极限连续可导之间的关系

导数值与极限值的关系
导数与极限的关系：
1、极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0) 。

2、而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。

【导数与极限的关系】一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。

连续一定可导吗
连续一定可导吗：不一定
可导一定连续，连续不一定可导。

连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。

可以说：因为可导，所以连续。

不能说：因为连续，所以可导。

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。

连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。

寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。

微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。

求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

函数的可导性与连续性在数学中，函数是研究数学对象之间的关系的工具。

而函数的可导性与连续性是衡量函数性质的两个重要指标。

本文将探讨函数的可导性与连续性的概念和性质。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的函数值与该点的极限值相等。

即对于函数f(x)，如果当x趋近于某个实数a时，f(x)也趋近于f(a)，那么函数f(x)在点a处连续。

函数在定义域上的每个点都连续时，我们称该函数为连续函数。

连续函数有一些重要的性质。

首先，如果两个函数f(x)和g(x)在某个点a处连续，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也在该点连续。

其次，连续函数的复合函数也是连续的。

这些性质使得连续函数在数学和应用领域中具有广泛的应用。

二、函数的可导性函数的可导性是指函数在某一点处的导数存在。

导数可以理解为函数在该点处的变化率。

对于函数f(x)，如果它在某点a处的左导数和右导数存在且相等，那么函数f(x)在该点处可导。

函数在定义域上的每个点都可导时，我们称该函数为可导函数。

可导函数也具有一些重要的性质。

首先，如果两个函数f(x)和g(x)在某个点a处可导，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也在该点可导。

其次，可导函数的复合函数也是可导的。

这些性质使得可导函数在微积分和物理等科学领域中得到广泛的应用。

三、连续函数与可导函数的关系连续函数与可导函数之间存在一定的关系。

首先，可导函数一定是连续的。

这是因为可导性的定义要求函数在某点处的左右导数存在且相等，因此函数在该点处的函数值与极限值也必然相等，即函数在该点处连续。

然而，连续函数未必可导。

例如，绝对值函数在x=0处连续，但在该处的导数并不存在。

类似地，分段函数在每个分段点都是连续的，但在分段点处的导数也未必存在。

这表明连续性是可导性的充分条件，但不是必要条件。

四、函数的可导性与连续性的判断那么如何判断一个函数在某点处是否连续或可导呢？对于连续性，我们可以使用极限的定义。

如果函数f(x)在点a的左极限、右极限和函数值都存在且相等，那么函数在该点连续。

极限与导数的关系详解
1.导数的定义是由极限形式表示，求导的本质可以认为是求极限
2.导数是极限,但极限不一定是导数
可导极限一定存在；极限不存在一定不可导
若函数f(x)在点x0可导，那么函数一定在该点连续
若函数f(x)在点x0连续，那么函数在该点极限一定存在
3.导数是由极限推出来的导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限
4.导数全称是导函数（函数你懂得强调的是对应关系）极限是能取到的一个值（函数的值）也就是导数值。

二元函数连续性与可导性的关系分析连续性和可导性是微积分中常用的概念，用于描述函数在某一点的性质和表现。

本文将分析二元函数连续性和可导性之间的关系，并探讨它们在数学和实际问题中的重要性。

一、连续性与可导性的基本定义连续性是指函数在某一点的极限等于该点的函数值，即函数的图像在该点没有跳跃或断裂。

数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 连续的条件为：$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$可导性是指函数在某一点存在切线斜率，即函数在该点的导数存在。

数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的条件是该点存在两个偏导数（即两个方向上的导数），并且偏导数的值相等，称为偏导数存在且相等，即$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$二、连续函数的可导性在实数函数中，连续函数在其定义域内必定可导，但在二元函数中，并非所有连续函数都可导。

连续函数的可导性需要满足某些附加条件。

根据解析几何中的定义，$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的充要条件是$f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ 和 $\frac{\partialf}{\partial y}(a,b)$ 存在且连续。

