导数和极限精辟总结(全)

导数简易知识点总结归纳导数是微积分学中一个分外重要的观点，也是计算速度变化及斜率的工具。

在微积分的进修中，导数是一个基础且重要的知识点。

通过了解导数的定义、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数和曲线的特性，从而应用到各种实际问题中。

一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。

详尽来说，对于函数 y = f(x)，在点 x 处的导数表示为 f'(x)，其定义如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示当 h 趋近于0时的极限；h 是 x 的一个非零增量；f(x+h) - f(x) 表示增量；(f(x+h) - f(x)) / h 表示增量与 h 的比值。

当 h 趋近于0时，增量与 h 的比值就是导数。

二、导数的性质1. 基本性质：导数具有线性性质，即对于任意函数 f(x) 和常数 k，有以下性质：(a) (kf(x))' = kf'(x)(b) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)2. 基本函数导数：(a) 常数函数 y = C 的导数为零：(C)' = 0(b) 幂函数 y = x^n 的导数为 nx^(n-1)：(x^n)' =nx^(n-1)(c) 指数函数 y = a^x 的导数为 a^x * ln(a)：(a^x)' = a^x * ln(a)(d) 对数函数 y = ln(x) 的导数为 1/x：(ln(x))' = 1/x3. 基本运算法则：(a) 乘法法则：(uv)' = u'v + uv'(b) 除法法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2(c) 复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)三、导数计算方法1. 利用定义法计算导数：对于任意函数 f(x)，可以利用定义法进行导数的计算。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

