基变换与坐标变换的关系与应用

在传统２Ｄ图形坐标系统下，　数据像素绑定作图方式的限制了　作图区域的大小。作图数据的维　数大小来定作图目标的大小。图　形布局比较受外部限制且缺乏可　变性和灵活性，任意外部数据维　度大小的改变都会引起整个画面　的更改。使得整个图形布局变得　难以固化，程序维护性差。本文　就讨论如何通过Ｑｔ２Ｄ绘图系统坐　标变换解决上述问题。　键词】ＱＴ坐标变换Ｑｔ　２Ｄ绘图　坐标系　ｔ绘图　Ｑｔ的二维图形引擎是基于ＱＰａｉｎｔｅｒ类　ＱＰａｉｎｔｅｒ既可以绘制几何图形，也可以绘　Ｒ素映射、图像和文字。如果要在绘图设　一般为窗口部件）上绘图，只需创建一个　ｄｎｔｅｒ，再将指针传到该设备中。即可实现作　作。　豪素坐标作图介绍　在Ｑｔ　２Ｄ绘图的坐标系统中，点（０，０）位　图设备的左上角。ｘ轴坐标向右递增，Ｙ　下递增，一个象素占据１Ｘ１的面积。需要　ｊ的一点是一个象素的中心位于坐标的一半　例如，左上角位于点（０，０）和点（１，１）之间　￡的象素，它的中心位于（０．５，０．５）。如果我　Ｅ用ＱＰａｉｎｔｅｒ绘制一个位置在（１００，１００）的　｝，ＱＰａｉｎｔｅｒ会在每个坐标值上增加０．５，　标（１ＯＯ．５，１００．５）为中心绘制这个象素。　旨口和视口　窗口和视口是紧密联系在一起的。视口　ｊ物理坐标确定的任意矩形。窗口是由逻辑　表示的视口大小。ＱＰａｉｎｔｅｒ在进行绘制时，　】给ＱＰａｉｎｔｅｒ的是逻辑坐标，根据视口和窗　ｊ设置，这些逻辑坐标通过线形变换，转换　理坐标。窗口和视口的大小和绘图设备是　ＯＴ坐标变换及应用　文／郑向宁　一致的。视口窗口机制是为了绘制与绘图设备　的大小和分辨率无关的图形。　４程序应用　在数据作图应用中幅度波形图是常用的　数据作图应用。通过外部数据（网络或串口）　驱动作图。数据格式包含数据长度每个数据大　小为数据幅度此文数据大小采用单字节表示。　程序提供两种方式。核心代码如下：．　＃ｄｅｆｉｎｅＭ２　＃ｕｎｄｅｆ　Ｍ１　方法２＊／　方法１＂／　ｖｏｉｄｄｒａｗＤａｔａ（ＱＰａｉｎｔｅｒ　ｐａｉｎｔｅｒ）　｛　ｉｎｔｊ；　ｓｔａｔｉｃｃｏｎｓｔＱＣｏｌｏｒｅｏｌｏｒＦｏｒｌｄｓ［６］＝｛　Ｑｔ：：ｇｒｅｅｎ，Ｑｔ：：ｒｅｄ，Ｑｔ：：ｂｌｕｅ，Ｑｔ：：ｃｙａｎ，Ｑｔ：：ｍａｇ　ｅｎｔａ，Ｑｔ：：ｙｅｌｌｏｗ　｝；　／／作图区域　ＱＲｅｃｔｒｅｃｔ（Ｍａｒｇｉｎ，Ｍａｒｇｉｎ，ｗｉｄｔｈ（）一　２　Ｍａｒｇｉｎ．ｈｅｉｇｈｔ（）一２　Ｍａｒｇｉｎ）；　ｉｆ（１ｒｅｃｔ．