(小学奥数)概率

“統計與概率”主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象,兼有應用性和趣味性，其內容及延伸貫穿於初等數學到高等數學，因此成為小學數學中新增內容．

1.能準確判斷事件發生的等可能性以及遊戲規則的公平性問題．

2.運用排列組合知識和枚舉等計數方法求解概率問題．

3.理解和運用概率性質進行概率的運算．

一、概率的古典定義

如果一個試驗滿足兩條：⑴試驗只有有限個基本結果；

⑵試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的．

這樣的試驗，稱為古典試驗．對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為：mPAn，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目，m表示事件A包含的試驗基本結果數．小學奧數中所涉及的概率都屬於古典概率．其中的m和n需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等方法求出．

二、對立事件

對立事件的含義：兩個事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生，那麼這兩個事件叫作對立事件

如果事件A和B為對立事件（互斥事件），那麼A或B中之一發生的概率等於事件A發生的概率與事件B發生的概率之和，為1，即：1PAPB．

三、相互獨立事件

事件A是否發生對事件B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件．

如果事件A和B為獨立事件，那麼A和B都發生的概率等於事件A發生的概率與事件B發生的概率之積，即：PABPAPB． 教學目標

知識要點

7-9-1.概率

模組一、概率的意義

【例 1】 氣象臺預報“本市明天降雨概率是80%”．對此資訊，下列說法中正確的是________．

①本市明天將有80%的地區降水． ②本市明天將有80%的時間降水．

③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比較大．

【考點】概率的意義 【難度】1星 【題型】填空

【關鍵字】希望杯，決賽

【解析】 降水概率指的是可能性的大小，並不是降水覆蓋的地區或者降水的時間．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是說明有比較大的可能性下雨．

【答案】④

【例 2】 約翰與湯姆擲硬幣，約翰擲兩次，湯姆擲兩次，約翰擲兩次，……，這樣輪流擲下去．若約翰連續兩次擲得的結果相同，則記1分，否則記0分．若湯姆連續兩次擲得的結果中至少有1次硬幣的正面向上，則記1分，否則記0分．誰先記滿10分誰就贏．

贏的可能性較大（請填湯姆或約翰）．

【考點】概率的意義 【難度】2星 【題型】填空

【關鍵字】走美杯，5年級，決賽，第7題

【解析】 連續扔兩次硬幣可能出現的情況有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四種情況。約翰扔的話，兩種情況記1分，兩種情況記0分；湯姆扔的話三種情況記1分，一種情況記0分。所以湯姆贏得的可能性大。

【答案】湯姆

【例 3】 在某個池塘中隨機捕撈100條魚，並給魚作上標記後放回池塘中，過一段時間後又再次隨機捕撈200尾，發現其中有25條魚是被作過標記的，如果兩次捕撈之間魚的數量沒有增加或減少，那麼請你估計這個池塘中一共有魚多少尾？

【考點】概率的意義 【難度】2星 【題型】解答

【解析】 200尾魚中有25條魚被標記過，沒所以池塘中魚被標記的概率的實驗得出值例題精講 為252000.125，

所以池塘中的魚被標記的概率可以看作是0.125，池塘中魚的數量約為1000.125800尾．

【答案】800

【例 4】 一個小方木塊的六個面上分別寫有數字2、3、5、6、7、9，小光、小亮兩人隨意往桌面上扔放這個木塊．規定：當小光扔時，如果朝上的一面寫的是偶數，得1分．當小亮扔時，如果朝上的一面寫的是奇數，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比較大．

【考點】概率的意義 【難度】2星 【題型】填空

【解析】 因為2、3、5、6、7、9中奇數有4個，偶數只有2個，所以木塊向上一面寫著奇數的可能性較大，即小亮得分高的可能性較大．

【答案】小亮得分高的可能性較大

【例 5】 一個骰子六個面上的數字分別為0，1，2，3，4，5，現在來擲這個骰子，把每次擲出的點數依次求和，當總點數超過12時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現的總點數是＿＿＿＿.

【考點】概率的意義 【難度】4星 【題型】填空

【解析】 擲的總點數在8至12之間時，再擲一次，總點數才有可能超過12（至多是17）．當總點數是8時，再擲一次，總點數是13的可能性比總點數超過13的可能性大．當總點數在9至12之間時，再擲一次，總點數是13的可能性不比總點數是14，15，16，17的可能性小．

例如，總點數是11時，再擲一次，出現05的可能性相同，所以總點數是1116的可能性相同，即總數是13的可能性不比總數點數分別是14，15，16的可能性小，綜上所述，總點數是13的可能性最大．

【答案】總點數是13的可能性最大．

【例 6】 從小紅家門口的車站到學校，有1路、9路兩種公共汽車可乘，它們都是每隔10分中開來一輛．小紅到車站後，只要看見1路或9路，馬上就上車，據有人觀察發現：總有1路車過去以後3分鐘就來9路車，而9路車過去以後7分鐘才來1路車．小紅乘坐______路車的可能性較大．