第二节导数与函数的极值、最值知识点汇总考点一利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．[解] 由f(x)＝x－1＋ae x，得f′(x)＝1－ae x.①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a＞0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．[例2] 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．[解] f′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1x＋1(x＞－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝1，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．②当a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．当0＜a≤89时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．当a＞89时，Δ＞0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，因为x1＋x2＝－1 2，所以x1＜－14，x2＞－14.由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－1 4 .所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0, 函数f(x)单调递增．因此函数f(x)有两个极值点．③当a＜0时，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1＜x2.当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)有一个极值点．综上所述，当a＜0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f(x)无极值点；当a＞89时，函数f(x)有两个极值点．考法(二) 已知函数的极值点的个数求参数[例3] 已知函数g(x)＝ln x－mx＋mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围．[解] 因为g(x)＝ln x－mx＋m x ，所以g′(x)＝1x－m－mx2＝－mx2－x＋mx2(x＞0)，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h 0＞0，12m＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜0，解得0＜m ＜12.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.考法(三) 已知函数的极值求参数[例4] (2018·北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0;当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数研究函数的最值[典例精析]已知函数f (x )＝ln xx－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ＞0，求函数f (x )在区间[m,2m ]上的最大值． [解] (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2， 由⎩⎨⎧f ′x ＞0，x ＞0，得 0＜x ＜e ；由⎩⎨⎧f ′x＜0，x ＞0，得x ＞e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)①当⎩⎨⎧2m ≤e ，m ＞0，即0＜m ≤e2时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m 2m－1；②当m ＜e ＜2m ，即e2＜m ＜e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e,2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0＜m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m2m －1；当e 2＜m ＜e 时，f (x )max ＝1e －1； 当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， 又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－2a ＋1x ＋1x＝2ax －1x －1x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a， 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1. ①当a ＜0，即12a＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. ②当a ＞0，即x 2＝12a＞0时， 若12a ＜1，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，[1，e]上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a－1＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 若1＜12a ＜e ，f (x )在区间(0,1)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a＜e 矛盾． 若x 2＝12a≥e ，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾．综上所述，a＝1e－2或a＝－2.考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题[典例精析](2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ln x＋12x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥e x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．[解] (1)∵f′(x)＝1x＋x－a(x＞0)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，即1x＋x－a≥0恒成立，∴a≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x min，而x＋1x≥2 x·1x＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，∴a≤2.即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝1x＋x－a＝x2－ax＋1x(x＞0)，∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，∴f(x2)－f(x1)＝ln x2x1＋12(x22－x21)－a(x2－x1)＝lnx2x1－12(x22－x21)＝lnx2x1－12(x22－x21)1x1x2＝lnx2x1－12⎝⎛⎭⎪⎫x2x1－x1x2，设t＝x2x1(t≥e)，令h(t)＝ln t－12⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(t≥e)，则h′(t)＝1t－12⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t2＝－t－122t2＜0，∴h(t)在[e，＋∞)上是减函数，∴h(t)≤h(e)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－e＋ee，故f (x 2)－f (x 1) 的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ e ＋e e .[题组训练]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a ＞0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋be x －ax 2＋bx ＋ce x e x 2＝－ax 2＋2a －bx ＋b －ce x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g 0＝b －c ＝0，g－3＝－9a －32a －b＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者． 而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.[课时跟踪检测]A级1．函数f(x)＝x e－x，x∈[0,4]的最小值为( )A．0 B.1 eC.4e4D.2e2解析：选A f′(x)＝1－x e x，当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e4＞0，所以当x＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.2．若函数f(x)＝a e x－sin x在x＝0处有极值，则a的值为( )A．－1 B．0C．1 D．e解析：选C f′(x)＝a e x－cos x，若函数f(x)＝a e x－sin x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.3．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( )A．15 B．16C．17 D．18解析：选D 因为x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，所以f′(2)＝12－3a＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－12x＋2，f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0，得x＝±2，故函数f(x)在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时，函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.4.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的大致图象如图所示，则x21＋x22等于( )A.23B.43C.83D.163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.5．(2019·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1和y ＝ x －1交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是( )A.3－ln 22 B.5－ln 22 C.3＋ln 22D.5＋ln 22解析：选D 由y ＝e x ＋1得x ＝ln y －1，由y ＝x －1得x ＝y 2＋1，所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y －22⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22y(y ＞0)，当0＜y ＜22时，h ′(y )＜0；当y ＞22时，h ′(y )＞0，即函数h (y )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＋2＝5＋ln 22.6．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0， 解得a ＞22. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞7．(2019·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0＜x ＜1a时，f ′(x )＞0；当x ＞1a时，f ′(x )＜0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案：18．(2018·内江一模)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R)，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3处的切线方程为y ＝x －π3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3x在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上的最小值．解：(1)由切线方程知，当x ＝π3时，y ＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a ＋12b ＝0.∵f ′(x )＝a cos x －b sin x ，∴由切线方程知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12a －32b ＝1，∴a ＝12，b ＝－32.(2) 由(1)知，f (x )＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数g (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π2，g ′(x )＝x cos x －sin xx 2.设u (x )＝x cos x－sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2，则u ′(x )＝－x sin x ＜0，故u (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．∴u (x )＜u (0)＝0，∴g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减．∴函数g (x )在 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2π.9．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x2＝ax －1x2(a ＞0)．(1)由f ′(x )＞0，解得x ＞1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在，理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件． ②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝0，即lna ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件．③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0＜a ＜1e，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.B 级1．(2019·郑州质检)若函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( )A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－4，b ＝11D ．以上都不对解析：选C 由题意，f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， 则f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝3.①f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b ＝9.② 联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝11或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3.经检验⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3不符合题意，舍去．故选C.2．(2019·唐山联考)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍去，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a －1＜12，a ＋1＞12，解得1≤a ＜32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323．(2019·德州质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝－x 2＋1，知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎨⎧a ＜1，10－a 2＞1，f 1≥f a，其中f (1)≥f (a )，即为－13＋1≥－13a 3＋a ，整理得a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3a ＋3≥0， 即(a －1)(a 2＋a ＋1)－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即⎩⎨⎧a ＜1，10－a 2＞1，a －12a ＋2≥0，解得－2≤a ＜1.答案：[－2,1)4.已知函数f (x )是R 上的可导函数，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列结论正确的是( )A ．a ，c 分别是极大值点和极小值点B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点C ．f (x )在区间(a ，c )上是增函数D ．f (x )在区间(b ，c )上是减函数解析：选C 由极值点的定义可知，a 是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f (x )在区间(a ，＋∞)上是增函数，故选C.5.如图，在半径为103的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中A ，B 在直径上，C ，D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V ，设AD ＝x ，则V max ＝________.解析：设圆柱形罐子的底面半径为r ， 由题意得AB ＝21032－x 2＝2πr ，所以r ＝300－x 2π，所以V ＝πr 2x ＝π⎝⎛⎭⎪⎫300－x 2π2x ＝1π(－x 3＋300x )(0＜x ＜103)，故V ′＝－3π(x 2－100)＝－3π(x ＋10)(x －10)(0＜x ＜103)． 令V ′＝0，得x ＝10(负值舍去)， 则V ′，V 随x 的变化情况如下表：x (0,10) 10 (10,103)V ′ ＋0 －V极大值所以当x ＝所以V max ＝2 000π. 答案：2 000π6．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋xx ＋12，其中a 为常数．(1)当1＜a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，求g (x )＝x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x ln(1＋x )的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x x －2a ＋3x ＋13，①当－1＜2a －3＜0，即1＜a ＜32时，当－1＜x ＜2a －3或x ＞0时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，当2a －3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，则f (x )在(2a －3,0)上单调递减． ②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3＞0，即a ＞32时，当－1＜x ＜0或x ＞2a －3时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，当0＜x ＜2a －3时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减． 综上，当1＜a ＜32时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3,0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32＜a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减．(2)∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值． 令h (x )＝g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln(1＋x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln(1＋x)－ln x＋1x－21＋x，则h′(x)＝2x3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln1＋x－2x2＋xx＋12.由(1)可知当a＝2时，f(x)在(0,1]上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝0，∴h′(x)＜0，从而h(x)在(0,1]上单调递减，∴h(x)≥h(1)＝0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)≤g(1)＝2ln 2，∴g(x)的最大值为2ln 2.。