ｉｓＶａｌｉｄ０）ｒｅｔｕｒｎ；　ＱＭａｐｌｔｅｒａｔｏｒ＜ｉｎｔ，ＱＶｅｃｔｏｒ＜ｑｒｅａｌ＞＞ｉ（ｃｕｒｖｅ　Ｍａｐ）；　／／作图数据　ＱＶｅｃｔｏｒ＜ｑｒｅａｌ＞ｄａｔａ＝ｉ．ｖａｌｕｅ（）；　ＱＰｏｌｙｇｏｎＦｐｏｌｙｌｉｎｅ（ｄａｔａ．ｃｏｕｎｔ（））；　Ｐ　ａｉ　ｎｔ　ｅ　ｒ一＞ｓ　ｅｔＣＩｉ　ＰＲ　ｅ　ｃｔ　ｒ　ｒ　ｅ　ｃｔ．　ａｄｊｕｓｔｅｄ（＋ｌ，＋１，－１，一１））；　＃ｉｆｄｅｆ　Ｍ１　方法１　手动线性转换数据点对应像素＋／　ｆｏｒ（ｊ＝０￣ｉ＜ｄａｔａ．ｃｏｕｎｔ（）；抖ｊ）｛　／／ｘ坐标线性转换　ｄｏｕｂｌｅｄｘ＝ｊ　ｒｅｃｔ．ｗｉｄｔｈ０／（ｄａｔａ．ｃｏｕｎｔ（）－１）；　／　坐标线性转换　ｄｏｕｂｌｅｄｙ＝ｄａｔａ［ｊ］　（ｒｅｃｔ．ｈｅｉｇｈｔ（）－１）／２５５；　ｄｏｕｂｌｅｘ－－－ｒｅｃｔ．１ｅｆｔ０＋ｄｘ；　Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ・软件应用　ｄｏｕｂｌｅｙ＝ｒｅｃｔ．ｂｏｔｔｏｍ（＞＿ｄｙ；　ｐｏｌｙｌｉｎｅ［ｊ］＝ＱＰｏｉｎｔＦ（ｘ，ｙ）；　）　＃ｅｎｄｉｆ　方法２　，／将窗口系统转换为（Ｏ，Ｏ）为起点数据　宽度为宽，数据最大幅度为高的矩形　／　＃ｉｆｄｅｆＭ２　ｐａｉｎｔｅｒ－＞ｓｅｔＷｉｎｄｏｗ（０，０，ｄａｔａ．ｃｏｕｎｔ（），２５５）　ｆ０ｒ０＝Ｏ；ｊ＜ｄａｔａ．ｃｏｕｎｔ（）；州）｛　／／Ｘ坐标线性转换　ｄｏｕｂｌｅｘ－－ｒｅｃｔ．１ｅｆｔ（）＋ｊ；　ｄｏｕｂｌｅｙ＝ｒｅｃｔ．ｂｏｔｔｏｍＯ－ｄａｔａＵ］；　ｐｏｌｙｌｉｎｅ［ｊ］＝ＱＰｏｉｎｔＦ（ｘ，ｙ）；　）　＃ｅｎｄｉｆ　／／选择画笔　ｐａｉｎｔｅｒ－＞ｓｅｔＰｅｎ（ｃｏｌｏｒＦｏｒｌｄｓ［ｕｉｎｔ（ｉｄ）％６】）；　／／画波形　ｐａｉｎｔｅｒ－＞ｄｒａｗＰｏｌｙｌｉｎｅ（ｐｏｌｙｌｉｎｅ）；　）　）　通过对比方式２窗口切换消耗更多程序　开销，在程序开销紧张的情况下容易引起卡顿　外设输入设备短暂无响应人机交互不流畅。建　议在开销紧张情况下使用方式１。　５总结　通过方式１或２作图可以轻松实现任意　数据维度在固定图形区域作图。保留数据图形　不失真不变形，从而实现图形区域独立于数据。　为作图图形布局提供了更大的设计空间。　作者单位　中国船舶重工集团公司第七一五研究所　浙江　省杭州市３１００２３　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉ

