当前位置：文档之家 › 复变1-习题课

复变1-习题课

  • 格式：ppt
  • 大小：1.71 MB
  • 文档页数：48

下载文档原格式

  / 48

合集下载

复变函数与积分变换第一章习题课.

复变函数与积分变换第一章习题课.

解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．

复变函数论第三版课后习题答案解析

复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

复变函数_习题集(含答案)

复变函数_习题集(含答案)
21.用留数定理计算积分 ．
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.
39.证明：取 ,解析且连续到边界.
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
证明区域d上的调和函数我们有ixy上任何点处可微且满足cr条件
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．

复变函数--习题课

复变函数--习题课

(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
18
4）对数函数 满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
27
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
8
2. 解析函数
1)定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系 函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.

复变函数课后习题讲解

复变函数课后习题讲解

e 2 k (cos ln 3 i sin ln 3), (1 i )i eiLn (1i ) e e
1 ( 2 k ) 4
k 0, 1, 2, e
i ln 2 ( 2 k ) 2 4
i[ln 1 i ] i (arg(1 i ) 2 k )
2
2
15．求Ln(i)，Ln(3 4i)和它们的主值。
解 Ln(i ) Ln i i (arg(i ) 2k ) i (

2
2k )
1 i (2k ), k 0, 1, 2, 2 i ln(i ) ln i i arg(i ) 2 Ln(3 4i ) ln 3 4i i[arg(3 4i ) 2k ] 4 ln 5 i[( arctan ) 2k ] 3 4 ln 5 i[(arctan (2k 1) )], k 0, 1, 2, 3 4 ln(3 4i) ln 3 4i i arg(3 4i ) ln 5 i ( arctan ) 3

3 i
0
z 2 dz z 2 dz z 2 dz z 2 dz z 2 dz.
0 i c3 c4
i
3 i
C3 : z it 0 t 1 ; C4 : z 3t i 故
0 t 1 ,
26 i 3

3 i
0
z dz t idz 3t i 3dt 6
1 i t 1 i 2t dt= 1 i t 2 i 2t 3 dt
0 0
1 5 1 i = 1+i i. 6 6 3 3

复变函数课后部分答案


1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3

3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,

3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！

《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。

所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。

1.2 求下列各式的值：（1）5(3)i -； （2）6(1)i +； （3）61- ； （4）13(1)i -。

解：（1）因为632ii eπ--=，所以5555566631(3)223232()16(3)22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫-====--=-+ ⎪⎝⎭（2）因为412ii e π+=，所以63663442(1)2288i i i e e e i πππ⨯⎛⎫+====- ⎪⎝⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()166221cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++=-=+=+，其中0,1k =；即031cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=， 25531cossin 6622w i i ππ=+=-+，37731cos sin 6622w i i ππ=+=--，433cossin 22w i i ππ=+=-，5111131cos sin 6622w i i ππ=+=-。