导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义）Ax f ax =→)(l i m ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。

（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。

右极限： =+)0(a f Ax f ax =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。

A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。

定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =+∞→lim 。

定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =-∞→lim 。

运算法则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。

2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=∙x g x f lim 。

3) 3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。

注：上述记号lim 是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。

高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结1一、求导数的方法（1）基本求导公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的导数设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即二、关于极限1、数列的极限：粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。

记作：=A。

如：2、函数的极限：当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作三、导数的概念1、在处的导数。

2、在的导数。

3。

函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。

例、若=2，则=（）A―1B―2C1D四、导数的综合运用（一）曲线的切线函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程。

具体求法分两步：（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。

高中数学导数知识点总结2★高中数学导数知识点一、早期导数概念――――特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。

在作切线时他构造了差分f（A+E）―f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f（A）。

二、17世纪――――广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。

牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),y=f(x),如果自变量如果自变量x 在x 0处有增量x D ，那么函数y 相应地有增量y D =f （x 0+x D ）－）－f f （x 0），比值x yDD 叫做函数y=f y=f（（x ）在x 0到x 0+x D 之间的平均变化率，即x y D D =x x f x x f D -D +)()(00。

如果当0®D x 时，x y D D 有极限，我们就说函数y=f(x)y=f(x)在点在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim ®D x x y D D=0lim ®D x x x f x x f D -D +)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0®D x 时，x y D D 有极限。

如果xyD D 不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

处不可导，或说无导数。

（2）x D 是自变量x 在x 0处的改变量，0¹D x 时，而y D 是函数值的改变量，可以是零。

以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的步骤：处的导数的步骤： ① 求函数的增量y D =f =f（（x 0+x D ）－）－f f （x 0）； ② 求平均变化率x y D D =xx f x x f D -D +)()(00；③ 取极限，得导数f’(x 0)=xyx D D ®D 0lim 。

例：设f(x)= x|x|, f(x)= x|x|, 则则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim 0000=D =D D D =D D =D -D +®D ®D ®D ®D x x xx x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=02．导数的几何意义函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f y=f（（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

极限与导数的基础知识与运用极限和导数是高等数学中重要的概念，也是计算机科学、物理学等多个领域中必不可少的数学工具。

本文旨在系统地介绍极限和导数的概念，以及它们的应用。

一、极限1.1 极限的定义极限是研究函数变化趋势的一种方法。

给定一个函数 $f(x)$，当自变量 $x$ 越来越接近某个特定的值 $a$ 时，如果函数值 $f(x)$ 也越来越接近某个常数 $L$，则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$其中，$x$ 可以从左侧或右侧趋近于 $a$。

