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专题 极限、连续与导数【高考导航】了解函数极限的定义必须紧扣以下两点：一、明确自变量的变化条件，二、分析函数值的变化趋势。
求函数的极限，关键要通过变形将较复杂的极限转化为基本极限公式、两个重点的极限公式，并灵活应用极限的运算法则。
理解函数在x 0处的连续性，关键要把握函数在x 0处的极限与函数在x 0函数值的相等关系；理解函数在[a,b]上连续的性质(重点是最大(小)值的性质)，要重点结合初等函数的连续性来分析。
对函数的导数关键要用应用求导法判断函数的单调性、求函数的最大值（或最小值），并运用导数的知识解决有关实际问题。
【真题回访】1、若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤++0,0,12x e x a x x 在(-∞,+∞)连续，则a= 。
【解】e2、8)2()3()1(502397lim =+++∞→x ax x x ，则a 的值为(C) A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 3、设f(x)=lncosx ，则f /(3π)= 。
【解】-34、下列命题错的是(A)A) 函数f(x)在点x 0连续,则)(x f 在点x 0可导 B) 函数f(x)在点x 0连续,则)(lim 0x f x x →存在C)有限个无穷小的代数和是无穷小D) 在自变量的同一变化过程中,若f(x)是无穷大,则)(1x f 是无穷小 5、若24)(lim e xk x xx =+∞→，则实数k= 。
【解】21 6、 设函数f(x)在点x 0可导,则f /(x 0)=0是f (x)在点x 0取得极值的(C) A) 充分不必要条件 B) 充分必要条件 C) 必要而不充分条件 D) 既不充分也不必要条件7、设函数f(x)=ax 2+b 与g(x)=31x 3+cx 的图像都经过点P(3,0)，且两曲线在点P 处有相同的切线。
1)求实数a,b,c 的值；2)设F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调递减区间。
【解】1) 根据题意有：f /(3)=g /(3) ∴2a ⨯3=31⨯3⨯32+c ∴6a-c-9=0 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==--033)3(09)3(096c g b a f c a ∴a=34,b=-12,c=-1,2) F(x)=31x 3+34x 2-x-12 ∴ F /(x)= x 2+38x-1<0 ∴-3<x<31 ∴F(x)的单调递减区间为[-3，31]。
极限、连续与导数极限、连续与导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．也是高考中考察综合能力的一个方向．学好这三个问题的关键就在于理解极限、连续与导数的概念．只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关问题．首先介绍1．不定型极限的常见类型及求法在高考中所考查的函数极限常常表现为不定型．处理这类极限的宗旨是“先变形(化简)，再求极限”．我们通过下面几道题来总结一下求不定型极限的方法．例122132lim 1x x x x →-++-的值等于___________． 思路启迪由于将x →-1代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法．根据观察，可以将分子分母分解因式，都可以分解出极限为0的x +1，约去公因式即可求极限了．此方法称为约去零因子法． 练习：求323221620lim 71612x x x x x x x →----+++． 约去零因子法是求00型极限的基本方法，但在高考中，这类题目往往是选择填空题，不需要过程，另外，有些题目的零因子也不易分解出来，例如0sin lim x x x→． 下面介绍求不定型极限的利器──洛比达法则：00()0()lim ()lim ()0()x x x x f x f x g x g x →→'='． 回头再看例1． 洛比达法则不仅适用于可分解零因子的00型极限，也适用于几乎所有的不定型极限． 如00sin 0cos lim ()lim 101x x x x x →→==． 000tan sin 0cos lim lim ()lim 1cos 0cos sin x x x x x x x x x x x x→→→===-． 例22241lim ()42x x x→---+= ___________． 思路启迪因为224lim 4x x →-=∞-，21lim 2x x→-=∞+，所以不能直接用求函数极限差的运算法则，可将函数通分变形后再求极限．此方法称为通分法． 练习：求3131lim()11x x x→---．例3求1x →有理化法)． 思路启迪求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．当然本题利用洛比达法则更为简捷．例4求*1,)x m n N →∈(变量替换法)．思路启迪替换的方法，令t =本题也可利用洛比达法则． 洛比达法则也可用于∞∞型极限，这主要是数列极限． 练习1：(07上海春招)．计算221lim 3(1)n n n n →∞++=___________． 练习2：(四川成都二诊)已知(1)(2)limx m x x x x m→---=2，则实数m 的值为_________． 2．极限、连续与导数的关系由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f (x )在点x 0处的函数的增量f (x 0+∆x )-f (x 0)与相应的自变量的增量(x 0+∆x )-x 0= ∆x (∆x ≠0)的比值 ()()xx f x x f ∆-∆+00 当自变量的增量∆x →0时的极限值．函数f (x )在点x 0处有极限、连续、以及导数存在这三者之间的关系是： 导数存在⇒连续⇒有极限．反之则不一定成立．例如y =2,01,0x x x ⎧≠⎨=⎩在点x =0处有极限但不连续．例如y =|x |在点x =0处有极限且连续，但导数不存在．函数f (x )在点x 0处有极限的充要条件是左极限和右极限存在且相等．