第二十一讲：周期问题

苏教版六年级下小升初典型奥数之周期问题在小学数学的学习中，周期问题是一个常见且重要的知识点，对于即将小升初的六年级同学来说，掌握周期问题不仅能提升数学思维能力，还能在考试中应对自如。

首先，我们来了解一下什么是周期问题。

简单来说，周期问题就是指事物在运动变化的过程中，某些特征有规律地循环出现。

比如一周有七天，这就是一个简单的周期；再比如春夏秋冬四季的更替，也是一种周期现象。

在解决周期问题时，关键是要找出周期的长度。

周期长度是指一个完整的周期所包含的数量。

比如在一串数字1、2、3、1、2、3、1、2、3……中，周期长度就是 3，因为 1、2、3 这三个数字不断重复出现。

让我们通过一些具体的例子来深入理解周期问题。

例 1：有一串彩色气球，按照“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序排列，第 27 个气球是什么颜色？这道题中，周期长度就是 5，因为气球的颜色是按照 5 种颜色为一个周期循环的。

我们用 27 除以 5 得到商 5 余 2，这意味着经过了 5 个完整的周期，还剩下 2 个气球。

从周期的开头开始数，第二个气球的颜色是黄色，所以第 27 个气球是黄色。

例 2：某年的 3 月 1 日是星期五，那么这一年的 4 月 1 日是星期几？3 月有 31 天，一周有 7 天，我们先算出 3 月 1 日到4 月 1 日经过的天数，即 31 天。

然后用 31 除以 7 得到商 4 余 3，这说明经过了 4 个完整的星期，还多 3 天。

因为 3 月 1 日是星期五，往后推 3 天就是星期一，所以 4 月 1 日是星期一。

在解决周期问题时，我们还常常会遇到求总数的情况。

例 3：在一条街道上，路灯按照“亮、灭、亮、灭、亮、灭……”的规律设置，从第 1 盏路灯到第 50 盏路灯中，有多少盏灯是亮着的？周期长度为 2，即“亮、灭”。

50 除以 2 等于 25，说明有 25 个完整的周期。

每个周期中有 1 盏灯亮着，所以亮着的灯一共有 25 盏。

课时：1课时年级：五年级教学目标：1. 让学生理解周期问题的概念，掌握周期问题的解题方法。

2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的意识。

教学重点：1. 周期问题的概念及解题方法。

2. 周期问题在实际生活中的应用。

教学难点：1. 周期问题的解题方法在实际问题中的应用。

2. 培养学生分析、解决问题的能力。

教学过程：一、导入1. 老师向学生介绍周期问题的概念，引导学生思考周期现象在生活中的例子。

2. 学生举例说明周期现象，如四季更替、钟表走动等。

二、新授1. 老师通过实例讲解周期问题的解题方法，如观察规律、找出周期等。

2. 学生跟随老师一起解题，巩固所学知识。

三、练习1. 老师给出几个周期问题，让学生独立完成。

2. 学生互相讨论、交流解题思路，共同解决问题。

四、巩固1. 老师选取一些与周期问题相关的实际问题，让学生运用所学知识解决。

2. 学生展示解题过程，老师点评并总结。

五、总结1. 老师引导学生回顾本节课所学内容，总结周期问题的概念、解题方法及在实际生活中的应用。

2. 学生分享学习心得，谈谈对周期问题的理解。

六、作业布置1. 学生完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查找生活中与周期问题相关的实例，下节课与同学们分享。

教学反思：1. 本节课通过实例讲解周期问题的概念和解题方法，让学生掌握了周期问题的解题技巧。

2. 在练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，体现了学生分析、解决问题的能力。

3. 在巩固环节，学生通过分享学习心得，加深了对周期问题的理解。

4. 在今后的教学中，应注重培养学生的合作学习、探究学习意识，提高学生的综合素质。

数学专项复习第21讲周期问题在数学的世界里，周期问题是一个既有趣又实用的知识点。

它就像是生活中的循环模式，不断重复着相同的规律。

当我们掌握了周期问题的解题技巧，就能轻松应对许多看似复杂的数学难题。

首先，咱们来理解一下什么是周期。

简单说，周期就是指某一现象或者事件按照一定的规律，不断重复出现的一段固定的时间或者空间间隔。

比如说，一周有七天，这七天就是一个周期；四季的更替，春夏秋冬，也是一个周期。

在数学题目中，周期问题常常以各种形式出现。

比如，一串数字按照一定的规律排列，要求找出第多少个数是多少；或者是一个图形按照某种规则重复出现，让我们计算第几个图形是什么样子的。

解决周期问题的关键在于找到周期的长度。

这个长度就是重复出现的那一段的个数。

比如，数字1、2、3、1、2、3、1、2、3……这里1、2、3 就是一个周期，周期长度为 3。

那怎么找到周期长度呢？这就需要我们仔细观察题目中给出的信息，找出重复出现的那一部分。

有时候可能很明显，一眼就能看出来；但有时候可能需要我们多算几个数或者多观察几个图形，才能找到规律。

找到周期长度后，接下来就是计算所求的数或者图形在哪个周期里。

这通常可以用所求的数除以周期长度，得到的商表示完整的周期个数，余数表示在当前周期中的位置。

举个例子，有一列数字 2、5、8、1、2、5、8、1……，周期长度为4。

如果要求第 15 个数是多少，我们就用 15÷4 ＝3……3，商是 3，说明有 3 个完整的周期，余数是 3，说明第 15 个数在第 4 个周期的第 3个位置，也就是 8。

