§4基变换与坐标变换.

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坐标变换

作者：徐守兵

来源：《化学教学》2010年第04期

文章编号：1005-6629(2010)04-0069-03 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

1、从2009年江苏高考最后一问谈起

试题：在1个Cu2O晶胞中(如图1所示)，所包含的Cu原子数目为_____。作为全卷的最后一问，格外引起考生和教师的关注，应当说试题并不难，可答完试题后，也许有些老师和同学会进一步追问：该晶胞属哪种类型?可能首先想到的解答是体心立方，因为该晶胞的顶点和体心处均为氧原子。但根据晶胞的平移对称性，对于体心立方，当顶点平移到体心时，所有的原子均应复原，由图2可知，当氧原子从顶点A处平移到体心B点处时，铜原子C应当平移到D点处，可实际上晶胞中D点处并无对应的铜原子存在，即铜原子没有复原，由此可见，仅关注氧原子。就判断晶胞为体心立方是不正确的。从图1呈现的晶胞形状看，晶胞参数a＝b＝c，a＝β＝γ＝90°，有4个通过体对角线的3重旋转轴，完全符合立方晶胞的要求，表明它确属立方晶系，但由于它没有作为体心立方，还应该有的3个通过体心、垂直于晶面的4重旋转轴，所1以Cu2O晶胞只能属于简单立方，对应空间点阵只有一个点阵点，该点阵点对应的结构基元包含2个O原子、4个Cu原子。

那么，在识别晶胞时，还有没有识别常见晶胞的新视角。避免犯错误呢?

2、分数坐标

借助于坐标系，可以更好地表征晶胞中各原子在空间的相对位置。晶体的坐标系称为晶轴系，晶轴系以晶胞参数a、b、c分别为晶轴x、v、z的单位向量(如图3)，坐标原点习惯用字母D表示，本文中的晶轴系在平移前坐标原点均取和该图一致。晶胞中任一原子P的位置可用向量代表。则(x，y，z)称为P点的坐标。由于P点在晶胞内，x、y、z≤1，因此习惯上称x、y、z为原子P的分数坐标。采用分数坐标时，晶胞中原子坐标组数与晶胞中实际占有的原子个数相当，即净含几个原子就写几组坐标。以常见的金属晶体晶胞为例(见表1)：

·６０· 第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容：§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义。

四 教学难点:集合映射的有关定义.

五 教学过程：

1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念

定义：(集合的交、并、差） 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为

如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.

若都有 则称为单射.若 都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.

2.求和号与求积号

(1）求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.

设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:

， 。

当然也可以写成

， 。

（2）求和号的性质 ·６１· 容易证明,

,，.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.

三 教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.

五 教学过程:

1。线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：

基变换公式和坐标变换公式

一、基变换公式

基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。假设有两组基底𝑏1,…,𝑏𝑏和𝑏1,…,𝑏𝑏，其中𝑏𝑏和𝑏𝑏是向量。对于给定向量𝑏，其在𝑏1,…,𝑏𝑏和在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标分别为𝑏和𝑏。基变换公式表达了坐标𝑏和𝑏之间的关系，即𝑏=𝑏𝑏。

具体来说，对于给定的基变换矩阵𝑏，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。假设向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标为向量𝑏，我们可以通过矩阵乘法𝑏=𝑏𝑏来获得向量𝑏在𝑏1,…,𝑏𝑏基底下的坐标𝑏。基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。

二、坐标变换公式

坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。假设有两个向量𝑏1和𝑏2，在同一组基底𝑏1,…,𝑏𝑏下的坐标分别为𝑏1和𝑏2。坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。具体而言，对于给定的坐标变换矩阵𝑏，我们可以通过𝑏2=𝑏𝑏1来实现坐标之间的变换。

在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。

结论

基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。

辽 东 学 院 教 案 纸

课程：高等代数 第6.4.1页

§4 基变换与坐标变换

教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式．

教学内容

在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基n，，1，则V中每个向量α在这个基下有唯一确定的坐标．对于不同的基，同一个向量α的坐标一般是不同的．本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的．

4.1 基变换

设n，，1与n，，1是V的两个基，则

nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111． (1)

将(1)用矩阵表示，记作

nn，，，，，，2121A，其中A=(aij)nn∈Mn(F)．(2)

请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素n，，21构成有序元素组(n，，，21)，不是以数域F的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质．对于具体的n维列(行)向量空间Fn，由于n，，1都是n元有序数组，因此当n，，1为列向量时，有序元数组(n，，，21)表示以n，，，21为列的矩阵，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式．

设(n，，，21)与(n，，，21)是V的两个向量组，A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：

((n，，21)A)B=(n，，21)(AB)，

(n，，21)A+(n，，21)B=(n，，21)(A+B)，

(n，，21)A+(n，，，21)A= (nn，，2211,)A.