极点与极线背景下的高考试题

天下苦极点极线久矣！天下苦极点极线久矣! 极点与极线作为射影几何的核心内容之一，是研究二次曲线的工具之一，因此颇受高考，模考命题人的青睐. 以极点与极线为背景的高考试题层出不穷，2022年乙卷，2021年乙卷，2020年全国1卷...，就更不用说各地的模考试题了. 可以说，极点与极线是圆锥曲线命题的一个巨大宝库，因此，秉承高考试题研究为宗旨的中学教师就不能不对极点与极线有一个深入的了解，故而本文所做的工作就是做一个文献综述，将我读过的一些重要的文献做一次汇总，希望对有志于深入了解极点与极线的读者有所帮助.好了，不再多说，开始进入本文的正题，文献罗列.要注意的是，相关的文献如汗牛充栋，在此处我只是罗列了一些我认真读过的资料做一介绍，若有不足之处，请多多指正.1.王文彬.极点，极线与圆锥曲线试题的命制.[J].数学通讯，2015(04).王老师这篇文章是目前在这个领域里引用频率较高的文献了.这一篇文献非常适合该领域的入门文章，它从代数和几何两个角度介绍了极点与极线的定义，并罗列了圆锥曲线中极点与极点方程和基本性质，最后介绍了一些试题中的极点极线结构.是我认为入门的不二之选.2.于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题.[J].中学数学研究.2019(01).如果你已经顺利的读完文献1,那么再来读文献2的话，就会有一种拨云见日的感觉，文献1适合入门，但仅仅知道一些常识我认为是不够的.因为很多问题，比如2013年的江西卷，就是在极点极线（焦点和准线）背景下考察斜率定值，那么如何在现存的极点与极线结构下进一步考虑斜率关系，比值关系，面积关系等，这就是文献2所做的工作.所以，文献2就是将调和结构所推出的调和分割性质加以应用，得到了很多更加具体的性质，是我们深入了解极点与极线文献的不二之选.3.曾建国.调和点列：一道2017年北京高考题的背景分析及应用.[J].数学通讯.2017(12).曾老师绝对是这个领域的大家，有很多文献都是他写的.类似于文献2，在这篇文章里，作者用调和点列的基本性质推导出了一个重要的性质，它是极点极线背景下证明线段相等，或者线段被平分的重要理论，类似的问题在2020年北京卷高考题目中再次考查，此处不再详说，各位读者可尽情地在相关文献里一饱眼福，这道题目的景就是2022乙卷的背景.4.曾建国.圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广.[J].数学通讯.2018(07).曾老师的又一篇佳作，用文献3的结论，进一步解决了一个用代数计算可能很难证明的圆锥曲线的统一结论.彰显了几何方法在解决圆锥曲线问题中的巨大功效.5.虞关寿.活跃于数学高考中的帕斯卡六边形定理.[J].中学数学研究.2020(04).如果你想了解为何会有极点极线结构，了解帕斯卡定理就是一个不错的选择.该定理是射影几何中的核心定理之一，当把六边形退化到二次曲线的内接四边形时，就可以可到极点极线的几何定义，这也就是为何将这篇文章罗列的原因.6.李伟健.一个椭圆定点问题与完全四边形调和性.[J].数学通讯.2019.(02).不光是高考会考极点极线，竞赛题目更会考察，本文就从一道预赛题目入手，借助极点极线理论，得到了一个二级结论，又是一个用极点极线去研究试题的范例.说不定，哪次考试可能就考到这个二级结论啦.7.代成红.极点极线背景试题的计算策略.[J].中学数学研究.2022.02.知晓背景虽然有助于找到方向，但最终仍需落在计算上.极点极线背景的试题何时会出现非对称结构，设点或者设线哪个解法更优，如何找到最合适的运算策略，这篇文章从一个最实在的角度予以分析，值得一看.8.田朋朋.三直线斜率等差性质的本质与推广.[J].数学通讯.2019.11近年来在模考卷中出现了很多斜率背景的极点极线问题，本文对它的命制原理做了说明，得到了很多有趣的结论，是我们命制有关试题的一个重要参考.9.田朋朋.从射影几何角度分析北京高考解析几何试题.中学数学研究.2021.04北京卷的解析几何质量极佳，而且几乎年年都有极点极线背景，简直是研究极点极线试题命制的一座宝库，例如2020年的背景在2022年乙卷中再度出现.本文详细论述了其背景，值得我们深入研究.可以料到，在2023高考复习中，大量的极点极线试题也会出现.天下苦极点极线久矣，希望通过本文的介绍，和文末更多的参考资料，能够让各位有志于弄懂极点与极线相关理论的读者乘风破浪，直达沧海!。