即000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x f x f x A -+→→→===(A 是常数)． 函数f (x )在点x 0处连续的充要条件是极限等于函数值．即00lim ()()x x f x f x →=． 函数f (x )在点x 0处导数存在的充要条件是左导数和右导数存在且相等．例5若函数f (x )=232(2),42(2).x a x x x b x +⎧->⎪--⎨⎪≤⎩在x =2处连续，则a =___________，b =___________．例6设f (x )=200,.x x x ax b x x ⎧≤⎪⎨+>⎪⎩为了使函数f (x )于点x =x 0处连续而且可导，应当如何选取系数a 和b ？这里f (x )是一个分段函数，点x 0是f (x )的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．思路启迪由于x =x 0是分段函数f (x )的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：(1) f (x 0-0)=f (x 0)=f (x 0+0)；(2) f ′(x 0-0)=f ′(x 0+0)．[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成．①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数．②判断分段点处的可导性．(Ⅰ)若函数在点x 0不连续，则它在点x 0不可导．(Ⅱ)若函数在点x 0连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数．当左、右导数存在并且相等时，则函数在点x 0可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点x 0就不可导]．例7．观察(x n )′=nx n -1，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=-sin x ，是否可判断：(1) 可导的奇函数的导函数是偶函数；(2) 可导的偶函数的导函数是奇函数．利用导数的定义证明：(1) 若f (x )是奇函数，则f ′(x )=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆， f ′(-x )=00()()()()lim lim x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→-+∆----∆+=∆∆ =0[()]()lim ()x f x x f x x ∆→+-∆+-∆= f ′(x )． ∴可导的奇函数的导函数是偶函数．可以仿此类似证明(2)．这里用到一个性质：f ′(x )=00()()()()lim lim x x f x x f x f x a x f x x a x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆． 也可利用复合函数的求导方法要证明一个函数是奇数，需证明∀x∈R，有f(-x)=-f(x)，而要证明一个函数是偶函数，需证明f(-x)=f(x)．设f(x)为偶函数，则对∀x∈R有f(-x)=f(x)，两端求导即：-f′(-x)=f′(x)，即f′(-x)=-f′(x)，故f′(x)是奇函数．同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．可以看出，反函数x=ln y对y的导数，等于直接函数y=e x对于x的导数的倒数；反之亦然．一般地，我们有(反函数求导法则)法则：若函数y=f(x)在点x处有导数f′(x)，且f′(x)≠0，则它的反函数x=f-1(y)=g(y)在相应点上也有导数，且[f-1(y)]′= g′(y)=1 ()f x'．3．对不等式可否逐项求导？一般地说不行，如在区间(-∞，0)上有2x≤x2+1，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在(-∞，0)上，不等式2≤2x是不成立的．再如，对∀x∈R，有x2<x2+1，而对∀x∈R，2x<2x显然是错误的．例8(06全国Ⅱ第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)．若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．4．用导数的几何意义求切线应注意点的位置首先看一个例题：例9求曲线C1：y=x2与曲线C1：y=x3的公切线的斜率．解：对C1、C2分别求导得：y′=2x，y′=3x2．令2x=3x2，解得：x=0或x=23．当x=0时，2x=3x2=0；当x=23时，2x=3x2=43．即所求公切线的斜率分别为0，43．但当公切线的斜率为0时，切线方程为y=0，它穿过曲线y=x3，可是曲线的切线都是曲线的同一侧，因此0不是公切线的斜率．所以所求公切线斜率仅为43．辨析：该解有两处错误．其一斜率为0的切线是存在的．虽然它穿过曲线y=x3，但从切线定义看，该切线可以看作曲线y=x3上在原点O附近有一点P，点P沿着该曲线无限趋近于原点O时与点O相连的一条割线，该割线斜率的极限为0，所以y=0的直线是它们的公切线；其二，当x=23时，2x=3x2=43，此时C1的切线方程是442()933y x-=-，而C2的切线方程是842()2733y x-=-．显然两者不是同一条直线，也就谈不上43是公切线斜率了．产生该错误的原因是在开始对两曲线求导并令其相等时，实际已经默认了公切线与两曲线切于同一点，事实上本例通过解2x=3x2方程解得x=0时，y=0的直线与两曲线是相切于同一点(0，0)，而当x=23时，在曲线C1上切点为(23，49)，在曲线C2上切点却为(23，827)，这两点显然不是同一点．正确的思路应该是先在两曲线上分别取一点，使这两点的导数相等并等于这两点连线的斜率，再通过解方程组得到正确结论．正解：在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)．分别求曲线在这两点的导数有y1′=2x1，y2′=3x22．