也许有些老师和同学会进一步追问：该晶胞属哪种类型?可能首先想到的解答是体心立方，因为该晶胞的顶点和体心处均为氧原子。但根据晶胞的平移对称性，对于体心立方，当顶点平移到体心时，所有的原子均应复原，由图2可知，当氧原子从顶点A处平移到体心B点处时，铜原子C应当平移到D点处，可实际上晶胞中D点处并无对应的铜原子存在，即铜原子没有复原，由此可见，仅关注氧原子。就判断晶胞为体心立方是不正确的。从图1呈现的晶胞形状看，晶胞参数a＝b＝c，a＝β＝γ＝90°，有4个通过体对角线的3重旋转轴，完全符合立方晶胞的要求，表明它确属立方晶系，但由于它没有作为体心立方，还应该有的3个通过体心、垂直于晶面的4重旋转轴，所1以Cu2O晶胞只能属于简单立方，对应空间点阵只有一个点阵点，该点阵点对应的结构基元包含2个O原子、4个Cu原子。

那么，在识别晶胞时，还有没有识别常见晶胞的新视角。避免犯错误呢?

2、分数坐标

借助于坐标系，可以更好地表征晶胞中各原子在空间的相对位置。晶体的坐标系称为晶轴系，晶轴系以晶胞参数a、b、c分别为晶轴x、v、z的单位向量(如图3)，坐标原点习惯用字母D表示，本文中的晶轴系在平移前坐标原点均取和该图一致。晶胞中任一原子P的位置可用向量代表。则(x，y，z)称为P点的坐标。由于P点在晶胞内，x、y、z≤1，因此习惯上称x、y、z为原子P的分数坐标。采用分数坐标时，晶胞中原子坐标组数与晶胞中实际占有的原子个数相当，即净含几个原子就写几组坐标。以常见的金属晶体晶胞为例(见表1)：

1/7十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书

第6章线性空间与线性变换

6.1本章要点详解

本章要点

■线性空间的定义与性质

■维数、基与坐标

■基变换与坐标变换

■线性变换

■线性变换的矩阵表示式

重难点导学

一、线性空间的定义与性质

1．两种运算

（1）加法运算

设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素

α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．

（2）数乘运算

在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，

总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．

2．线性空间定义

设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和

2/7十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书

乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：

（1）α＋β＝β＋α；

（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；

（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；

（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；

（5）1α＝α；

（6）λ（μα）＝（λμ）α；

（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；

（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，

则V称为线性空间，又称向量空间．

3．线性空间的性质

（1）零向量是唯一的；

（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；

（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；

（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．

4．子空间

（1）定义

设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两

种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．

（2）定理

线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．

3/7十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书

基变换公式和坐标变换公式

一、基变换公式

基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。假设有两组基底𝑏1,…,𝑏𝑏和𝑏1,…,𝑏𝑏，其中𝑏𝑏和𝑏𝑏是向量。对于给定向量𝑏，其在𝑏1,…,𝑏𝑏和在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标分别为𝑏和𝑏。基变换公式表达了坐标𝑏和𝑏之间的关系，即𝑏=𝑏𝑏。

具体来说，对于给定的基变换矩阵𝑏，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。假设向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标为向量𝑏，我们可以通过矩阵乘法𝑏=𝑏𝑏来获得向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标𝑏。基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。

二、坐标变换公式

坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。假设有两个向量𝑏1和𝑏2，在同一组基底𝑏1,…,𝑏𝑏下的坐标分别为𝑏1和𝑏2。坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。具体而言，对于给定的坐标变换矩阵𝑏，我们可以通过𝑏2=𝑏𝑏1来实现坐标之间的变换。

在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。

结论

基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。

辽 东 学 院 教 案 纸

课程：高等代数 第6.4.1页

§4 基变换与坐标变换

教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式．

教学内容

在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基n，，1，则V中每个向量α在这个基下有唯一确定的坐标．对于不同的基，同一个向量α的坐标一般是不同的．本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的．

4.1 基变换

设n，，1与n，，1是V的两个基，则

nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111． (1)

将(1)用矩阵表示，记作

nn，，，，，，2121A，其中A=(aij)nn∈Mn(F)．(2)

请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素n，，21构成有序元素组(n，，，21)，不是以数域F的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质．对于具体的n维列(行)向量空间Fn，由于n，，1都是n元有序数组，因此当n，，1为列向量时，有序元数组(n，，，21)表示以n，，，21为列的矩阵，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式．

设(n，，，21)与(n，，，21)是V的两个向量组，A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：

((n，，21)A)B=(n，，21)(AB)，

(n，，21)A+(n，，21)B=(n，，21)(A+B)，

(n，，21)A+(n，，，21)A= (nn，，2211,)A.