柯西积分定理课堂9

虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析 , 但此区域已不是单连通 域.
由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性
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二、柯西积分定理
柯西积分定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域D内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 D 内的任意一条封闭曲线C 的积分为零：∫ f ( z )dz = 0
ze z dz 的值.
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G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
∫z
z1
0
f ( z )dz = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
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例1 例2
求 ∫ zdz 的值.
z0
z1
求 ∫ z cos z 2dz 的值.
0 i
πi
例3 求 ∫0 z cos zdz 的值.
2
9
推论 如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析 ,
那末积分 C 无 关.
∫
C
f ( z )dz 与连结起点及终点的路线
由此可知: 由此可知 解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, 如下页图 如下页图) 和终点有关 (如下页图
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如果起点为 z0 , 终点为 z1 ,
D C
解 C1 和 C 2 围成一个圆环域 ,
C2
o
1 2
x
ez 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路 圆环域的边界构成一条复合闭路,
ez 根据闭路复合定理, 根据闭路复合定理 ∫ dz = 0. z Γ
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1 例3 求 ∫ dz , Γ 为含 a 的任一简单闭路 , n+1 Γ (z − a) (取正向)n 为整数 .
Γ
⋅a
Γ1
1 2πi , n = 0 故 ∫ n + 1 dz = (z − a) n ≠ 0. 0, Γ
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证明 ∫ ( z − α )n dz = 0 ( n ≠ −1), 其中 C 是 例4 c 任意闭曲线 .
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课后作业
求∫
1+ i
求 ∫ z sin zdz 的值 .
0
1 1
第二节 柯西积分定理
一、问题的提出 二、柯西积分定理 三、原函数与不定积分 四、复合闭路定理
一、问题的提出
观察例1
∫ Re zdz ,
C
被积函数 f ( z ) = Re z = x ,
由于不满足柯西－黎曼方程 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析. 处处不解析
此时积分值 ∫ Re zdz 与路线有关.
z0 ⋅
1
D
⋅ z1
C1
C2
z0 ⋅
C2
⋅ z1
∫ f ( z )dz = C∫ f ( z )dz = ∫z C
1 2
z1
0
f ( z )dz
如果固定 z0 , 让 z1 在 D 内变动, 并令 z1 = z ,
便可确定 D 内的一个单值函数 F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ .
z0
z
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称 f ( z ) 的原函数的一般表达式 F ( z ) + c (c 为任意常数 )为 f ( z ) 的不定积分 , 记作
∫ f ( z )dz = F ( z ) + c .
类似于牛顿-莱布尼兹公式) (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 ,
C C
= ∫∫ ( − v x − u y )dσ + i ∫∫ ( u x − v y )dσ
D D
=0
其中D是C所围内部，C取正向
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关于定理的说明: 关于定理的说明 (1) 如果曲线 C 是区域 D 的边界 函数 f ( z ) 在 的边界,
在闭区域 D = D + C 上解析,
那末
∫c
f ( z )dz = 0.
2
∫
z−i =
1 1 1 1 1 − − dz 2z+ i 2z−i 1 z
2
8
=
∫
z−i =
1 1 dz − 2 1z
2
∫
z−i =
1 1 dz − 2 1z+i
2
∫
z−i =
1 dz 1z−i
2
1 =− 2
∫
z−i =
=0 1 1 dz = − ⋅ 2πi = − πi . 2 1z−i
z +1
7
例3 计算积分
∫
z−i =
1 dz . 2 1 z ( z + 1)
2
1 1 1 1 1 解 = − + , 2 z ( z + 1) z 2 z + i z − i
1 1 1 因为 和 都在 z − i ≤ 上解析, z z+i 2
根据柯西积分定理得
∫
z−i =
1 dz = 2 1 z ( z + 1)
f ( z ) 的任何两个原函数相差 一个常数 .
根据以上讨论可知: 根据以上讨论可知
如果 f ( z ) 在区域 B 内有一个原函数 F ( z ),
那末它就有无穷多个原函数, 那末它就有无穷多个原函数
一般表达式为 F ( z ) + c (c 为任意常数 ).
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2. 不定积分的定义 不定积分的定义:
C
定理中的C 可以不是简单 定理中的 曲线. 曲线.
D
C
4
附加假设“f ′( z )在D内连续”， “C 是简单曲线”
证：令 z = x + iy , f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
∫
C
f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
其中 C 及 C k 均取正方向;
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2z − 1 例1 计算积分 ∫ 2 dz , Γ 为包含圆周 z = 1 Γ z −z y 在内的任何正向简单闭 曲线.
2z − 1 解 因为函数 2 在复平面 z −z 内有两个奇点 z = 0 和 z = 1,
依题意知, 也包含这两个奇点， 依题意知 Γ 也包含这两个奇点，
Γ
解 因为 a 在曲线 Γ 内部,
⋅a
Γ1
故可取很小的正数 ρ ,
使 Γ1 : z − a = ρ 含在 Γ 内部,
1 − 在以 Γ + Γ1 为边界的复连通域 n +1 (z − a) 内处处解析 ,
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由复合闭路定理, 由复合闭路定理 1 1 ∫ ( z − a ) n + 1 dz = Γ ( z − a ) n + 1 dz ∫ Γ 1 此结论非常重要, 此结论非常重要 用起来很方 不必是圆, 也不必是 便, 因为 Γ不必是圆 a也不必是 圆的圆心, 只要a在简单闭曲线 圆的圆心 只要 在简单闭曲线 Γ 内即可. 内即可
如果函数 ϕ ( z ) 在区域 B 内的导数为 f ( z ), 即 ϕ ′( z ) = f ( z ), 那末称 ϕ ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数 .
显然 F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ 是 f ( z ) 的一个原函数.
z0
z
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原函数之间的关系: 原函数之间的关系:
o
1
x
Γ
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在 Γ 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ,
C1 只包含奇点 z = 0,
y
C 2 只包含奇点 z = 1, 根据复合闭路定理 根据复合闭路定理, 2z − 1 2z − 1 2z − 1 ∫ z 2 − z dz = ∫ z 2 − z dz + ∫ z 2 − z dz Γ C C
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四、复合闭路定理
复合闭路： 复合闭路： 所谓复合闭路是指一类特殊的有界多连通区域
D的边界曲线Γ，它有若干条简单闭曲线构成记为
Γ = C +C1− + C 2 − + L + C n − (其方向是: C 按逆时针 进行, C1 , C 2 , L , C n按顺时针进行 ). 它们都在C内
部且互不包含也互不相交,上述Γ的方向称为多连通 区域D的边界曲线的Γ方向.
结论
如果函数 f ( z ) 在单连通域D内处处解析 , 那末函数 F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ 必为D内的一个解
z0 z
析函数, 并且 F ′( z ) = f ( z ).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. 定理完全类似
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三、原函数与不定积分
1. 原函数的定义 原函数的定义:
观察例2, 观察例
C
被积函数 f ( z ) = z 2 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 此时积分与路线无关
2
1 , 观察上节例4, 观察上节例 被积函数当 n = 0 时为 z − z0
它在以 z0 为中心的圆周 C 的内部不是处处解析的 ,
此时 ∫
c
1 dz = 2πi ≠ 0. z − z0
C
C1 C2
C3
D
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设D是以复合闭路Γ = C +C1− + C 2 − + L + C n −为边界 的多连通区域。若 f ( z )在D内解析，在边界D =D +∂D上 上连续，则有