∵y1′=y2′=k AB，∴(1)当x1=x2时，2x1=3x22，解得：x1=x2=0，此时切线的斜率为0；(2)当x1≠x2且x1x2≠0时，2x1=3x22=231212x xx x--，由2x1=3x22，得：x1=32x22，代入3x22=231212x xx x--，得：3x22=43222229432x xx x--，∴x2=89，x1=3227．此时公切线的斜率为2x1=64 27．综上所述，曲线C1、C2有两条公切线，其斜率分别为0，64 27．此题引出的问题是：曲线的切线与曲线有且仅有一个交点吗？曲线的切线与曲线可以有多个交点，与曲线仅有一个交点的直线也不一定就是曲线的切线．导数即函数的变化率，本质上是一种特殊的极限，它不仅可直接反映许多实际问题中函数变化的快慢程度，而且可刻画曲线y=f(x)在点x0的切线的斜率f′(x0)，从而曲线在(x0，f(x0))的切线方程为y- f(x0)=f′(x0)·(x-x0)．(*)注：(1)切线方程(*)中已知点(x0，f(x0))在曲线y=f(x)上，(2)式中的f′(x0)为有限常数(包括0)，当f′(x0)→∞时，切线方程为x= x0．例8试根据以下条件，写出相应的切线方程：(1)求曲线y=2x-x3在点(1，1)的切线方程；(2)求过点(2，0)并与曲线y=2x-x3相切的直线方程．分析：本题重在揭示f′(x)表示曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．特别应注意：该点在曲线y=f(x)上．如果已知点不在曲线y=f(x)上，则处理起来要麻烦一些．解：(1) f′(x)=2-3x2．由于(1，1)点在y=2x-x3上，故f′(1)=2-3×2=-1．∴所求切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y=2．(2)点(2，0)不在曲线y=2x-x3上，故不可直接利用切线方程y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0)求解．设切点坐标为(x 0，y 0)，有y 0=2x 0-x 03，且k =f ′(x 0)=2-3x 02．故通过点(x 0，y 0)的曲线的所有切线方程为：y -(2x 0-x 03)=(2-3x 02)(x -x 0)．今要选择适当的x 0，使对应的切线通过已知点(2，0)，把点(2，0)代入上式，得0-(2x 0-x 03)=(2-3x 02)(2-x 0)，解得：x 0=1，所以y 0=2x 0-x 03=1，k =-1．故过点(1，1)，斜率k =-1的切线方程y -1=-(x -1)，即为所求方程．说明：巧合的是，(1)与(2)结果相同，但这完全是由于(2，0)的特殊性导致，将(1)的方法套用于(2)，即使结果正确，过程也是错的．5．用导数求函数极值的第二法则6．导数的应用(1)求证下列不等式①x -22x <ln(1+x )<x -22(1)x x +，x ∈(0，+∞)； ②sin x >2x π，x ∈(0，2π)； ③x -sin x <tan x -x ，x ∈(0，2π)． (2)利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1(x ≠0，n ∈N *)(2)S n =12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，(n ∈N *) 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维．由求导公式(x n )′=nx n -1，可联想到它们是另外一个和式的导数．关键要抓住数列通项的形式结构．错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想． 技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导．解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1)；当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n =x x x n --+11， 两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+12233n n n n n n C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+，两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n -1=1232123n n n n n n C C x C x nC x -+++⋅⋅⋅+，令x =1得，n ·2n -1=12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+， 即S n =12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+=n ·2n -1． 7.对数求导法求函数的导数(1)y =(x 2-2x +3)e 2x ；(2)y最后讲一下三次函数问题8．三次函数问题三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数，这是因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高考中永恒的主题，所以三次函数在高考试题中占有相当的比例．单调性和对称性最能反映这个函数的特性．下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律．函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的导函数为y ′=3ax 2+2bx +c ．我们不妨把方程3ax 2+2bx +c =0称为原函数的导方程，其判别式∆=4(b 2-3ac )．若∆>0，设其两根为x 1x 2，则可得到以下性质： 性质1：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)，若a >0，当∆≤0时，y =f (x )是增函数；当∆>0时，其单调递增区间是(-∞，x 1]，[x 2，+∞)，单调递减区间是[x 1，x 2]；若a <0，当∆≤0时，y =f (x )是减函数；当∆>0时，其单调递减区间是(-∞，x 2]，[x 1，+∞)，单调递增区间是[x 2，x 1]．