一阶常系数微分方程的通解

一阶微分方程的类型
一阶微分方程是指只涉及未知函数的一阶导数的方程。

在求解一阶微分方程时，首先需要判断其类型，以确定采用何种方法进行求解。

一阶微分方程的类型通常可分为以下几类：
1.可分离变量型：形式为dy/dx=f(x)g(y)，即可把dy和dx分开，然后将方程两边的积分得到解。

2.齐次型：形式为dy/dx=f(y/x)，即可通过令y=vx来进行变量替换，将原方程化为可分离变量型，然后求解。

3.线性型：形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)均为已知函数，即可通过求解一阶常系数线性齐次微分方程的通解，并使用常数变易法求得非齐次线性微分方程的通解。

4.恰当型：形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，即可通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等，若相等，则该方程为恰当型，可通过
直接求解得到通解。

5.准线性型：形式为dy/dx+p(x)y=q(x)y^n，其中n为常数，即可通过变量替换y=z^(1-n)，将原方程转化为线性型，然后求解即可。

以上是一阶微分方程的常见类型，不同类型需要采用不同的方法进行求解。

掌握这些常见类型可以帮助我们更加高效地解决实际问题。

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各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。

1. 分离变量法。

分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。

其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。

例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。

2. 积分因子法。

积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。

其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。

3. 特征方程法。

特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。

其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。

4. 变量替换法。

变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。

例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。

二、偏微分方程的解法。

1. 分离变量法。

分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。

例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。

2. 特征线法。

特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。

例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。

3. 分析法。

分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。

常系数齐次微分方程的通解一、概述微分方程是描述变量之间函数关系的重要数学工具。

齐次微分方程是一种特殊的微分方程，其特性质在于所有项关于未知函数及其导数的次数均为常数。

而常系数齐次微分方程是其中系数均为常数的齐次微分方程。

二、方程形式与解法1.方程形式：常系数齐次微分方程的一般形式为dy/dx+a(x)y=0，其中a(x)为关于x的已知函数，且a(x)的最高次数为1。

2.解法：解法主要包括分离变量法和积分法。

对于常系数齐次微分方程，我们通常采用分离变量法求解。

该方法通过将方程中的y视为已知数，将方程转化为关于x的线性微分方程，从而求得通解。

三、通解公式对于一阶常系数齐次微分方程，其通解公式为：y=C(x)e^(-∫a(x)dx)，其中C(x)为任意常数，且C(x)可以通过积分求得。

四、应用举例假设我们有一个一维热传导方程：d2y/dx2=-ay，这是一个二阶齐次微分方程。

我们可以通过上述通解公式求解该方程。

解：将原方程分离变量得d2y/dx2=(-a)y，对其两边取自然对数得lny=-∫adx，即lnC(x)=-∫a(x)dx+C(x)，其中C(x)为任意常数。

两边求积分可得C(x)=e^(-∫a(x)dx)，因此原方程的通解为y=e^(-∫a(x)dx)e^(∫a(x)dx)。

五、扩展讨论常系数齐次微分方程在物理、工程、经济等众多领域都有广泛的应用。

通过求解常系数齐次微分方程，我们可以得到系统随时间变化的动态行为，从而更好地理解和预测系统的行为。

此外，我们还可以利用这些信息来设计控制系统、优化资源分配、分析经济增长等实际问题。

六、结论本文介绍了常系数齐次微分方程的概念、方程形式、解法以及通解公式。

通过使用分离变量法和通解公式，我们可以有效地解决这类微分方程，并得到通解。

在实际应用中，这些通解可以帮助我们更好地理解和预测系统的动态变化规律，从而为解决实际问题提供有力的数学工具。

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、 目的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法 •二、 重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式 ，特征根，特征向量的概念•四、 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法 •五、 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合 •六、 教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组 （3.8）的通解问题，归结到求其基本解组 •但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法•然而对于常系数线性齐次方程组AY （3.20）dx其中A 是n n 实常数矩阵，借助于线性代数中的约当Jordan ）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n 矩阵A ，恒存在非奇异的n n 矩阵T ，使矩阵T 」AT 成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换Y =TZ(3.21)其中 T =(t j )(i,j =1,2, ||),n), detT =0,将方程组(3.20)化为dZ-T 4ATZdx我们知道，约当标准型 T 4AT 的形式与矩阵A 的特征方程a11 一 人a12川 amdet(A - 2-E)=a21+ +a 22 — hVF川 a2n4 4=0(3.22)a n1an2HI a nn -丸的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组 (3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论•(一)矩阵A 的特征根均是单根的情形设特征根为'i,'2,lH,'n,这时方程组(3.20)变为电］dx | dz 2dx+ +dZ n -dx _(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解r. t .r.Y(x)二 e" ?