常微分通解公式

常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。

证明部分暂时不会作为重点。

这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。

笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。

〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。

如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。

如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。

在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。

这样就可以灵活地求解常微分方程。

2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。

若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。

如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。

若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。

3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。

这也是我们在本节中讨论的方法。

一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。

恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。

以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。

3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。

4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。

5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。

此时对两边同时积分，就可以得到通解。

6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。

可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。

7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。

可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。

8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。

此时可以通过积分得到通解。

以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。

当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。

微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。

解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。

一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。

其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。

最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。

二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。

三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。

解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。

通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。

四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。

解这类方程需要使用特征根的方法。

通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。

五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。

其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。

六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。

一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。

其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。

在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。

这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。

这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。

举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。

二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。

对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。

因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。

如无意外，本文将不包括解的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。

难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。

伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。

毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。

如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。

同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。

常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。

塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。

微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。

二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。

现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。

关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。

毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。

如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。

同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。

常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。

塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。

微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。

二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。

现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。

关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。

一元一次常微分方程一元一次常微分方程（一元线性微分方程）是微积分中的重要概念，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

在本文中，我们将介绍一元一次常微分方程的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一元一次常微分方程的一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中y 是未知函数，x是自变量，p(x)和q(x)是已知函数。

这个方程的特点是未知函数y的最高次数为1，其导数的系数为常数。

要解一元一次常微分方程，我们可以使用分离变量的方法。

首先，我们将方程重写为dy/dx = -p(x)y + q(x)。

然后，将方程两边乘以一个积分因子，使得方程左侧可以写成d(ye^(-∫p(x)dx))/dx。

接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到ye^(-∫p(x)dx) = ∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx + C，其中C是常数。

最后，将方程两边同时除以e^(-∫p(x)dx)，得到y = e^(∫p(x)dx)(∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx + C)。

