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柯西积分公式与高阶导数公式

柯西积分公式与高阶导数公式

dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz

2i [z3 3!

1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下

第二讲 柯西积分公式高阶导数

第二讲 柯西积分公式高阶导数

应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有

C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务




1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i

f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i

f ( ) d ) C z
1 2

2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.

-柯西积分公式

-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i

id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)

柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式

柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
曲线积分求得； 2）已知积分曲线：z x(t) iy(t) ， （ t ），则复变积
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)

1
2 i
C
f

( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )

f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1

1 2
，2） C
:
z
1

1 2
，3） C :
z

2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1

第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数.

第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数.
将接近于缩小，
00
( d C
f z z z z -⎰
000
1( d 2(. C
f z z if z z z π==-⎰
二、柯西积分公式
定理( , f z D C D如果函数
在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭0, , , D z C曲线它的内部完全含于为内任一点那末
00
1( ( d . 2πC
f z f z z i
课程教案
授课时间：第周周第节课时安排课次__授课方式（请打√）：理论课□讨论课□实验课□习题课□综合课□其他□授课题目（教学章、节或主题）：
§3.5柯西积分公式；§3.6解析函数的高阶导数．
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
1．熟练掌握柯西积分公式；
2．熟练掌握高阶导数公式．
教学重点及难点：
f z e =因为在复平面内解析1
2 , z z =<位于内由柯西积分公式
1
2
d 21
zzΒιβλιοθήκη z z ez i ez π===⋅-2. e i π=
例3 2
12
1
d .
(1
z i z z z -=
+⎰
计算积分解
2
1
(1 z z =+1
( (
z z i z
i +-1
( z z i z i
+=
-( f z =，1 ( , 2
-⎰
000
( ( (
d d K
K
f z f z f z z z z z z z -=
+
--⎰
⎰
000
( (
2( d K

解析函数的高阶导数

解析函数的高阶导数

证 (1) 任取正数r 2 , (注意 f (z) 在| z | 2 上的性态不知
道) 则函数 f (z) 在| z | r
内解析由，高阶导数公式有
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
|z| r |z|
1
2π
|z| r
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) | f (0)|
1 2πr2(2 r)
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) 由| f (z) z | 1 , 有 |2 z|
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
，
z f (z) 在 | z | 2
f (z)
内解析；
证 (3) 根据柯西积分公式有
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
πi |z| 1

复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式

复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2

第二章 柯西定理公式

第二章 复变函数的积分
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：

柯西积分公式及高阶导数公式

2
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2


解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑

复变函数第7讲柯西积分公式


K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .
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在 上及其内部
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公式
常用于计算积分：
这两个积分的被积函数分别为：
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例1
计算积分
| z 1 | 1
1 z3
1
d
z
.
解：
| z1 | 1
1 z3 1 d z
|z 1 | 1
z
2
1 z
1
z
1
1
d
z
圆周
内包含 而函数 1 在
第三章
第三节 柯西积分公式和高阶 导数公式
一、柯西积分公式 二、高阶导数公式 三、调和函数
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一、柯西积分公式 设 是正向简单闭曲线，
解析， 是 内一点， 则
在 上及其内部
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二、高阶导数公式 设 是正向简单闭曲线，
解析， 是 内一点， 则
z2 z 1
内解析， 所以
| | z1 | 1
1 z3
1
d
z
2
i
z2
1 z
1
z 1
2i
3
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例2
计算积分
| z 1 | 1
z
1 4
1
d
z
.
解：
| z1| 1
1 z4 1 dz
| z 1 | 1
1
1
(z2 1)(z 1) z 1 d z
圆周
内包含
解：
得
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由
得，
即 因此 得解析函数
故
i [ex( y cos y x sin y) x y]
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即
由 f (0) 0 得， c 0,
所以
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eiz 1
zi zi
dz
2
圆周
2
内包含
而函数 e i z 在
zi
内解析，所以
| z 2i | 3 2
| e i z
z2 1
dz
2i
eiz zi
zi
2 i e1
2i
e
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Hale Waihona Puke 例4计算积分|z|2
e z z2 (z 1)4
dz.
解：
| z | 2
e z z2 (z 1)4
ez (z i)2
(
z
1
i)2
dz
2
2
|
2 i
1!
(z
ez i)2
zi
2 i (1 i) e i
4
i (1 i) e i
2
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| z i | 1
ez (z2 1)2
dz
|zi | 1
ez (z i)2
(
z
1
i
)2
dz
2
2
|
2 i
1!
(z
ez i)2
2 i (1 i) e i
z i
4
i (1 i) e i
2
原积分 i (1 i) e i i (1 i) e i
2
2
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三、调和函数
定义：设 (x, y) 在区域 D 内具有二阶连续偏导数，
并且满足拉普拉斯方程
dz
|z|2
(e
z
z
2
)
(
z
1 1)4
dz
圆周
内包含 而函数 f (z) e z z 2 在
内解析，f (z) e z 2z , f (z) e z 2 ,
f (z) e z , 所以
| z | 2
e z z2 (z 1)4
d z 2 i f (1) 2 i e e i
3!
3!
3
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例5 计算积分
解：
|z|2
| z | 2
ez (z2 1)2
dz
| zi | 1
2
ez (z2 1)2
dz.
e z
(z2 1)2
dz
|zi | 1
2
ez (z2 1)2 d z
其中 | zi | 1
ez (z2 1)2
dz
|zi | 1
调和函数 v (x, y) 和由它们构成的解析函数.
解：
所以
即 u (x, y) 为调和函数.
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由
得
所以
又由
即 因此 得解析函数
得， 故
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例7 已知一调和函数 v (x, y) ex ( y cos y x sin y) x y 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0.
1 而函数 (z2 1)( z 1) 在
内解析， 所以
| | z1| 1
1 z4
1
d
z
2
i
(
z
2
1 1)(
z
1)
1i
z1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3 计算积分
解：
| z 2i | 3 2
eiz z2 1
dz.
| z2i | 3
eiz z2 1
dz
| z 2i | 3
那么称
为区域 内的调和函数.
定义：设 u (x, y), v (x, y) 都是 D 内的调和函数，
且满足柯西 - 黎曼方程
则称 u (x, y), v (x, y) 是共轭调和函数.
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定理： 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和 虚部都是 D 内的调和函数.
例6 证明 u (x, y) y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