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3.5 对数函数与指数函数的导数（1）教学目标：⒈掌握函数的导数公式；⒉能应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函 数的求导公式求简单的初等函数的导数．．教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 教学过程：一、复习引入1.几种常见函数的导数公式．⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； ⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=； ⑸x xx 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹221(cot )'csc sin x x x =-=-． 2.两个可导函数的和、差、积、商的导数计算法则.⑴'')'(v u v u ±=±； ⑵'')'(uv v u uv +=； ⑶)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． 3.对于复合函数的导数.复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．即：x u x u y y '''⋅=．二、新课讲授 ⒈对数函数的导数我们首先研究自然对数x y ln =的导数．根据重要极限e xx x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim ，我们可以得到下面的公式：1(ln )'.x x=证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1l n (xx∆+=，∴ )1l n (1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1x xx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx xx x ∆→∆∆+= xe x 1ln 1==． 即 xx 1)'(ln =． 根据上面证明的公式，我们还可以得到下面的公式：证明：根据对数的换底公式e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==．三、例题例1求)132ln(2++=x x y 的导数． 例2求21lg x y -=的导数．说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3 求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xxy 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 三、课堂练习 求下列函数的导数：1.y=xlnx;2.y=lg(sinx)(x2-2); 4.y=3.y=loga四、课时小结：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便．五、作业同步练习 X03051。
对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。
指数函数与对数函数的求导与积分指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在微积分中的求导与积分也是非常关键的知识点。
本文将详细探讨指数函数与对数函数的求导与积分方法，并且通过例题加深对这些方法的理解。
一、指数函数的求导与积分指数函数的一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
求导与积分时需根据指数函数的特性进行相应计算。
1. 指数函数的求导对于指数函数y=a^x，其导函数可以通过以下步骤求得：（1）将指数函数的自变量化为指数对数形式，即y=e^(ln(a^x))。
（2）利用链式法则求导，得到y'=e^(ln(a^x))*d/dx(ln(a^x))。
（3）利用导数的性质和对数函数的求导公式，简化导函数表达式。
最终求得导函数为y'=a^x*ln(a)。
2. 指数函数的积分指数函数的积分可以通过以下步骤求解：（1）首先，用幂函数的求导公式将指数函数转化为幂函数形式。
（2）利用幂函数的积分公式进行求解，即可得到指数函数的积分表达式。
二、对数函数的求导与积分对数函数的一般形式可以表示为y=logₐx，其中a为底数，x为函数的自变量。
对数函数的求导与积分需要根据对数函数的特性进行相应运算。
1. 对数函数的求导对于对数函数y=logₐx，其求导可以通过以下步骤进行：（1）将对数函数的自变量化为指数形式，即x=a^y。
（2）利用链式法则和指数函数的求导公式，推导得到对数函数的导函数表达式。
最终求得导函数为y'=1/(xlna)。
2. 对数函数的积分对数函数的积分可以通过以下步骤进行求解：（1）首先，将对数函数的自变量化为指数形式，即x=a^y。
（2）利用换元法和幂函数的积分公式进行求解，即可得到对数函数的积分表达式。
三、例题解析为了更好地理解指数函数与对数函数的求导与积分方法，现举例进行解析。
例题1：求函数y=3^x的导函数和原函数。
解析：根据前面的讨论可知，指数函数y=3^x的导函数为y'=3^x*ln3。
自然对数函数与指数函数的导数自然对数函数与指数函数是高等数学中重要的函数之一，它们的导数在许多应用领域中都有着重要的作用。
本文将探讨自然对数函数与指数函数的导数，并分析它们的性质和应用。
一、自然对数函数的导数自然对数函数以常数e为底，通常表示为ln(x)，其中x为函数的自变量。
求ln(x)的导数时，可以运用链式法则。
设y = ln(x)，则x = e^y。
对x = e^y两边同时求导，得到dx/dy =e^y。
由于x = e^y，所以dx/dy = e^y = x。
所以，ln(x)的导数为1/x。
自然对数函数的导数具有一些重要的性质。
首先，它对应的曲线y = ln(x)在x > 0时是递增的，也就是说其斜率始终大于零。
其次，ln(x)的导数在x > 0时无界，说明ln(x)在无穷大处的导数也是无穷大。
这些性质在实际问题的求解中有重要的应用。
二、指数函数的导数指数函数以常数e为底，通常表示为f(x) = e^x，其中x为函数的自变量。
求e^x的导数时，可以直接求得。
设y = e^x，对y求导得到dy/dx = e^x。
所以指数函数的导数为e^x。
指数函数的导数也具有一些重要的性质。
首先，它对应的曲线y = e^x在整个实数集上都是递增的，说明其斜率始终大于零。
其次，e^x的导数为其本身，这个性质在微分方程和积分学中有广泛的应用。
三、自然对数函数和指数函数导数的应用自然对数函数和指数函数的导数在很多学科和领域中都有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 计算复杂函数的导数：利用链式法则和指数函数的导数，可以求解复杂函数的导数。
这在微积分、物理学和工程学中经常被使用。
2. 统计分布：正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一。
它的概率密度函数正比于e^(-x^2)。
通过求导数，我们可以计算正态分布的密度函数和分布函数，并进一步研究其统计特性。
3. 化学反应动力学：在化学反应动力学中，指数函数和自然对数函数的导数被广泛应用于反应速率的研究。