通过这种方法，我们可以求解一元一次常微分方程得到其通解。

通解表示方程的所有解的集合，其中包含一个任意常数C。

这个常数的值可以根据方程的初值条件确定，从而得到方程的特解。

一元一次常微分方程在物理学、经济学、生物学等领域中有广泛的应用。

例如，在物理学中，牛顿第二定律可以表示为m(dv/dt) +kv = F，其中m是物体的质量，v是物体的速度，t是时间，k是阻尼系数，F是外力。

这个方程可以转化为一元一次常微分方程形式，通过求解可以得到物体的速度随时间的变化规律。

在经济学中，一元一次常微分方程可以用于描述经济增长模型。

例如，索洛模型（Solow Model）就是一种常见的经济增长模型，其中包含一元一次常微分方程。

通过求解这个方程，可以得到经济增长率随时间的变化规律，从而对经济发展进行预测和分析。

一元一次常微分方程是微积分中的重要概念，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。

教学参考常微分方程的通解*钱明忠 陈友朋 (盐城师范学院数学科学学院 江苏盐城 224002)摘要 给出常微分方程通解的定义,研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,给出通解包含所有解的若干充分性条件.关键词 通解;常数独立;所有解 中图分类号 O175.1常微分方程的通解和所有解是两个不同的概念,但不少教材未将这两个概念说清楚,甚至于将两者混淆起来,例如文献[1][2]等,给学生理解和求解常微分方程带来了困难.事实上,有些方程的通解就不包含所有解.例如方程d yd x =1-y21-x2的通解为arcsin y=arcsin x+C,其中C为任意常数,而y=1也是该方程的解,它不包含在通解之中;又如y=0是方程d yd x =yx-(yx)2的一个解,它不包含在该方程的通解y=xln|x|+C(C为任意常数)之中.本文将给出常微分方程通解的定义,同时研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,然后给出通解包含所有解的若干充分性条件,证明过程突出通解定义中的 常数独立条件的验证这一关键,为进一步区分通解和所有解带来了方便.考虑如下一般的n阶常微分方程F(x,y,d yd x,!,d n yd x n)=0.(1)定义 若函数y= (x,c1,c2,!,c n)是方程(1)的解,且其中的任意常数c1,c2,!,c n独立,即, , ∀,!, (n-1)关于c1,c2,!,c n的雅可比(Jacobi)行列式D( , ∀,!, (n-1))D(c1,c2,!,c n))#0,其中 (k)(k=1,2,!,n-1)表示 对x的k阶导数.则称y= (x,c1,c2,!,c n)为常微分方程(1)的通解.如果关系式 (x,y,c1,c2,!,c n)=0所确定的隐函数y= (x,c1,c2,!,c n)为方程(1)的通解,则称关系式 (x,y,c1,c2,!,c n)=0为方程(1)的隐式通解,也简称为方程(1)的通解.对于一般的常微分方程,其通解不一定包含所有解而仅仅是所有解的一部分.但在一些特殊情形下,方程的通解包含它的所有解.例如,n阶线性微分方程d n y d x n +a1(x)d n-1yd x n-1+!+a n-1(x)d yd x+a n(x)y=f(x),(2)其中a i(x)(i=1,2,!,n)及f(x)为区间[a,b]上的已知连续函数,则有如下结论:定理1 设y1(x),y2(x),!,y n(x)为方程(2)所对应的齐次线性方程d n y d x n +a1(x)dn-1yd x n-1+!+a n-1(x)d yd x+a n(x)y=0106高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICSV ol 10,N o 4Jul.,2007*收稿日期:2006-02-08;修改稿:2007-05-25.的基本解组, y (x )为方程(2)的一个特解,则方程(2)的通解为y =c 1y 1(x )+c 2y 2(x )+!+c n y n (x )+ y (x ),(3)其中c 1,c 2,!,c n 为任意常数,且通解(3)包含了方程(2)的所有解.证明 由线性方程解的叠加原理知,(3)式是方程(2)的解,又雅可比行列式D(y ,y ∀,!,y (n -1))D(c 1,c 2,!,c n )=y 1(x )y 2(x )!y n (x )y 1∀(x )y 2∀(x )!y n ∀(x )y 1(n -1)(x )y 2(n -1)(x )!y n (n -1)(x )=W [y 1(x ),y 2(x ),!,y n (x )]#0, x ∃[a,b].所以(3)式中的任意常数c 1,c 2,!,c n 相互独立,从而(3)式为方程(2)的通解.关于(3)式包含方程(2)的所有解的结论,可以利用线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理进行证明,可参见文献[3],这里从略.如果微分方程为一阶方程,且可以写成如下对称形式M (x ,y)d x +N (x ,y )d y =0.(4)其中M (x ,y ),N (x ,y )在(4)无奇点的单连通区域D 内连续可微.所谓无奇点是指在D 中M 2(x ,y)d x +N 2(x ,y )d y #0.定理2 如果方程(4)为全微分方程,即存在二元连续可微函数u(x ,y )使M(x ,y )d x +N (x ,y )d y =d u(x ,y ),则此时方程(4)的通解为u(x ,y )=C,其中C 为任意常数,且通解包含了方程(4)的所有解.证明 不妨设N (x ,y )#0即 u y#0,根据隐函数存在定理,关系式u(x ,y)=C 可唯一确定一个隐函数y = (x ,C),则有u[x , (x ,C)]%0,两边关于x 求微分得d u[x , (x ,C)]%0.即M [x , (x ,c)]d x +N [x , (x ,c)]d (x ,c)%0.这表明y = (x ,C)为全微分方程(4)的解,又由隐函数的可微性定理.C =1 u y=1N (x ,y )#0,所以y = (x ,C)中的任意常数C 是独立的,从而y = (x ,C)为方程(4)的通解,即u(x ,y )=C 为方程(4)的通解.设y =!(x )为方程(4)的任一解,则有M[x ,!(x )]d x +N [x ,!(x )]d !(x )%0.上式两边关于x 积分得u[x ,!(x )]%u[x 0,!(x 0)]=C 0,即y =!(x )包含在通解u(x ,y )=C 中,再由y =!(x )的任意性知,通解u(x ,y )=C 包含了方程(4)的所有解.文[4]在M(x ,y),N(x ,y )连续可微的条件下,证明了方程(4)在其无奇点的单连通闭区域D 的内部存在连续可微的积分因子,因而对称形式的一阶微分方程(4)可以通过乘上积分因子∀(x ,y )而化成全微分方程,即存在u(x ,y)使∀(x ,y )[M(x ,y)d x +N(x ,y )d y]%d u(x,y).