玄气I+」ni -T 」AT -'20严［乙(x) = 0 e 农Z 2(x)二 0 e 护川，Z n (x) =e'n x(i =12川,n)Z 2这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组(A- i E)T i =0所确定.容易看出，Y1(x),Y2(x),川,Y n(x)构成(3.20)的一个基本解组,它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = detT = 0 .于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则¥(x)二e ix T i,Y2(x) =e2工川|,Y n(x) =e%是方程组(3.20)的一个基本解组例1试求方程组化—x+5y-zdtdzx -dt的通解.解它的系数矩阵是3 -1 1A= -1 5 -13 -1 3_特征方程是3 _ 九_1det(A_ 丸E)= -1 5—九3 -1因为dxdty 3z1-1=03—扎a,b, c满足方程門-1 (A-人E) b = -1'cj J -13-1：］［：］=01丄cja「b c = 0* —a + 3b _ c =a-b +c = 0可得a - -c,b = 0.取一组非零解，例如令 c = -1，就有a = 1,b = 0,c = -1 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是■1 1-1］'1 10,丁2 =1 , 丁3 =_2〕T 一- 1J故方程组的通解是「x(t)［2t y(t) =Ge 'z(t) j ■11 -'11 1 |+C3e6t_2_1 J(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYdx归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设人,2=。

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。

如无意外，本文将不包括解的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。

难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。

伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。

一阶微分方程解法微分方程（differential equation）是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。

它是描述物理、化学、生物、经济等问题的数学模型，对于研究和解决实际问题有着重要意义。

一阶微分方程（first-order differential equation）是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。

本文将介绍一些一阶微分方程的常见解法方法。

一、可分离变量法（Separable Variables Method）可分离变量法是一种常见的解一阶微分方程的方法。

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的分离变量方程，我们可以将其重新排列为g(y)dy =f(x)dx，并进行变量分离的积分求解。

具体步骤如下：1. 将方程重新排列为g(y)dy = f(x)dx；2. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3. 对左右两边的积分进行求解，得到方程的通解。

二、线性微分方程的求解方法线性微分方程（linear differential equation）是指未知函数和其导数出现在线性组合中的微分方程。

对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性微分方程，我们可以利用常数变易法（Method of Variation of Parameters）解得其通解。

具体步骤如下：1. 假设原方程的通解为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)为已知的齐次方程的解，u(x)为待定的函数；2. 根据常数变易法，将u(x)代入方程中，并得到u(x)满足的方程；3. 求解u(x)满足的方程，并代入通解表达式中，得到方程的通解。

三、恰当微分方程的求解方法恰当微分方程（exact differential equation）是指存在一个原函数F(x, y)，使得该方程可以写成dF(x, y) = 0的形式。

对于形如M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，我们可以利用其恰当条件进行求解。

通解怎么求
篇一
问题
什么是通解，怎么求？
列：求y"-2y'=0的通解。

答案
满足微分方程的函数y=f（x）称为微分方程的解；
通解表示微分方程所有的解，通常用一个带有任意常数的表达式表示。

y〃-2y′=0
特征方程为λ²-2λ=0
解方程，得λ1=0，λ2=2
则通解为y=C1+C2·e^（2x）
解题说明：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，只需求出特征方程的解，后代入通解公式。

篇二
一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P（x）y=Q（x）的形式，利用公式y=[∫Q （x）e^（∫P（x）dx）+C]e^（-∫P（x）dx）求解
若式子可变形为y'=f（y/x）的形式，设y/x=u利用公式du/（f （u）-u）=dx/x求解
若式子可整理为dy/f（y）=dx/g（x）的形式，用分离系数法，两边积分求解
二阶微分方程
y''+py'+q=0可以将其化为r^2+pr+q=0算出两根为r1，r2.
1若实根r1不等于r2y=c1*e^（r1x）+c2*e^（r2x）。

