小学奥数：7-9-1 概率.学生版

7-9-1.概率

教学目标

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸

贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．

1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．

2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．

3.理解和运用概率性质进行概率的运算．

知识要点

一、概率的古典定义

如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；

⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．

这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：mPAn，n表示该试验中

所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于

古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．

二、对立事件

对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件

如果事件A和B为对立事件（互斥事件），那么A或B中之一发生的概率等于事件A发生的概率与事件B

发生的概率之和，为1，即：1PAPB．

三、相互独立事件

事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之

积，即：PABPAPB．

例题精讲

模块一、概率的意义

【例1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．

①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．

③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．

【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，决赛

【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定

下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．

【答案】④

【例2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连

续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的

正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题

【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。约翰

扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。所以

汤姆赢得的可能性大。

【答案】汤姆

【例3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞

200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么

请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答

【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125，

所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800尾．

【答案】800

【例4】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔

放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的

一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【解析】【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较

大，即小亮得分高的可能性较大．

【答案】小亮得分高的可能性较大

【例5】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依

次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.

【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空

【解析】【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，

再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，

总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．

例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即

总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性

最大．

【答案】总点数是13的可能性最大．

【例6】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小

红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来

9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．

【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空【解析】【解析】首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：

分钟12345678910111213141516171819

车号1999111111199911111

显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为7

10，乘坐9路车的几率均为3

10，因此小红乘坐1路

车的可能性较大．

【答案】1路车的可能性较大

模块二、计数求概率

【例7】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空【解析】【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为1

16、1

4、3

8、

1

4、1

16．【答案】左至右落到底部的概率依次为1

16、1

4、3

8、1

4、1

16．

【例8】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9

五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五

个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空

【解析】【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，

第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120种可能，则输入正确车牌号的可能性是1

120．【答案】1

120

【例9】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636．

将点数为6的情况全部枚举出来有：1,52,43,34,25,1

点数之积为6的情况为：1,62,33,26,1

两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是5

36；

点数之积为6的概率为41

369．

【答案】（1）5

36，（2）1

9

【例10】甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的

差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，

两个数差为1有2918种，

两个数的差为2的情况有2816种，

所以两个数的差不超过2的概率有10181611

101025．

⑵两个数的差为7的情况有23种．

两个数的差为8的情况有224种．

两个数的差为9的情况有2种．

所以两个数字的差超过6的概率有6423

101025.

两个数字的差不超过6的概率有32212525.

【答案】（1）11

25，（2）22

25

【例11】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，

那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是

次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】从10件产品中选择2件一共有21045C种情况.所以这两件产品恰好都是次品的概率为1

45．

两件产品中有一件次品的情况有112816CC种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为16

45.

两件产品中都不是次品的概率有2828C种情况，所以两件产品都不是次品的概率为28

45.

【答案】（1）1

45，（2）16

45，（3）28

45

【例12】一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】【解析】从25名女生中任意抽出两个人有25243002种不同的方法．从全体学生中任意抽出两个人有525113262种不同的方法．计算概率：30050

1326221．【答案】50

221

【例13】从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】【解析】法一：从6名学生中选4人的不同组合有6543154321种．

其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有54310321种．所以甲被选择上的概率为102

153．

法二：显然这6个人入选的概率是均等的．即每个人作为一号选手入选的概率为1

6，作为二号入选的概率为1

6，作为三号入选的概率为1

6，作为四号入选的概率为1

6，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是互斥事件，所以他被入选的概率为11112

66663．【答案】2

3

【例14】一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如

果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题

【解析】【解析】一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720种．

其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，

冒号之后不出现1的情况有6110145种，

所以不出现1的情况有458360种．

所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360种，

所以至少看到一个数字“1”的概率为3601

7202种．【答案】1

2

【例15】从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：

⑴它们能构成多少个三角形？

⑵这些三角形中有多少个直角三角形？