【考點】概率的意義 【難度】4星 【題型】填空

【解析】 首先某一時刻開來1路車，從此時起，分析乘坐汽車如下表所示：

分鐘 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

車號 1 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 1 1 1 1 顯然由上表可知每10分鐘乘坐1路車的幾率均為710，乘坐9路車的幾率均為310，因此小紅乘坐1 路車的可能性較大．

【答案】1 路車的可能性較大

模組二、計數求概率

【例 7】 如圖所示，將球放在頂部，讓它們從頂部沿軌道落下，球落到底部的從左至右的概率依次是_______．

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】填空

【解析】 每到一個岔口，球落入兩邊的機會是均等的，因此，故從左至右落到底部的概率依次為116、14、38、14、116．

【答案】左至右落到底部的概率依次為116、14、38、14、116．

【例 8】 一輛肇事車輛撞人後逃離現場，員警到現場調查取證，目擊者只能記得車牌是由2、3、5、7、9五個數字組成，卻把它們的排列順序忘記了，員警在調查過程中，如果在電腦上輸入一個由這五個數字構成的車牌號，那麼輸入的車牌號正好是肇事車輛車牌號的可能性是______．

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】填空

【解析】 員警在調查過程中，在電腦上輸入第一個數字可能是2、3、5、7、9中的任何一個，有5種可能，第二位數字有4種可能，……，第五位數字有1種可能，所以一共有54321120種可能，則輸入正確車牌號的可能性是1120．

【答案】1120

【例 9】 分別先後擲2次骰子，點數之和為6的概率為多少?點數之積為6的概率為多少?

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】解答

【解析】 根據乘法原理，先後兩次擲骰子出現的兩個點數一共有6636．

將點數為6的情況全部枚舉出來有：

1,52,43,34,25,1

點數之積為6的情況為：

1,62,33,26,1 兩個數相加和為6的有5組，一共是36組，所以點數之和為6的概率是536；

點數之積為6的概率為41369．

【答案】（1）536，（2）19

【例 10】 甲、乙兩個學生各從09這10個數字中隨機挑選了兩個數字（可能相同），求：⑴這兩個數字的差不超過2的概率，⑵兩個數字的差不超過6的概率．

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】解答

【解析】 ⑴兩個數相同（差為0）的情況有10種，

兩個數差為1有2918種，

兩個數的差為2的情況有2816種，

所以兩個數的差不超過2的概率有10181611101025．

⑵兩個數的差為7的情況有23種．

兩個數的差為8的情況有224種．

兩個數的差為9的情況有2種．

所以兩個數字的差超過6的概率有6423101025.

兩個數字的差不超過6的概率有32212525.

【答案】（1）1125，（2）2225

【例 11】 工廠品質檢測部門對某一批次的10件產品進行抽樣檢測，如果這10件產品中有兩件產品是次品，那麼質檢人員隨機抽取2件產品，這兩件產品恰好都是次品的概率為多少？這兩件產品中有一件是次品的概率為多少？這兩件產品中沒有次品的概率為多少？

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】解答

【解析】 從10件產品中選擇2件一共有21045C種情況.

所以這兩件產品恰好都是次品的概率為145．

兩件產品中有一件次品的情況有112816CC種情況，所以兩件產品中有一件次品的概率為1645.

兩件產品中都不是次品的概率有2828C種情況，所以兩件產品都不是次品的概率為2845.

【答案】（1）145，（2）1645，（3）2845

【例 12】 一個班有女生25人,男生27人,任意抽選兩名同學,恰好都是女生的概率是幾分之幾?

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】解答

【解析】 從25名女生中任意抽出兩個人有25243002種不同的方法．

從全體學生中任意抽出兩個人有525113262種不同的方法．計算概率：300501326221．

【答案】50221

【例 13】 從6名學生中選4人參加知識競賽，其中甲被選中的概率為多少？

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】解答

【解析】 法一：從6名學生中選4人的不同組合有6543154321種．

其中，4人中包括甲的不同組合相當於在5名學生中選3人所以一共有54310321種．

所以甲被選擇上的概率為102153．

法二：顯然這6個人入選的概率是均等的．

即每個人作為一號選手入選的概率為16，作為二號入選的概率為16，作為三號入選的概率為16，

作為四號入選的概率為16，對於單個人“甲”來說，他以頭號、二號、三號、四號入選的情況是

互斥事件，所以他被入選的概率為1111266663．

【答案】23

【例 14】 一塊電子手錶，顯示時與分，使用12小時計時制，例如中午12點和半夜12點都顯示為12:00．如果在一天（24小時）中的隨機一個時刻看手錶，至少看到一個數字“1”的概率是______．

【考點】計數求概率 【難度】3星 【題型】填空

【關鍵字】學而思杯，6年級，1試，第8題

【解析】 一天當中，手錶上顯示的時刻一共有1260720種．

其中冒號之前不出現1的情況有2、3、4、5、6、7、8、9八種，

冒號之後不出現1的情況有6110145種，

所以不出現1的情況有458360種．