2若实根r1=r2y=（c1+c2x）*e^（r1x）
3若有一对共轭复根r1=α+βir2=α-βiy=e^（αx）[C1cosβ
+C2sinβ]。

微分方程中的线性方程与常系数方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程可以分为线性方程和非线性方程。

本文将重点讨论微分方程中的线性方程与常系数方程。

一、线性方程线性微分方程是指满足线性叠加原理的微分方程。

线性叠加原理即线性微分方程的解的线性组合也是其解。

一般形式的一阶线性微分方程可以写作：y' + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数，y是未知函数。

该方程可以用线性代数的方法求解，不再赘述。

对于高阶线性微分方程，一般形式可以表示为：yⁿ + a₁(x)yⁿ⁻¹ + a₂(x)yⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁(x)y' + aₙ(x)y = Q(x)这里yⁿ表示y的n次导数，a₁(x)到aₙ(x)为已知函数，Q(x)为右端函数。

高阶线性微分方程的求解涉及到特征方程、齐次解和非齐次解等概念，需要借助一些数学方法。

二、常系数方程常系数方程是指方程中的系数是常数。

常系数线性微分方程是微分方程中最基础也是最常见的一类，常见的常系数方程有以下几种：1. 一阶常系数线性微分方程：y' + ay = b其中a和b均为常数。

该方程的解可以通过分离变量、求指数、利用一阶线性微分方程的通解公式等方法求解。

2. 二阶常系数齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = 0其中b和c是常数。

该方程的解可以通过特征方程的求解，求出对应的特征根后，利用特征根的性质和初值条件求解出具体的解。

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = f(x)其中f(x)为已知函数。

该方程的解可以分为齐次解和非齐次解两部分。

齐次解可以通过特征方程的求解得到，而非齐次解可以通过待定系数法、常数变易法等方法求解。

类似地，对于高阶常系数线性微分方程，解的求解方法也可以通过特征方程和初值条件来确定。

微分方程的通解包含方程的全部解微分方程是一个很重要的数学分支，广泛应用于物理学、化学、生物学、工程学等很多学科领域。

微分方程中包含的未知函数的导数及其的系数与自变量的函数关系，因此解微分方程就是求出这个未知函数在特定条件下的表达式。

解微分方程的方法有很多，包括变量分离法、齐次方程法、一阶线性方程法、常系数线性微分方程法等等。

而对于微分方程的通解，指的是将微分方程求解出来后，得到的是极限通解，即包含方程的全部解。

那么如何求解微分方程的通解呢？一、常系数线性微分方程法常系数线性微分方程是具有形式 y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + an-1y' + any = F(x) 的微分方程。

要求解这个微分方程的通解，可以先用代数方法求出微分方程的特征方程，利用特征方程的解得到微分方程的通解。

特征方程的解法与方程的阶数有关：1. 一阶方程 y' + ay = F(x) 的特征方程为 r + a = 0，通解为 y =e^(-ax)(C + ∫e^(ax)F(x)dx)。

2. 二阶方程 y'' + ay' + by = F(x) 的特征方程为 r^2 + ar + b = 0，其根为 r1, r2，通解为 y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) + yh，其中 yh 是 F(x) 对应的齐次方程的通解。

3. n 阶常系数线性微分方程的特征方程为 anr^n + an-1r^(n-1) + ... + a2r^2 + a1r + a0 = 0，其根为 r1, r2, ..., rn，通解为 y =C1e^(r1x) + C2e^(r2x) + ... + Cne^(rnx) + yh。