再比如，有一排图形，按照三角形、正方形、圆形、长方形的顺序重复排列，如果要知道第 28 个图形是什么，同样用 28÷4 ＝ 7，没有余数，说明第 28 个图形是第 7 个周期的最后一个图形，也就是长方形。

除了数字和图形的周期问题，周期问题还会出现在时间计算中。

比如，某个活动每 5 天举行一次，今天是第 1 天，那么第 31 天会不会举行活动？我们用31÷5 ＝6……1，余数是1，说明第31 天会举行活动。

1. 掌握各种周期问题的求解方法．2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。

知识点说明： 周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题． 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829¸=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351¸=×××，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-¸=×××，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： ●●○●●○●●○… 你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330¸=，正好有30个周期，第90个是白球．100333¸=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．【答案】第90个是白球，第100个是黑球【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的： 例题精讲知识精讲教学目标 周期问题○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102425¸=…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126+=（个）【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有26个【巩固】 黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。

六年级数学讲义周期问题一、教学衔接上次作业检查及讲解二、教学内容（一）知识介绍周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

（二）例题精讲例题1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几、分析：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。

那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。

因此用除法算式解答。

解：（1）、从10月1日到10月25日有：25—1=24（天）（2）、24天里有多少个星期余多少天24÷7=3（个星期）……3（天）（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）答：10月25日是星期四。

巩固练习：1、2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几—2、2008年8月1日是星期三，问8月28日是星期几例题2：100个3相乘，积的个位数字是几分析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。

解：（1）、1×3=3……1个3相乘积的个位数字是：3~（2）、3×3=9……2个3相乘积的个位数字是：9（3）、3×3×3=27……3个3相乘积的个位数字是：7（4）、3×3×3×3=81……4个3相乘积的个位数字是：1（5）、3×3×3×3×3=243……5个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。

即每4个3的积的个位数为一个周期。

）所以100个有多少个周期100÷4=25（个）（整除说明是最后一个即个位为1）答：积的个位数字是1。

数学教案－周期问题周期问题一、活动年级小学五年级二、活动目标使学生了解许多事物的变化都有周期性，掌握事物变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题。

三、活动过程（一）由循环小数认识周期现象1．出示8。

357357……，提问：这是什么小数？它有什么特征？2．想一想：我们日常生活中还有哪些周而复始的循环现象呢？（学生举例）3．归纳：通过仔细观察，我们发现在日常生活中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象，（出示周期现象的概念）而重复出现的一节个数叫做周期。

（出示周期的概念）4．让学生指出8。

357357……的循环节是几位？周期是几？（二）运用周期变化，解决问题。

1．根据周期找位置，定颜色。

（1）课件出示●○○○○●○○○○●○○○○提问：第16个圆片是什么颜色？第100个圆片是什么颜色？（2）让学生说一说排列规律，说出它的变化周期。

（3）想一想：第16个圆片应在第几位？为什么？（引导学生列出算式：16÷5=3……1）第100个圆片应在第几周期第几位？说说你是怎么想的？怎么算的？（100÷5=20）（说明：没有余数，应该在第20周期最后一位。

应该是白色的圆片。

）（4）小结：要想准确判断某一圆片的位置和颜色，首先要弄清这一排列的周期是几，然后通过计算，知道它在第几周期第几位后，再确定它的颜色。

（5）练习：① 0。

428571428571……的第545位上的数字是几？先让学生独立思考，再指名说说是怎么判断的。

②已知循环小数3。

4650725072……，它的第100位小数是几？提示学生：这是一个混循环小数，循环节四位，不循环部分两位，在探求第100位小数是几时，首先要从100位中去掉不循环的2位，然后除以变化周期数。

2．根据周期找个数。

（1）课件出示○○○△△●○○○△△●○○○△△●······提问：12个图片中有几个白色圆片？（2）学生数出后，再引导学生想一想：这些图形是按什么次序排列的，它的变化周期是几？想一想：1个周期里有几个白色圆片，几个三角，几个红色圆片？再引导学生通过计算算出12个图片中有几个白色圆片？（板书：12÷6=2 3×2=6（个））（3）再想一想：100个图形中有（）○，（）个△，（）个●？（引导学生用100÷6=16……4）说明：100个图形中有16个周期和3个○○○、1个△。