7-9_概率.doc
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7-9.概率.题库 教师版 page 1 of 9
知识框架图
7 计数综合 7-9 概率 7-9-1概率的意义
7-9-2计数求概率 7-9-3对立事件与相互独立事件
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延
伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．
2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3.理解和运用概率性质进行概率的运算．
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：
⑴试验只有有限个基本结果；
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：
m
PA
n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．
小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．
二、对立事件
对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A和B为对立事件（互斥事件），那么A或B中之一发生的概率等于事件A
发生的概率与事件
B发
生的概率之和，为1，即：1PAPB．
三、相互独立事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，
即：PABPAPB．
教学目标
例题精讲 知识要点
概率
7-9.概率.题库 教师版 page 2 of 9 模块一、概率的意义
【例 1】 （2007年希望杯决赛）气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是
________．
①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．
③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．
【解析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．
80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．
80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．
【例 2】 在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞
200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么
请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
【解析】 200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125，
所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800尾．
【例 3】 一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔
放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的
一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．
【解析】 因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较
大，即小亮得分高的可能性较大．
【例 4】 一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依
次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【解析】 掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，
再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，
总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．
例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即
总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性
最大．
【例 5】 从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小
红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来
9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．
【解析】 首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：
分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
车号 1 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 1 1 1 1
显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为7
10，乘坐9路车的几率均为3
10，因此小红乘坐1 路
车的可能性较大．
模块二、计数求概率
【例 6】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．
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【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为1
16、1
4、3
8、
1
4、1
16．
【例 7】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五
个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．
【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，
第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120种可能，则
输入正确车牌号的可能性是1
120．
【例 8】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?
【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636．
将点数为6的情况全部枚举出来有：
1,52,43,34,25,1
点数之积为6的情况为：
1,62,33,26,1 两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是5
36；
点数之积为6的概率为41
369．
【例 9】 甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的
差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．
【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，
两个数差为1有2918种，
两个数的差为2的情况有2816种，
所以两个数的差不超过2的概率有10181611
101025
．
⑵两个数的差为7的情况有23种．
两个数的差为8的情况有224种．
两个数的差为9的情况有2种．
所以两个数字的差超过6的概率有6423
101025
.
两个数字的差不超过6的概率有322
1
2525.
【例 10】 工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是
7-9.概率.题库 教师版 page 4 of 9 次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？
【解析】 从10件产品中选择2件一共有2
1045C种情况. 所以这两件产品恰好都是次品的概率为1
45．
两件产品中有一件次品的情况有11
2816CC种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为16
45.
两件产品中都不是次品的概率有2
828C种情况，所以两件产品都不是次品的概率为28
45.
【例 11】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有2524
300
2种不同的方法．
从全体学生中任意抽出两个人有5251
1326
2
种不同的方法．计算概率：30050
1326221．
【例 12】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？ 【解析】 法一：从6名学生中选4人的不同组合有6543
15
4321
种．
其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有543
10
321
种．
所以甲被选择上的概率为102
153．
法二：显然这6个人入选的概率是均等的．
即每个人作为一号选手入选的概率为16，作为二号入选的概率为1
6，作为三号入选的概率为1
6， 作为四号入选的概率为1
6，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是
互斥事件，所以他被入选的概率为11112
66663．
【例 13】 （2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点
都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概
率是______．
【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720种．
其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，
冒号之后不出现1的情况有6110145种，
所以不出现1的情况有458360种．
所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360种，
所以至少看到一个数字“1”的概率为3601
7202种．
【例 14】 从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵这些三角形中有多少个直角三角形？
⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？
【解析】 从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有87632156个．
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个
不是直角三角形．