1.2 夹逼定理夹逼定理是极限的一个重要定理，它有助于我们判断一些函数的极限是否存在。

设 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，当 $x\rightarrow a$ 时，$f(x)$ 和 $h(x)$ 的极限都等于 $L$，则 $g(x)$ 的极限也等于 $L$。

即$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a}h(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$$1.3 极限的计算计算极限的方法有很多，以下是一些典型的极限计算方法：1.3.1 基本极限$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$1.3.2 无穷小与无穷大当 $x\rightarrow 0$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是一个无穷小。

当 $x\rightarrow \infty$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 是一个无穷大。

导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。

导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。

导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。

1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。

对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。

这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。

1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。

对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。

类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。

因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。

1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。

它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。

二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。

如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。

对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。

但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。

2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。

sin′x=cosx
csc′x=-cscxcotx
cos′x=-sinxsec′x=secxtanxtan′x=sec2x
cot′x=-csc2x
arcsin′x=
arctan′x=
arccos′x=-
arccot′x=-
③高阶导数：
1.微分导数定义：
①导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0取得该变量△x(x≠0)时，相应地函数y=f(x)也有改变量，△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果 存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0的导数。其几何意义是x0点的斜率。
②微分定义：设函数y=f(x)在区间I上有定义，x0,x0+△x∈I，如果函数的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+0(△x)，其中A是不依赖△x常数，而0(△x)是比△x高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0可微：dy=Adx。其几何意义是△y线性部分。
③可导与连续性：如果函数y=f(x)在点x0可导，则函数在该点x0连续。一个函数在点x0连续却不一定可导。
2.计算方法原则：
①四则运算：
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y=f(u)，u=g(x)→y′=f′(u)·g′(x)
②常用导数：
C′=0
(xa)′=axa-1
(ax)′=axlna
(ex)′=ex
(logax)′=
(lnx)′=

导数定理知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的定理是微积分的基础，它包括了一系列关于导数的性质和公式。

在本文中，我们将对导数定理进行总结，并且提供一些例子来帮助读者理解这一概念。

1. 导数的定义在微积分中，导数通常用来描述函数在某一点处的变化率。

对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以用以下公式来表示：导数的定义可以用极限的概念来描述：其中h是一个无限小的增量，表示x在该点附近的变化。

当h趋近于0的时候，这个极限就是函数在x处的导数。

2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的性质都非常重要。

下面是一些常见的导数性质：线性性质：如果函数f(x)和g(x)都是可导的，那么它们的和、差、积都是可导的，并且满足以下公式：乘积法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导的，那么它们的乘积也是可导的，并且满足以下公式：商法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导的，并且g(x)≠0，那么它们的商也是可导的，并且满足以下公式：链式法则：如果函数y=f(g(x))可导，那么它的导数可以通过链式法则来计算：这些性质对于不同函数之间的导数求解非常有用，能够大大简化计算过程。

3. 导数的应用导数在物理学、工程学、经济学以及其他领域都有着广泛的应用。

通过导数，我们可以对函数进行分析，研究函数的最大值、最小值以及函数的变化趋势。

下面是一些导数在实际问题中的应用：最速下降问题：如果一个物体从一点A出发，经过一段曲线到达另一个点B，那么它的轨迹应该是怎样的才能使它在给定的时间内到达B点？这个问题可以通过导数来求解。