(证明略)(简记为：a >0，先极大后极小，中间段减；a <0，先极小后极大，中间段增．) 推论：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)，当∆≤0时，不存在极大值和极小值；当∆>0时，有极大值f (x 1)、极小值f (x 2)．根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：性质2：函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)若x 0∈[m ，n ]，且f ′(x 0)=0，则：f (x )max =max {f (m )，f (x 0)，f (n )}；f (x )min =min {f (m )，f (x 0)，f (n )}．(证明略)性质3：函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)是中心对称图形，其对称中心是(-3b a，f (-3b a))． 证明：设函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的对称中心为(m ，n )．按向量a =(-m ，-n )将函数的图象平移，则所得函数y =f (x +m )-n 是奇函数，图1所以f (x +m )+f (-x +m )-2n =0．化简得：(3ma +b )x 2+am 3+bm 2+cm +d -n =0，上式对x ∈R 恒成立，故3ma +b =0，得m =-3b a，n =am 3+bm 2+cm +d = f (-3b a )． 所以，函数y =ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的对称中心是(-3b a ，f (-3b a))． 可见，y =f (x )图象的对称中心在导函数y =f ′(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点(因1212()()()22f x f x x x f ++=)． 所以，对于三次函数f (x )，通过求导得到的f '(x )为二次函数，且f (x )的极值点是该二次函数的零点．同时利用导数的几何意义(曲线在某一点P (x 0，y 0)处的切线斜率k =f '(x 0))可得到斜率k 为关于x 0的二次函数．根据这些特点，三次函数问题，可通过求导转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决．下面选一些近三年年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题．例1．函数f (x )=x 3-3x 2+6x -7的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________．分析：对称中心为Q (m ，n )．按向量a =(-m ，-n )将函数的图象平移，则所得函数y =f (x +m )-n 是奇函数，所以f (x +m )+f (-x +m )-2n =0．化简得：(3m -3)x 2+m 3-3m 2+6m -7-n =0，此式对x ∈R 恒成立，故3m -3=0，得m =1，f (1)=-3．所以，对称中心的坐标为(1，-3)．若按上述性质3：对称中心是(-3b a ，f (-3b a))，立得坐标为(1，-3)． 若记不住对称中心的公式，可求出两个极值点，再取其中点即可．例如：f ′(x )=3(x -1)2，只有一个极值点，中点就是它了，(1，-3)．更简单的是只要求出导函数的对称轴x 0的值即可得(x 0，f (x 0))．练习：函数f (x )=(x -2)3+x -5的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标是A .(1，-5)B .(-2，3)C .(3，-1)D .(2，-3)分析：由对称中心是(-3b a ，f (-3b a))，得所求坐标为(2，f (2))=(2，-3)，选D ． 说明：此题f ′(x )=3(x -2)2+1，无极值点，取y =f ′(x )的对称轴就是它的横坐标，即x =2．。
极限和导数相关知识1.导数的有关概念。
(1)定义：函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(limlim)(00/。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率。
2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：C /=0（C 为常数）； (x m )/=mx m-1(m ∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (e x )/=e x ; (a x )/=a xlnax x 1)(ln /=; e x x a a log 1)(log /=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=⎪⎭⎫⎝⎛+=±=±v v uv v u v u uv v u uv v u v u(3)复合函数的导数：x u xu y y ///⋅=3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f /(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)）,我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
A 类例题例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错例2．观察1)(-='n n nxx ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3）;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x xa log 1=；（8）.1)'(ln xx =7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）)()()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<="">10．极值的必要条件：若函数f(x)在x 0处可导，且在x 0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。