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QT坐标变换及应用

作者：郑向宁

来源：《电子技术与软件工程》2015年第05期

摘 ;要

在传统2D图形坐标系统下，数据像素绑定作图方式的限制了作图区域的大小。作图数据的维数大小来定作图目标的大小。图形布局比较受外部限制且缺乏可变性和灵活性，任意外部数据维度大小的改变都会引起整个画面的更改。使得整个图形布局变得难以固化，程序维护性差。本文就讨论如何通过Qt2D绘图系统坐标变换解决上述问题。

【关键词】QT坐标变换 ;Qt 2D绘图 ;坐标系统

1 Qt绘图

Qt的二维图形引擎是基于QPainter类的，QPainter既可以绘制几何图形，也可以绘制像素映射、图像和文字。如果要在绘图设备（一般为窗口部件）上绘图，只需创建一个QPainter，再将指针传到该设备中。即可实现作图操作。

2 像素坐标作图介绍

在Qt 2D绘图的坐标系统中，点（0，0）位于绘图设备的左上角。X轴坐标向右递增，Y轴向下递增，一个象素占据1×1的面积。需要说明的一点是一个象素的中心位于坐标的一半处。例如，左上角位于点（0，0）和点（1，1）之间区域的象素，它的中心位于（0.5，0.5）。如果我们使用QPainter绘制一个位置在（100，100）的象素，QPainter会在每个坐标值上增加0.5，以坐标（100.5，100.5）为中心绘制这个象素。

3 窗口和视口

窗口和视口是紧密联系在一起的。视口是由物理坐标确定的任意矩形。窗口是由逻辑坐标表示的视口大小。QPainter在进行绘制时，我们给QPainter的是逻辑坐标，根据视口和窗口的设置，这些逻辑坐标通过线形变换，转换为物理坐标。窗口和视口的大小和绘图设备是一致的。视口窗口机制是为了绘制与绘图设备的大小和分辨率无关的图形。

基变换公式和坐标变换公式

一、基变换公式

基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。假设有两组基底𝑏1,…,𝑏𝑏和𝑏1,…,𝑏𝑏，其中𝑏𝑏和𝑏𝑏是向量。对于给定向量𝑏，其在𝑏1,…,𝑏𝑏和在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标分别为𝑏和𝑏。基变换公式表达了坐标𝑏和𝑏之间的关系，即𝑏=𝑏𝑏。

具体来说，对于给定的基变换矩阵𝑏，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。假设向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标为向量𝑏，我们可以通过矩阵乘法𝑏=𝑏𝑏来获得向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标𝑏。基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。

二、坐标变换公式

坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。假设有两个向量𝑏1和𝑏2，在同一组基底𝑏1,…,𝑏𝑏下的坐标分别为𝑏1和𝑏2。坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。具体而言，对于给定的坐标变换矩阵𝑏，我们可以通过𝑏2=𝑏𝑏1来实现坐标之间的变换。

在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。

结论

基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。

辽 东 学 院 教 案 纸

课程：高等代数 第6.4.1页

§4 基变换与坐标变换

教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式．

教学内容

在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基n，，1，则V中每个向量α在这个基下有唯一确定的坐标．对于不同的基，同一个向量α的坐标一般是不同的．本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的．

4.1 基变换

设n，，1与n，，1是V的两个基，则

nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111． (1)

将(1)用矩阵表示，记作

nn，，，，，，2121A，其中A=(aij)nn∈Mn(F)．(2)

请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素n，，21构成有序元素组(n，，，21)，不是以数域F的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质．对于具体的n维列(行)向量空间Fn，由于n，，1都是n元有序数组，因此当n，，1为列向量时，有序元数组(n，，，21)表示以n，，，21为列的矩阵，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式．

设(n，，，21)与(n，，，21)是V的两个向量组，A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：

((n，，21)A)B=(n，，21)(AB)，

(n，，21)A+(n，，21)B=(n，，21)(A+B)，

(n，，21)A+(n，，，21)A= (nn，，2211,)A.