最小曲线长度问题：如果一个点在平面上沿着一个曲线到达另一个点，那么这条曲线的长度应该怎样才能最短？这个问题也可以通过导数来求解。

经济学中的边际成本和边际收益：在经济学中，很多问题都涉及到边际成本和边际收益，这些概念都可以通过导数来进行分析。

这些应用问题都需要对函数的导数进行分析和计算，通过导数，我们可以更好地理解这些实际问题。

理解概念，掌握基础
总结：理解导数和极限的基本概念， 掌握导数和极限的定义、性质和计算 方法。
深入理解导数的几何意义和物理意义， 掌握导数的计算公式和法则，理解极 限的定义和性质，掌握极限的计算方 法。
强化计算，提高速度
总结：通过大量练习，提高导数和极限的计算速度和准确性。
通过大量的练习题，熟练掌握导数和极限的计算方法和技巧，提高计算速度和准确性，同时注意解题 的规范性和严谨性。
掌握利用导数研究函数的单调性、 极值和最值的方法。
总结词：导数与极限的综合应用 是导数极限的难点，需要结合导 数和极限的性质解决复杂问题。
能够运用导数与极限的综合知识， 解决一些复杂的数学问题。
05
复习题及答案
导数计算复习题
总结词
掌握导数的基本计算方法
导数的几何意义
理解导数在几何上表示切线的斜率，并能够利用导数求 出曲线的切线方程。
导数极限考点分析和复习 建议
目录
• 导数与极限的基本概念 • 导数极限的考点分析 • 复习建议 • 典型例题解析 • 复习题及答案
01
导数与极限的基本概念
导数的定义与几何意义
总结词
理解导数的定义和几何意义是掌握导 数的基础。
详细描述
导数定义为函数在某一点的斜率，表 示函数在该点的变化率。几何意义是 函数图像在某一点的切线斜率。
详细描述
链式法则主要用于处理复合函数的导数，幂 函数法则和对数函数法则则是处理幂函数和 对数函数的导数。这些法则在计算导数时非 常重要，需要熟练掌握。
极限的求解方法
总结词
掌握极限的求解方法，包括直接代入法 、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
VS
详细描述
直接代入法适用于简单的极限问题，可以 直接将自变量代入函数中求得极限。等价 无穷小替换法是处理0/0型极限问题的重 要方法，可以将复杂的函数替换为简单的 无穷小量，简化计算。洛必达法则是处理 未定式极限的重要工具，通过求导数来求 解极限。

导数归纳总结导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

在学习导数的过程中，我们需要了解导数的定义和性质，并学会应用导数解决实际问题。

本文将对导数的相关知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h为一个无限接近于0的数。

这个定义告诉我们，导数可以通过函数的极限来计算。

二、导数的计算规则了解导数的计算规则对于求解导数是非常重要的。

以下是常见的导数计算规则：1. 常数规则：如果f(x) = C，其中C为常数，那么f'(x) = 0。

2. 幂函数规则：对于任意自然数n，如果f(x) = x^n，那么f'(x) = nx^(n-1)。

3. 和差规则：如果f(x) = u(x) ± v(x)，那么f'(x) = u'(x) ± v'(x)。

4. 乘积规则：如果f(x) = u(x) · v(x)，那么f'(x) = u'(x) · v(x) +u(x) · v'(x)。

5. 商法则：如果f(x) = u(x) / v(x)，那么f'(x) = [u'(x) · v(x) -u(x) · v'(x)] / v(x)^2。

这些规则是求导数时常用的基本技巧，掌握它们可以简化导数的计算过程。

三、导数的性质导数具有一些重要的性质，了解这些性质有助于我们更深入地理解导数的含义。

以下是导数的一些主要性质：1. 导数的代数性质：导数满足线性运算和乘法运算的规律，例如对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：(af(x) ± bg(x))' = af'(x) ± bg'(x)(af(x) · g(x))' = af'(x) · g(x) + af(x) · g'(x)2. 导数与函数的关系：如果一个函数在某一点处可导，则它在该点处连续。

函数的极限与导数的关系函数的极限和导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在紧密的关联。

本文将探讨函数的极限与导数的关系，并分析它们在数学和实际应用中的重要性。

一、函数的极限在微积分中，函数的极限是指当自变量无限接近某个特定值时，函数值的趋势。

通过极限，我们可以了解函数在特定点附近的行为和变化。

函数f(x)的极限可以表示为lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L，其中x→a表示x无限接近于a，L表示极限的值。

这意味着当x无限接近a时，f(x)会无限接近于L。

二、导数的定义导数是函数在某一点的变化速率，描述了函数图像的斜率。

导数的定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h。

其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，h表示自变量的微小增量。

导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率，通过导数我们可以研究函数的增减性、曲线的凹凸性等性质。