（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0<="" f="" p="" ，则f(x)在x="">13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。
14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使.)()()('ab a f b f f --=ξ[证明] 令F(x)=f(x)-)()()(a x ab a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.)()()('ab a f b f f --=ξ 15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)(''<="">16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +，α1+α2+…+αn =1。
（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )≤a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、方法与例题 1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）??? ??+++∞→22221lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ；（3）???? ??++++++∞→n n n n n 22212111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ 例2 求下列极限：（1）∞→n lim (1+x)(1+x 2)(1+22x )…(1+nx 2)(|x|<1)；（2）??? ?---→x x x 1113lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。
2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)∈--∈--.3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222x x x x x x 所以 0)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+→+→-→-→x x x f x x x f x x x x ，所以-→2lim x f(x)=+→2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
例4.求过（2,0）的函数1y=x的切线方程4．导数的计算。
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）xx x x y -+=352；（3）y=e cos2x；（4）)1ln(2-+=x x y ；（5）y=(1-2x)x(x>0且21<x )。
5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。
6．利用导数证明不等式。
例7 设)2,0(π∈x ，求证：sinx+tanx>2x.7.利用导数讨论极值。
例8 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1和x 2=2处都取得极值，试求a 与b 的值，并指出这时f(x)在x 1与x 2处是取得极大值还是极小值。
利用导数证明不等式一、用函数的单调性证明不等式：我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）．因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的．即把证明不等式转化为证明函数的单调性．一般方法：构造辅助函数→判定单调性→得所证不等式．基本依据：若()f x 在(,)a b 内单增?()()()f a f x f b <<；若()f x 在(,)a b 内单减?()()()f b f x f a <<．具体有如下几种形式：1．由欲证形式直接构造构造“形似”函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立．【例1】当0x >时，求证；2ln(1)02x x x --+<．【针对练习1】求证：当(1,)x ∈+∞时，3221ln 032x x x -->．2．由欲证形式做恒等变形作差或作商，变成初等函数四则运算的形式，若变量没有x ，将其中一个常数改为x ），则另一端即为所求作的辅助函数()F x ，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．【例2】求证：当),0(+∞∈x 时，2ln(1)2(1)x x x x +<-+．点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，在区间(,)a +∞内可导，且()0f x '>，又()0f a ≥，则x a >时，()0f x >．【针对练习2】求证：当(0,)x π∈时，sin x x <．【例3】当)1,0(∈x 时，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．【针对练习3】求证：当),0(+∞∈x 时，2112xe x x ->+．【例4】求证：当0x π<<时，sin2x x π>．．【例5】求证：当b a e >>时，b a a b >．（常数不等式一般化为函数不等式证明）【针对练习4】证明：当1x>时，2ln (1)ln ln(2)x x x +>+．3．通过换元后作差构造函数证明不等式．【例6】（07山东）证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)n n n+>-都成立．【针对练习5】若(0,)x ∈+∞，求证：111ln 1x x x x+<<+．。