三、连续性与可导性的关系对于二元函数而言，连续性是可导性的充分条件，也就是说，函数在点$(a,b)$ 处连续，则可导。

然而，连续性并不一定是可导性的必要条件。

即使函数在点$(a,b)$ 连续，但如果偏导数的值在此处不相等，则函数在该点不可导。

四、连续性与可导性在实际问题中的应用连续性和可导性是微积分在实际问题中的重要应用，特别是在物理和工程领域。

在物理学中，连续性可以描述物理量的变化趋势，在时间和空间上的连续性有助于物理现象的建模和分析。

可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$

4）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。
2.导数与导函数的区别与联系
区别：
例1 求函数
解：
即
例2 求函数
解
即
即
如
又如
即
更一般地，对于幂函数
在上面的例子中，将
换成
得
例3
解
即
类似可得
例4求函数f(x)=cos x的导数 解
解
因此
所以
特殊地，当a＝e时，
(sin x)=cos x
(cos x)=-sin x
(ax)=axln a
1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
1） 若
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别
4.求函数y=f(x)的导数可分如下三步:
5.导数的几何意义
1.几何意义
切线方程为
法线方程为
1）函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。
所以，
其中
是当
的无穷小。
则
当
时，

极限与可导的关系
一个函数在某一点处可导是指该函数在此点处存在导数，也即是函数在此点处的切线
斜率存在。

而函数在某一点处极限存在是指当自变量趋近于此点时，因变量趋近于某一个
确定的值。

极限与可导之间存在一定的关系。

对于一些特定类型的函数，它们在某一点处极限存在，则有可能是可导的。

然而，对于一些其他类型的函数，即便在某一点处极限存在，也
不一定是可导的。

对于一些基本函数，它们在其定义域内都是可导的。

这主要包括常数函数、多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

在这些函数中，对于任意一个点处的导数，都可
以使用函数在该点的极限求解。

对于一些其他类型的函数，我们需要更具体地分析它们在某一点处是否可导。

例如，
对于一个通过非常复杂的公式确定的函数，我们需要使用导数的定义来判断是否在某一点
处可导。

值得注意的是，即便在某一点处极限存在，也并不意味着函数在此点处一定是可导的。

例如，考虑函数$f(x)=|x|$，它在$x=0$处的极限存在，但在该点处不可导。

换言之，若
要判断一个函数在某一点处是否可导，我们需要进行更加具体的分析，不能仅仅依靠其极
限是否存在来判断。

可导与极限存在的关系
可导与极限存在的关系是微积分中的一个重要概念。

在这篇文章中，我们将深入探讨
可导与极限存在之间的关系。

首先，我们需要了解什么是可导和什么是极限存在。

可导是指在一个定义域内的某个点处，函数在这个点处存在切线。

具体地说，如果对
于函数f(x)，在x=a处存在一个常数k，使得当x接近a时，f(x)与直线y=f(a)+k(x-a)
的误差项o(x-a)同阶小，那么我们就说这个函数在x=a处可导。