（4）因为12cos()sin()44i i ππ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

复变函数第三版习题

复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。

3. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。

4. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。

5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。

?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。

证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。

10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。

复变函数课后部分习题解答精编版

（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(其中 − y π π < arctan < ) 2 x 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0, x < 0, y ≠ 0, x < 0, y = 0.
10
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. y
z = x + iy
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x , y ) 表示.
y
⋅ ( x, y)
o
x
x
7
（2）向量表示法
23
简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成 任意一条简单闭曲线 将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集. 三个互不相交的点集 (9) 光滑曲线
如果在 a ≤ t ≤ b 上, x′( t ) 和 y′( t ) 都是连续的, ′( t )]2 + [ y′( t )]2 ≠ 0, 那末 且对于 t 的每一个值 , 有 [ x 称这曲线为光滑的 .
z2 = r2 (cosθ 2 + i sinθ 2） ,
则有
z1 ⋅ z2 = r ⋅ r2[cos(θ1 +θ2 ) + i sin(θ1 +θ2 )] 1 Arg(z1z2 ) = Argz1 + Argz2.
12
几何意义
r r 从几何上看, 从几何上看 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , r z 先把 z1 按逆时针方向 y 旋转一个角 θ 2 ,
因而有
z = z ,
n n
Arg z n = n Arg z .
15
(b)棣莫佛公式 (b)棣莫佛公式
(cosθ + i sinθ ) = cos nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + i sin nθ .
n
(c) 计 方 wn = z 的 w, 其 z 为 知 数 算 程 根 中 已 复 .
θ + 2kπ θ + 2kπ w = z = r cos + i sin n n ( k = 0,1,2,L, n − 1)
4
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ,
1) 两复数的和 z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 ). 2) 两复数的积 z1 ⋅ z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 ). 3)两复数的商 两复数的商 z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 . = +i 2 2 2 2 z2 x 2 + y2 x 2 + y2
再把它的模扩大到 r2 倍, r 所得向量 z 就表示积 z1 ⋅ z2 .
r
r1 r2
o
z1
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
13
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差
5
4)共轭复数 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为 z , 若 z = x + iy , 则 z = x − iy . 共轭复数的性质
(1) z1 ± z2 = z1 ± z2 ; z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ;
20
(3) 开集 内每一点都是它的内点,那末G 如果 G 内每一点都是它的内点,那末 称为 开集. 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 如果平面点集 满足以下两个条件, 满足以下两个条件 它为一个区域. 它为一个区域. (a) D是一个开集； 是一个开集 是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 是连通的, 中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来 的一条折线连结起来. 属于 的一条折线连结起来
21
边界点、 (5) 边界点、边界 是复平面内的一个区域, 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 是复平面内的一个区域 的任意小的邻域内总有D中的点 中的点,这 于D, 但在P 的任意小的邻域内总有 中的点 这 点我们称为D的边界点. 样的P点我们称为 的边界点 D的所有边界点组成 的边界. 的所有边界点组成D的边界. 的所有边界点组成 (6) 闭区域 区域 与它的边界一起构成闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域 与它的边界一起构成闭区域. (7)有界区域和无界区域 (7)有界区域和无界区域 如果一个区域 D 可以被包含在一个以原 点
z1 z1 = ; z2 z2
( 2) z = z; ( 3) z ⋅ z = [Re( z )]2 + [Im( z )]2 ; (4) z + z = 2 Re( z ), z − z = 2i Im( z ).
6
3.复数的其它表示法 3.复数的其它表示法
（1）几何表示法 复数 z = x + iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一
(b ) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞ , (α ≠ ∞ ) (c ) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅ α = ∞ , (α ≠ 0) α α ∞ (d ) 除法 : = 0, = ∞ , (α ≠ ∞ ), = ∞ , (α ≠ 0) α 0 ∞
19
6.曲线与区域 曲线与区域
（1）邻域 平面上以 z0 为中心, δ (任意的正数 )为半径
我们称 N 为北极 , S 为南极 .
x
S O
P
y
17
复球面的定义 球面上的点, 球面上的点 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用 球面上的点来表示复数. 球面上的点来表示复数 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 我们规定 复数中有一个唯一的“无穷大” 复平面上的无穷远点相对应, 记作. 复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 就是复数无穷大的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面 复球面. 对应 这样的球面称为复球面
为中心的圆里面 , 即存在 M > 0, 使区域的每一个 点都满足 z < M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无 界的.
22
(8) 简单曲线 设C : z = z ( t ) ( a ≤ t ≤ b ) 为一条连续曲线 ,
z (a ) 与 z (b ) 分别称为 C 的起点和终点 . 对于满足 a < t1 < b, a ≤ t 2 ≤ b 的 t1 与 t 2 , 当 t1 ≠ t 2 而有 z ( t1 ) = z ( t 2 ) 时, 点 z ( t1 ) 称为曲线 C 的重点. 称为简单曲线( 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线). 当曲线). 如果简单曲线 C 的起点和终点重合 , 即 z (a ) = z (b ) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
iθ 2
14
2) 幂与根 (a) n次幂 次幂: 次幂 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂 ,
记作 z ,
n
z n = 1z24z . z ⋅ ⋅ L3 4 ⋅
n个
对于任何正整数 n, 有 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ).
n 为负整数时 , 有z
−n
1 = n. z
若
z1 = r1 (cosθ 1 + i sinθ 1） , z2 = r2 (cosθ 2 + i sinθ 2） ,
z2 z2 z2 = , Arg = Argz2 − Argz1 . z1 z1 z1
则有
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 = r1e ,
iθ 1
z2 r2 i (θ 2 −θ1 ) . z2 = r2e , 则 = e z1 r1
18
(2) 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 或简称复平面. 来说, 实部,虚部 虚部,辐角等概念均无意 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意 它的模规定为正无穷大. 义, 它的模规定为正无穷大 关于 ∞ 的四则运算规定如下 : (a ) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞ , (α ≠ ∞ )
对于任意两实数 x , y , 我们称 z = x + yi 或 z = x + iy 为复数 .
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部 , 记作 x = Re( z ), y = Im( z ).
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数; 当 y = 0 时, z = x + 0i , 我们把它看作实数 x . 当 x = 0, y = 0时, z = 0.
的圆 : z − z0 < δ 内部的点的集合称为 z0 的邻域 . 不等式 0 < z − z0 < δ 所确定的点的集合称为 z0 的去心邻域 . （2）内点 设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果