但必须指出,在方程(4)的两端乘上积分因子∀(x,y)之后,可能在新的系数∀(x ,y)M(x ,y )和∀(x ,y )N(x ,y )中引进了新的不连续性,减少了原方程的解,也可能引进多余的解,这种解并不是原方程(4)的解,而只是代表∀(x,y)=0的曲线.因此必须检查积分因子对于微分方程解的影响,研究是否丢失或增加解.推论 若一阶常微分方程(4)的积分因子∀(x ,y )、1∀(x ,y )在D 中处处不等于零,设∀(x ,y )[M (x ,y )d x +N (x ,y )d y]=d u(x ,y ),107第10卷第4期 钱明忠,陈友朋:常微分方程的通解则方程(4)的通解为u(x ,y )= C.这里C 为任意常数,且通解包含了方程(4)的所有解.如果方程不显含未知函数及其直到k -1阶导数y ,d y d x ,!,d k-1y d xk-1,即方程呈形状F(x ,d k y d x k ,!,d n y d x n )=0, (1&k &n.)(5)则通过作变量变换z =d k y d x k ,(6)可将方程(5)降低k 阶而成为关于x ,z 的n -k 阶方程F(x ,d z d x ,!,d n -k y d xn -k )=0, (1&k &n.)(7)定理3 设方程为y (n)=f (x ),积分n 次得y =∋!∋n 重f (x )d x !d x n 重+C 1x n -1+C 2x n -2+!+C n -1x +C n # (x ,C 1,C 2,!,C n ),则y = (x ,C 1,C 2,!,C n )为方程y(n)=f (x )的通解,其中C 1,C 2,!,C n 为任意常数,且通解包含了方程y (n )=f (x )的所有解.证明 由通解的定义容易验证y = (x ,C 1,C 2,!,C n )为方程y (n)=f (x )的通解,且通解包含了方程y (n)=f (x )的所有解.证明从略.定理4 假设z = (x ,C 1,C 2,!,C n -k )是方程(7)的通解,而y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )是方程y (k)= (x ,C 1,C 2,!,C n -k )经k 次积分而得到的函数,C n -k +1,!,C n 为积分常数,则y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )是方程(5)的通解,且若z = (x ,C 1,C 2,!,C n -k )包含了方程(7)的所有解,则y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )也包含了方程(5)的所有解.证明 由定理3知,y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )是方程y (k)= (x ,C 1,C 2,!,C n -k )的解,又z = (x ,C 1,C 2,!,C n -k )为方程(7)的解,则y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )是方程(5)的解,而由定理3还知,y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )为方程y (k)= (x ,C 1,C 2,!,C n -k )的通解,则!(k)(x ,C 1,C 2,!,C n )= (x ,C 1,C 2,!,C n -k ),且D(!,!∀,!,!(k-1))D(C n -k+1,C n -k+2,!,C n )#0,又z = (x,C 1,C 2,!,C n -k )为方程(7)的通解,则雅可比行列式D(!,!∀,!,!(k-1))D(C 1,C 2,!,C n -k )#0,于是D(!,!∀,!,!(k-1))D(C 1,C 2,!,C n )=(-1)(n -k)k D ( , ∀,!, (n -k-1))D(C 1,C 2,!,C (n -k))(D(!,!∀,!,!(k-1))D(C (n -k +1),C (n -k+2),!,C n )#0.则y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )中的任意常数x ,C 1,C 2,!,C n 独立,从而y =!(x ,C 1,C 2,!,C n )为方程(5)的通解,又由定理3及方程(5)与方程(7)在变量变换(6)之下的等价性容易证明定理的后一个结论.证毕.参考文献[1]刘志汉.常微分方程(第2版).西安:陕西师大出版社,1987.[2]东北师大数学系.常微分方程.北京:高等教育出版社,1982.[3]王高雄等.常微分方程(第3版).北京:高等教育出版社,2006.[4]黄吉祥.方程f (x ,y)d x +g(x ,y )d y =0的首次积分的存在性.华东师范大学学报(自),1996(4).108高等数学研究 2007年7月。

,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy yydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X YX dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dxdt t t tdx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令 2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2所以：x=e ⎰-dt3 (⎰e t 2 e -⎰-dt3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。

6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y令x y u = 则 ux y = dx dy =u dxdux + 因此：dx du x u +=2u x21udx du =dx du u =2c x u +=331c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dxP x dxxP x dxdy yxdx xdy yxdx xP x Q x xxe e xe Q x dx cx+--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx232解：方程的通解为：y=e=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyyxcdy ydx x ydxx ydy y yQ y yye yQ y dy c-+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dy P(y)dy1)dx+c)=(x+1)即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。