极限存在则是指当一个自变量向某一特定数值趋近时，函数值与这个数值趋于相等，
即函数在这个数值处的极限值存在。

如果对于函数f(x)，当x趋近于a时，f(x)趋近于L，那么我们就说函数f(x)在x=a处的极限为L。

在大多数情况下，如果一个函数在某一点可导，那么它在这个点处的极限也一定存在。

这是因为可导的定义需要用到一阶导数，而一阶导数的概念就是函数在某一点的极限斜率，如果一个函数在某一点可导，那么它在这个点处的极限斜率一定存在。

但是，在某些情况下，函数在某一点处的极限存在，但它并不可导。

一个典型的例子
就是函数f(x)=|x|在x=0处的情况，虽然这个函数在x=0处的极限存在，但它在这个点处是不可导的。

综上所述，可导与极限存在之间具有很强的相关性，它们往往是密切联系的。

对于大
多数函数来说，它们之间是可以相互推导的，因此在进行微积分计算时，我们可以很方便
地利用这种关系来求解。

极限连续导数微分四者的关系分析首先，我们来定义这四个概念：1.极限：当自变量趋近于一些数值时，函数的取值趋近于一些确定的数值。

极限可以用来描述函数在一些特定点或无穷远处的行为。

2.连续：如果函数在一些点处的极限存在，并且与该点处的函数值相等，则称该函数在该点处连续。

连续性可以看作是没有断裂、无间断的性质。

3.导数：函数在特定点处的变化率。

导数可以看作是函数在特定点处对应的切线的斜率，也可以理解为函数曲线在该点处的局部线性近似。

导数可以帮助我们研究函数在一些点的变化情况。

4.微分：将函数在特定点处的局部线性近似（切线）与自变量的微小增量之积。

微分可以看作是函数变化的“微小量”。

微分也可以理解为导数与自变量的微小增量之积，表示函数在该点附近的微小变化量。

这四个概念之间的关系如下：1.连续和极限的关系：一个函数在特定点处连续，等价于函数在该点的极限存在。

如果函数在特定点连续，则该点的极限就是该点处的函数值。

2.导数和极限的关系：函数在特定点处可导，等价于函数在该点处的极限存在。

如果函数在特定点可导，则该点的极限就是该点处导数的值。

3.导数和微分的关系：导数是微分的特殊形式。

微分是函数在特定点处同自变量微小增量之积，而导数是函数在特定点处的变化率，等于函数值的微小变化量与自变量的微小增量之商。

4.连续和微分的关系：如果函数在区间内连续，在该区间内的每一个点都可导，那么函数在该区间内就是微分的。

也就是说，函数在该区间内的微分是函数在该区间内的导数。

综上所述，极限、连续、导数、微分之间有着密切的关系。

连续性是函数在特定点处的极限存在，导数是函数在特定点处的极限，微分是函数在特定点处的导数与自变量微小增量之积。

这四个概念相互依赖，互为补充，帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为。

在微积分中，它们是我们研究函数变化和性质的基础和工具，也是我们深入探讨微积分学的前提和基础。

可导与极限存在的关系
在微积分学中，可导性和极限是两个非常重要的概念。

它们之间存在着密切的关系，因为可导性的定义涉及到极限的概念。

在本文中，我们将探讨可导与极限存在的关系。

我们来回顾一下可导性的定义。

如果函数f在点x处可导，那么它在该点的导数存在，即：
f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
这个定义中，右侧的极限就是一个典型的极限定义。

它表示当自变量h趋近于0时，函数f在x点的增量与h的比值的极限。

因此，我们可以看出可导性与极限的存在是密切相关的。

我们来看一下极限存在的条件。

如果函数f在点x处的极限存在，那么它必须满足以下两个条件：
1. 左极限和右极限存在且相等，即：
lim (x→a-) f(x) = lim (x→a+) f(x) = L
2. 函数在该点的值等于极限，即：
f(a) = L
这两个条件保证了函数在该点的值与它的极限相等。

因此，我们可
以得出结论：如果函数f在点x处可导，那么它在该点的极限存在。

我们来看一下可导与极限存在的关系。

如果函数f在点x处可导，那么它在该点的极限存在。

这是因为可导性的定义中涉及到了极限的概念，而且导数的存在要求函数在该点的极限存在。

因此，可导性和极限存在是密切相关的。

可导与极限存在的关系是非常密切的。

如果函数在某个点可导，那么它在该点的极限必定存在。

这个结论对于微积分学的学习非常重要，因为它帮助我们更好地理解可导性和极限的概念，从而更好地掌握微积分学的知识。

高等数学可微可导连续有什么联系
在数学中，可微、可导和连续都是描述函数性质的概念，它们之间有以下联系：
1. 连续性：一个函数在某个点连续意味着在该点附近的极限存在且与该点的函数值相等。

连续性是函数的基本性质，没有连续性的函数很难研究。

如果一个函数在某个点连续，那么它一定在该点可微可导。

2. 可微性：一个函数在某个点可微表示在该点附近，函数的增量可以用一个线性函数来近似表示。

可微是比连续性更高阶的性质。

如果一个函数在某点可微，那么它一定在该点连续。

3. 可导性：一个函数在某点可导表示在该点附近，函数的增量可以用一个线性函数加上一个高阶无穷小来近似表示。

可导性也是比连续性更高阶的性质。

如果一个函数在某点可导，那么它一定在该点可微可导。

因此，可微性和可导性都比连续性更强，而且它们之间是包含关系。

也就是说，一个函数在某点可导，则一定可微；一个函数在某点可微，则一定连续。

但反过来不一定成立，一个连续函数不一定是可微的，一个可微函数不一定是可导的。

总结起来，连续是函数最基本的性质，可微是连续的一个延伸，可导是可微的一个延伸。

这些性质的联系在数学中起到了极为重要的作用。

2020高考数学复习 极限 连续 可导辨析在高中数学第三册（选修II ）第三章导数与微分的学习过程中，不少同学对极限、连续、可导、最值等概念混淆不清，下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系，以期对同学们的学习有所帮助。

1. )(与)(lim 00x f x f x x →（1）-→0x x 是指x 从点x 0左侧（x<x 0）无限趋近于x 0, +→0x x 是指x 从点x 0右侧（x>x 0）无限趋近于x 0。