二、变量分离法对于形如 y' = g(x)h(y) 的一阶方程，可以用变量分离的方法求出解的形式。

将方程变形为 h(y)dy = g(x)dx，然后对两边积分即可求解。

一阶微分方程的通解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。

§变量分离方程与变量替换人口模型dt 求解即当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y故一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当再两边积分( x )dxdyG( y)F(P31例1) 例1 求解方程2 yy 解: 先分离变量dy再两边积分,2说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或例2 求解方程解: 先分离变量再两边积分,2dydx2解得故通解为其中c为任意正常数.例3 求解方程例2)解得3即即333解: (1)当是一个解. (a当先分离变量, y xdx 再两边积分解得即( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e为任意常数)故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当先分离变量再两边积分,解得ln ydy(P42习题1(2)) 练习解方程y2dx并求满足初值条件的特解. 解当0 : 是一个解.再两边积分解得即为任意常数) 1 综上, 通解为为任意常数), 另有解当先分离变量,P ( x )dx 即为任意非零常数综上, 通解为ce ( c为任意常数): 是P44页节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将代入上述通解, 可确定1 故特解为1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程y例5求解方程y dy u 解: 令则故uu du 是变量分离方程. 原方程化为即udyyy解法: 通过变量替换(令化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.当即是一个解.当先分离变量,u自由项＝0时：齐次自由项≠0时：非齐次再两边积分,解得即为非零任意常数)y 综上, 通解为为任意常数)(P35例6) 例6 求解方程解: 令则故u 原方程化为是变量分离方程.dy2. 形如的方程a b2dyc22常数) 原方程即当即是一个解.当先分离变量, 1 du令此时原方程化为是变量分离方程.只需令不全为与代表两条相交直线, 交点为通过坐标平移可将交点移到原点方程化为y2ab再两边积分,2解得即当(P38例例7 求解方程解: 解方程组x可得dY , 则令化为则式u 当因X , 则2是变量分离方程.原方程化为 d X X两边取微分, 得即故0为(*)式的解. 2 故0为原方程的解当先分离变量即再两边积分,2X再令则是变量分离方程.解得ln c 即X 2 (为非零任意常数) 代回可得为非零任意常数)即则式化为2思考与练习作业习题P42 1.(2)(4)(7)变量分离方程1.(5)2.(1)(3) 可化为变量分离方程§线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式y与y 之间是线性关系.自由项(与y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程(1)形式解法第一步: 先求对应齐次微分方程的通解为任意常数) 第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令P ( x ) dxdy2. 一阶齐次线性微分方程(1)形式为原方程的解,(2)解法分离变量法.见P33例4.通解为P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则dx代入原方程可得积分得(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程的通解. 解: 第一步: 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程当且0, 先分离变量再两边积分得对应齐次方程的通解为n得对应齐次方程的通解为dy第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令为原方程( x的解, dy dc( x ) 则dc( x ) 于是有dy积分得故所求通解为为任意常数: 也可直接套公式,P ( x )dxn也可直接套公式3练习解方程习题1(1))当先分离变量再两边积分dydy练习2t x 解方程习题1(2))解: 第一步: 求解方程dx解: 第一步: 求解方程x : dtx 当先分离变量x 再两边积分得对应齐次方程的通解为得对应齐次方程的通解为第二步: 令为原方程的解,dy dc( x ) dc(x ) 则于是有积分得c( x )dy第二步: 令为原方程的解,dt则3c( t )edc( t )于是有dc( t )5t 积分得故所求通解为为任意常数 2故所求通解为ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程y 的通解注：方程变形为二、伯努利微分方程 1.形式常数当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为. yx 2x 解: 第一步: 求解方程 d dyx 2 当先分离变量dyx 2 再两边积分2.解法dy (1)方程两边除以y n , 化为方程Q( x )考虑是如何得到的: 令则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为x 2x 第二步: 令为原方程的解,2 dc( y ) x 1 则y 于是有积分得) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为c为任意常数例如求的通解dx 2 x 2 y此为伯努利方程第一步(P48例3) dy y 例3 求方程的通解. 解: 当是一个解.dy做变量替换则d x dxdyy2当第一步: 做变量替换z则得dx即于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得第三步第二步: 解一阶线性微分方程 d x x常数变易法, 可得8代回原变量, 得通解x3 2c x 第三步: 变量代回, 得通解 1即通解为824思考与练习作业习题P48 1.(2)(3)(4)常数变易法1.(11)(15) 伯努利方程§恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则u( x , y )的全微分为2.恰当微分方程(1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y )则称M为恰当微分方程. 