三、函数的极限与导数的关系函数的极限与导数有着密切的联系。

当函数f(x)在点a处可导时，f'(a)即为f(x)在点a处的导数。

而函数在点a处的极限lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗就等于f(a)。

这种关系可以用极限和导数之间的定义来解释。

因为导数定义中的极限是针对自变量趋近于某个点时的函数值变化情况，因此导数也可以看作是函数在某一点的极限。

另外，函数在某一点可导，意味着函数在该点右侧和左侧的极限都存在且相等。

这是因为导数定义中的极限需要考虑自变量的微小增量在点a左右两侧的变化情况。

四、极限与导数的应用函数的极限和导数在数学和实际应用中都有广泛的应用。

在数学中，极限和导数是微积分的基础概念，对于研究函数的性质和变化规律具有重要作用。

通过研究函数的极限和导数，我们可以计算曲线的斜率、判断函数的极值点和拐点等。

在实际应用中，极限和导数被广泛运用在物理学、经济学、工程学等领域。

例如，在物理学中，我们可以利用导数来描述物体的运动状态和速度变化；在经济学中，导数可用来衡量生产函数的边际收益率；在工程学中，导数可以帮助我们分析电路中电流和电压的变化。

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。

1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。

简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容，它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。

在这篇总结中，我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。

一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$，那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。

2. 极限的性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to a}f(x)$存在，则其极限唯一。

（2）局部有界性：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在，则存在一个$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)$有界。

（3）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。

（4）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。

3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有：（1）情况一：$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。

（2）情况二：$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。

导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。

下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。

幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。

乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。

3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。

如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。

4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。

一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。

高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。

5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。

6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。

以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。

课 题 导数与最值 极值教学目标 掌握导数在函数最值与极值方面的应用重点、难点导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.考点及考试要求导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题. 导数应用各类题型的出题方式，举一反三.典型例题的典型方法. 在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.教学内容 知识框架知识梳理1.函数的单调性：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时，判断0()f x 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()f x 是极大值． （2）如果在0x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.【例1已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.【解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =，所以32()2f x x bx cx =+++. 所以2()32f x x bx c '=++.由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-.故所求的解析式是32()332f x x x x =--+. （Ⅱ）因为2()363f x x x '=--，令23630x x --=，即2210x x --=， 解得 112x =-，212x =+.当12x ≤-或12x ≥+时，'()0f x ≥， 当1212x -≤≤+时，'()0f x ≤，故32()332f x x x x =--+在(,12]-∞-内是增函数，在[12,12]-+内是减函数，在[12,)++∞内是增函数.【例2】（A 类）若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-在x ∈ [－1,1]时恒成立. 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1[,]3-+∞【例3】（B 类）已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+．（Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值. 【解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （II ）()()2'03x aF x x x -=<≤， ()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12.∴12a ≥，∴a min =12.【课堂练习】1.已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间[,1]m m +上单调递增，即[,1]m m +为函数的递增区间的子集.【解析】（Ⅰ）32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4a b += ∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+ 由已知条件知1(1)()19f '⋅-=- 即329a b +=∴解4329a b a b +=⎧⎨+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+令2()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞U ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤- 2．（B 类）设函数),(2131)(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f（1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若22,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2)()(由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根由韦达定理，82)(,8242422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f其中点（—2，3）距离原点最近，所以当22,32b a b a +⎩⎨⎧=-=时有最小值133.（A 类）已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； (),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数．知识点二: 导数与函数的极值最值 方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件.【例4】（A 类）若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值,则m = .【解题思路】若在0x 附近的左侧'()0>f x ，右侧()0f x '<，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0<f x ，右侧'()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极小值.【解析】因为()f x 可导,且'()sin cos 2f x m x x =-+,所以'()sincos0442f m πππ=-+=,解得0m =.经验证当0m =时, 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【注】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在0x 左右判断单调性. 【例5】已知函数()()xf x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.【解析】（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min()(0)f x f k==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min()(1)(1)f x f k e==-.【例6】设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,afx bx x=++由已知得：()()''210101204102a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：x（0，1）1 （1，2）2()f x ，— 0 + 0—()f x极小值极大值故在1x =处，函数()f x 取极小值56；在2x =处，函数()f x 取得极大值42ln 233-.【课堂练习】4.设axx x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.【解析】)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间， 即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f .由ax a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.由0292)32('>+=a f 解得91->a ， 所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间.5.设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；【解题思路】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题．【解】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g =(2)1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x =，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x < 6.已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围。