而x→x 0是指x 可以用任何方式无限趋近于x 0，即可以从点x 0的左侧无限趋近于x 0,也可以从点x 0右侧无限趋近于x 0，还可以从点x 0的两侧交错地无限趋近于x 0等等，且有如下充要条件：a.x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0(2) )(lim 0x f x x →存在与f(x)在x 0处是否有定义无关，x→x 0是x 取值无限地趋近于x 0，不一定取到x 0。

例1 （1）设⎩⎨⎧<+-≥=),0(1),0()(2x x x x x f 讨论f(x)在点x=0的极限；（2）已知22)(2++=x xx x f ,求)(lim 2x f x -→；（3）设⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=),0(1),0(0),0(1)(x x x x x x f 求)(lim 0x f x →与f(0).解 （1）,1)1(lim )(lim ,0)(lim 0020=+-===--+→→→x x f x x f x x x∴f(x)在点x=0处无极限，即)(lim 0x f x →不存在（但f(0)=0, f(x)在x=0处有定义）。

.2lim 2)2(lim)(lim )2(222-==++=-→-→-→x x x x x f x x x.0)0(,1)(lim ,1)1(lim )(lim ,1)1(lim )(lim )3(0==∴=+-==+=→→→→→-++又f x f x x f 又x x f x x x x x2.函数f(x)在点x 0处有极值与f(x)在点x 0处连续 （1）函数f(x)在点x 0连续必须具备3个条件： （i ）f(x)在点x=x 0有定义； （ii ）f(x)在点x=x 0有极限； （iii ）).()(lim 00x f x f x x =→（2）极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势，与函数在这点有无定义无关，但函数在某一点连续不仅要求该点有极限，而且要求函数在该点的极限值等于函数值（即函数在此点必须有定义）。

函数的连续性和可导性的定义和性质函数的连续性和可导性是数学中非常重要的概念。

在现代数学和科学研究中，函数的连续性和可导性被广泛应用。

1. 函数的连续性定义和性质函数的连续性表示的是函数在某个区间内的平滑性。

具体来说，若函数在某个点连续，则在该点任意方向的极限值是相等的。

即:$\lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$其中$a$为该点。

如果函数在某个区间内每个点都连续，那么称这个函数在该区间内是连续的。

另外，函数在区间内的连续性还具有以下性质:1. 不断函数的和，积和商都是连续的。

2. 连续函数的复合函数也是连续的。

3. 有界闭区间内的连续函数都是一致连续的。

2. 函数的可导性定义和性质函数的可导性属于函数恒等式的范畴，在实数场上，函数可导是一种特殊的连续函数。

函数在某个点（也就是函数过该点的切线）的斜率为导数。

如果函数在该点存在导数，则称该函数在该点是可导的。

当然，函数可导性需要满足以下几个条件：1. 在该点周围存在左、右侧的极限值。

2. 左、右侧极限值相等。

3. 左、右侧极限值存在，则其值为导数，也即该点切线斜率。

另外，函数可导性还有以下一些性质：1. 可导函数关于自变量的反函数也是可导的。

2. 可导函数在某个区间内的和、积、复合、倒数等函数也是可导的。

3. 连续函数并不一定可导，只有满足严格的条件才具有可导性。

3. 连续性和可导性的关系连续性和可导性是两个完全不同的概念。

但是，在有些情况下，它们之间是具有联系的。

例如，当一个函数可导时，它也一定是连续的。

但反之则不成立，也就是说，连续性不是导数存在的充分条件。

另外，如果一个函数在某个点可导，那么在该点一定存在左、右极限并相等。

而当一个函数在某个点左、右极限存在并相等时，并不能保证函数在该点可导。

4. 总结在数学上，函数的连续性和可导性是非常重要的概念，其中连续性是指函数在某个点或某个区间内的平滑性，而可导性则是函数斜率存在的一种算术形式。

连续性和可导性的区别与联系连续性和可导性是微积分中两个重要的概念，它们在函数的计算与分析中占据着重要的地位，它们之间既有联系，又有区别。

在本篇文章中，我们将会就此课题进行探究。

一、连续性和可导性的定义连续性是指在一个点附近，函数值和自变量的变化不会出现任何突变。

更形式化的说，若函数$f(x)$在点$x=a$处连续，那么$\lim_{x\to a}f(x)$存在，且等于$f(a)$。

而可导性则是指在一个点附近，函数在这个点处可以被切成一个一次函数。

更形式化的说，若函数$f(x)$在点$x=a$处可导，那么$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在。