极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。

2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。

本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。

【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。

在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。

点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。

即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。

2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。

根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。

在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。

这里，(x1, y1) 是圆的极点。

二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。

意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。

（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。

2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。

易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。

（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。

三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。

极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。

调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆x225+y29=1的切线PM和PN, 切点分别为M,N, 连结MN.(1)当点P在直线l上运动时, 证明：直线MN恒过定点Q;(2)当MN⎳l时, 定点Q平分线段MN.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A (-2,0),B (2,0), 点C 是动点, 且直线AC 和直线BC 的斜率之积为-34.(1)求动点C 的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ 为定值.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x0,y0为桞圆x24+y2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B、D, 且AB⎳CD.(1)证明:直线AB的斜率为定值;(2)过点P作AB的平行线, 与椭圆交于E、F两点, 证明：点P平分线段EF.【例9】如图, 椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0 的离心率为22, 直线l:y=12x与椭圆E相交于A、B两点, AB=25,C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点, 且直线AC、BD相交于点M, 直线AD、BC相交于点N, 连结MN.(1)求椭圆E的方程;(2)求证：直线MN的斜率为定值.【例10】四边形ABCD是椭圆x23+y22=1的内接四边形, AB经过左焦点F1,AC,BD交于右焦点F2, 直线AB与直线CD的斜率分别为k1,k2.(1)证明:k1k2为定值;(2)证明：直线CD过定点, 并求出该定点的坐标.类型7:等角问题【例11】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时, 求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点, 证明:∠OMA=∠O MB.【例12】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点-1,32在椭圆C上, 过原点O的直线与椭圆C相交于M、N两点, 且|MF|+|NF|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设P(1,0),Q(4,0), 过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A、B两点, 证明:∠APO=∠BPQ类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ上, PQ与O点关于曲线C的极线交于点R. 曲线C上有两动点A,B, 且直线AO、BO分别交曲线Γ于点C, D, 直线AB，CD分别交PQ于点M,N. 则M,O,N,R成调和点列.【证明】延长XO交BC于点E, 由定理5可知：B,E,C,Y成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M,O,N,R也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C:x2a2+y2b2=1,P的坐标是x0,0,Q点在P关于椭圆的极线x=a2x0上. 过P作直线交椭圆于点A,B. 求证：直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q点在x轴上时, 就是等角线, 此时PQ斜率为0 , PQ平分∠AQB.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1,B1,Q为直线x=m上一点, QA1,QB1分别于椭圆交于点A,B, 过点P作直线交桞圆于A,B两点, 直线AB与x轴交于点P, 与直线x=m交于点M, 记直线QA1,QB1,QP的斜率分别为k1,k2,k0, 则:(1)k1,k0,k2成等差数列;(2)x P x Q=a2.【例16】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32, 离心率e=12.(1)求椭圆的方程;(2)设P是直线x=4上任意一点, AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点M). 记直线PA,PF,PB的斜率依次为k1,k2,k3. 问：是否存在常数λ, 使得k1+k3=λk2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:。

完整)极点与极线背景下的高考试题通过对极点与极线的研究，我们可以更好地理解圆锥曲线的特征，从而更好地应对高考试题。

5.从代数角度看极点与极线：设圆锥曲线$\Gamma$的方程为$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，则称点$P(x,y)$和直线$l:Ax+Cy+D(x_0)+E(y_0)+F=0$是$\Gamma$的一对极点和极线。

实际上，在圆锥曲线方程中，以$x^*$替换$x$，以$x=x_0+x^*$替换$x$，以$y^*$替换$y$，以$y=y_0+y^*$替换$y$即可得到点$P(x,y)$的极线方程。

特别地，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}+\frac{y^*}{b^2}=1$；对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}-\frac{y^*}{b^2}=1$；对于抛物线$y=2px$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$yy^*=p(x_0+x^*)$；如果圆锥曲线是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线$y=2px$，则其焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，其准线为$x=-\frac{p}{2}$。

y = (3/2)x - 1，代入椭圆方程得到4x^2 + 9y^2 - 48x + 32y + 64 = 0化简得x^2/16 + (y+2)^2/9 = 1所以点Q的轨迹方程为x^2/16) + ((y+2)^2/9) = 1这是一个标准的椭圆方程，所以点Q的轨迹是一个椭圆。

极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。

2023年高考数学试题分项版——极坐标参数方程（解析版）一、解答题1．(2023·全国甲卷理，22)已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．2．(2023·全国甲卷文，22)已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．3．(2023·全国乙卷理，22)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞ .4．(2023·全国乙卷文，22)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),02,-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.。