通解为(2)若则c .通解为(2)需要考虑的问题如何判别M ( x ,是恰当微分方程? 若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若不是恰当微分方程, 能否转化?3.方程为恰当微分方程的充要条件设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x为恰当微分方程的充要条件为已知0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y ), 使于是有y已知于是有需要构造二元函数u( x , y ), 使u于是有u这里是y的任意可微函数下面选择使解于是有于是有与x无关故于是有4. 恰当微分方程的解法(1)不定积分法第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)故为恰当微分方程.第二步: 求求第三步:由(2)方法 1 : 不定积分法u( x, y )因即故第四步: 通解为于是有故通解为y练习验证方程为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)x2故因即于是有2cos y 故通解为c .(P54例2) 例2 求方程的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程的通解.1 x 解故为恰当微分方程.(2)方法1:不定积分法方程即于是有故通解为3 2 2 4故y ) 因即y x 于是有故通解为6(P55例3) 1 x 例3 求方程的通解.1 x 解(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即xdy 即d x y y2 方程即于是有故通解为(2)方法1:不定积分法因即3 2 于是有故通解为故(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解(3)线积分法《数学分析》中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及则下列命题等价对G内任意一点( x ,y ), 有曲线积分与路线无关,C ( A, B )故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法方程即方程即于是有故通解为只与位于G中的始点A与终点B有关在G内存在一个函数u( x , y ), 使: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明:已知(P53例1) 例4 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使故N ( x , y)dy 为恰当方程. y 这时, 取则( x , y) ( x, y) u( x , y)y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) xy故取则Oy y0x( x, y)故恰当微分方程的通解为线积分法步骤: 第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步: 取如原点(0, 0), ( x, y) 求第三步: 通解为N ( x, y)dy, 0(0,0) xy 0y( x, y)3 2 2 43 x2Ox故通解为7(P55例3) 1 x 例5 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在除去的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题如何判别M是恰当微分方程?已经解决, 利用充要条件故取则( x, y)若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若不是恰当微分方程, 能否转化?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.(0,1) xM ( x, y )dxy 1y 1O( x, y )故通解为x2.积分因子的定义如果存在连续可微函数使得( x , y ) 为恰当方程, 则称为方程的一个积分因子.1 , 1 均为方程的积分因子. 例6 验证12 , 12 , xy x y x2书例) y 证明(1)方程两边乘以验证12 , 得已化为恰当方程证明(2)方程两边乘以验证12 , 得 1已化为恰当方程.得证明(3)方程两边乘以验证0,已化为恰当方程方程两边同乘 1 , 得已化为恰当方程.P ( x ) dx 方程两边同乘e 得( x ) dx ,已化为恰当方程3.积分因子的确定是方程的积分因子的充要条件是:由求导的乘法法则, 得是方程的积分因子的充要条件是:若存在仅与x有关的积分因子上式即可变形为仅与x有关仅与x有关是方程的积分因子的充要条件是:(3)方程0有仅与x 有关的积分因子的充要条件是:仅与x有关, 即其积分因子为.8(4)方程0有仅与y 有关的积分因子的充要条件是:仅与y有关, 即例6 求方程的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.y2其积分因子为.然后寻找积分因子.因为Nx故积分因子为y2 原方程两边乘e , 可得( 2 e xy2 利用恰当方程求解方法可得为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程dxdy 2 2 x 1 解: 因为故方程即(P55例6) 例8 求解方程解法1: 首先该方程不是恰当微分方程.但是注意到即其实是恰当方程的分组凑微法所以说即上式 d( x1 为积分因子12 y 1 , 可得原方程两边乘y 2 y y2 y2故积分因子为即故通解为为任意常数利用分组凑微法可得x d( y ) d(ln | y |)故通解为为任意常数. 另有解(P55例6) 例8 求解方程解法2: 方程可以变形为xdy y(P55例6) 例8 求解方程dy y 关于x 为一阶继续变形为线性非齐次方程y x x 第一步: 求解方程 d dy 先分离变量当y再两边积分y dy 继续变形为当dy解法3: 方程可以变形为y即dyy令则故原方程化为即1 dx 是变量分离方程.y当即是一个解.当两边积分uu2x得对应齐次方程的通解为即x x 第二步: 令为原方程的解, x 1 则d dy于是有积分得c(解得变量还原,即为任意常数)故所求通解为为任意常数另有解另有解9思考与练习作业习题P60 1.(1)用两种方法求解：不定积分法和分组凑微法2.(3)(4)(5)先判别是否恰当方程,然后选取相应做法思考与练习作业习题P69 1.(1)(3)10二阶及高阶微分方程的求解与应用二阶及高阶微分方程的求解与应用学姓班学号名级院2016xxxxxxxxxxxxx摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。