二、连续性和可导性的区别1.概念不同从定义上来看，连续性是指函数在一个点附近没有任何突变，而可导性则是指函数可以在某一点处被切成一个一次函数。

2.性质不同连续性是一个比较基本的性质，有了连续性，才能谈论函数的其他性质。

而可导性则更严格，存在可导，不一定能说明存在连续。

同样，连续性保证了函数在某个点附近有定义，而可导性则进一步明确地要求了函数在这个点附近有一个特定的变化趋势。

3.适用范围不同从定义上来看，连续性的限制条件比可导性的限制条件少。

可导性需要更高的限制条件，因此只有在一些特殊的函数上才能够被满足。

三、连续性与可导性的联系1.连续性是可导性的必要条件在可导性的定义上看，如果一个函数在某个点可导，则该点连续。

所以连续性是可导性的必要条件。

2.连续性和可导性可以相互加强应用中，我们经常有一个可以连续但不可导的函数，或者一个可导但不连续的函数。

但是，通过一些特殊的方法，这种情况可以得到改善，比如我们可以通过对原函数的一些改变，使它同时满足连续性和可导性。

四、连续性与可导性的应用1.对函数特性的分析连续性和可导性都是函数性质的重要指标，许多重要的特性都可以通过对函数连续性和可导性的分析而得出。

例如，判断函数极限、函数最大值最小值等等。

可导与连续的关系解析在数学分析中，可导和连续是两个非常重要的概念。

虽然这两个概念看似相似，但它们之间存在着很大的差别和联系。

在本文中，我们将对可导和连续的概念进行解析，并探讨它们之间的关系。

1. 可导的概念及其性质可导指的是函数在某个点上的导数存在。

如果一个函数在某一点不可导，那么在该点上就会存在一个垂直于x轴的切线，而这个切线的斜率不存在。

例如，f(x)= |x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等。

有的函数在某些特殊情况下可以存在导数，但在大多数情况下是不存在导数的。

例如，f(x) = x^2sin(1/x)在x=0处不存在导数，但是该函数在其他地方是可导的。

可导函数具有以下性质：（1）如果f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续。

（2）如果f(x)在某一点可导，那么f(x)在该点的导数是唯一的。

（3）如果f(x)和g(x)在某一点可导，那么f(x) + g(x)在该点也可导，并且(f+g)'(x0) = f'(x0) + g'(x0)。

2. 连续的概念及其性质连续指的是函数在某个点上存在极限，而且函数值等于该点处的极限。

如果一个函数在某一点不连续，那么就会出现跳跃现象。

例如，f(x) = [x]在整数点处不连续。

连续函数具有以下性质：（1）如果f(x)在点x0处连续，那么f(x)在点x0处可导。

（2）多个连续函数的和、差、积、商都是连续函数，只要分母不为0即可。

（3）一个函数在有限闭区间上连续，那么它一定在该区间上有界，并且能够达到最大值和最小值。

从性质（1）可以看出，一个函数在可导的同时一定是连续的。

但是，一个连续函数不一定可导，因为在连续的情况下，函数极限存在，但是导数可以不存在。

此外，一个函数在某点处可导，不一定连续，因为在可导的情况下，函数值可能并不等于极限值。

3. 可导与连续的关系从上面的讨论中可以看出，可导和连续是两个相互联系的概念。

可导函数一定是连续函数，连续函数不一定可导，但可导函数在点x0处的连续性是由f'(x0)是否存在决定的。

极限连续可导的关系
连续:在定义范围内曲面上没有窟窿、断崖(但是可以有尖点，有折痕啊)，可微:曲面是光滑的(想象一个穹顶)，关系:其中可微最严格，可推出其余二者。

可导和连续相互不能推出。

可微=\ue可导=\ue连续=\ue可积
可微与已连续的关系：可微必已连续，已连续不一定可微；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可微与测度的关系：可微通常测度，测度推不出一定可微；
可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。

在区间上不已连续，但只存有非常有限个第一类间断点（弹跳间断点，可以回去间断点）上述条件实际上为黎曼可内积条件，可以收紧，所以只是充分条件，可微必已连续，已连续不一定可微，即可导是已连续的充分条件，已连续就是可微的必要条件
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。