九年级数学下册 3.2点与圆的位置关系圆课时训练二 湘教版

第2课时切线的性质知识点切线的性质1．如图2－5－17，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2 3，∠APO＝30°，则⊙O的半径为()图2－5－17A．1 B.3C．2 D．42．如图2－5－18，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝12，AO＝8，则OC的长为()图2－5－18A．5 B．4 C．2 5D．2 73．2017·莱芜如图2－5－19，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为()图2－5－19A．46°B．47°C．48°D．49°4．2017·怀化模拟如图2－5－20，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为()图2－5－20A.12B.22C.32D.335．2018·湘潭如图2－5－21，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝________°.图2－5－216．2018·长沙如图2－5－22，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B 为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝________°.图2－5－227．如图2－5－23，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，连接AC，OC.若∠P＝20°，则∠A的度数为________．图2－5－238．2017·连云港如图2－5－24，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．图2－5－249．教材练习第2题变式如图2－5－25，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且∠ABD＝45°，求证：AD＝DC.图2－5－25。

湘教版九年级下册数学第2章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，有以下结论：①为60°，②∠AOB=60°，③∠AOB==60°，④△ABO为等边三角形，⑤弦AB的长等于这个圆的半径．其中正确的是（）A.①②③④⑤B.①②④⑤C.①②D.②④⑤2、如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A.4π cmB.3π cmC.2π cmD.π cm3、如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中成立的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）A.28°B.31°C.38°D.62°6、下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A.1个B.2个C.3个D.4个7、已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（）A. B. C. D.8、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A. B. C. D.9、一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为（）A.60°B.120°C.150°D.180°10、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C为⊙O上一点，若∠P=50°，则∠ACB=（）A.40°B.50°C.65°D.130°11、若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定12、若⊙O的直径为8，圆心到直线的距离d=8，则⊙O与直线的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定13、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为（）A. B. C.18-6π D.18-3π14、如图，⊙O中，∠AOC=160°，则∠ABC等于（）A.20°B.160°C.40°D.80°15、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x 相交，交点为A，B，当弦AB的长等于2 时，点P的坐标为（）A.（1，6）和（6，1）B.（2，3）和（3，2）C.（，3）和（3 ，） D.（，2 ）和（2 ，）二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，⊙O的弦AC与半径OB交于点D，BC∥OA，AO＝AD，则∠C的度数为________°．17、如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________ ．18、如图，以为直径作为圆周上的点，，若点为垂直平分线上的一动点，则阴影部分周长的最小值为________.19、一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°，面积为 60π的扇形，则这个圆锥的母线长是________．20、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是________21、如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是________．22、如图，两个圆都以为圆心，大圆的弦与小圆相切于点，若，则圆环的面积为________.23、如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC= ，则顶点A运动到点A″的位置时，线段AB扫过的图形面积是________．24、已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为________cm.25、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3 ，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD 的长的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．27、已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．28、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．29、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB 为24cm，求截面上有油部分油面高CD。

九年级数学下册点与圆的位置关系圆课时训练二湘教版【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题：1. 圆O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与圆O的位置关系是（）A. 点P在圆O内B. 点P在圆O上C. 点P在圆O外D. 无法确定2. 若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3. 如图，圆O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于D，AC＝4，CD ＝1，则圆O的半径等于（）45356. △ABC的内切圆圆O和各边分别相切于D、E、F，则O是△DEF的（）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三个角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点二. 填空题7. 圆O的半径是πcm，OP＝，点P与圆O的位置关系是________。

8. 如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B、，点C在圆O上，如果∠P＝50°，则∠C＝________。

OBPACBCODA12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，R 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是________。

AD EBC三. 解答题13. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∠A ＝30°，AC ＝3cm ，以C 为圆心，cm 3为半径画圆C ，指出A 、B 、D 与圆C 的位置关系。

若要圆C 经过点D ，则这个圆的半径应有多长。

DCB ACB DOEA15. 已知：如图，AB 是圆O 的直径，圆O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于E求证：（1）DE 是圆O 的切线；（2）CB CE CD ⋅=2OABEDC16. 如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，125==BC AC ，，圆O 的半径为3（1）当圆心O 与C 重合时，圆O 与AB 的位置关系怎样。

教学资料参考范本
【精品】九年级数学下册第2章圆2-5直线与圆的位置关系2-5-2第1课时切线的判定同步练习1湘教版
撰写人：__________________
部门：__________________
时间：__________________
一、选择题
1．下列直线中一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B. 过半径外端点的直线
C. 垂直于圆的半径的直线
D. 过圆的半径的外端点且垂直于这条半径的直线
2．如图K－17－1，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，则还需添加的条件是( )
A．∠CAE＝∠B B．∠CAF＝∠B
C．∠CAB＝∠B D．AB＝2BC
3．如图K－17－2，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
17－2
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径。

湘教版初三数学下册第二章 圆 练习题 类型之一 圆心角与圆周角1．2021·徐州如图2－X －1，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数为( )图2－X －1A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°2.如图2－X －2，AB 是半圆O 的直径，∠ABC ＝52°，D 是AC ︵的中点，则∠DAB 的度数为( )图2－X －2A ．58°B ．61°C ．72°D ．64°3．如图2－X －3，AB 是⊙O 的弦(AB 不是直径)，以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ，OB ，OC.若∠ABC ＝65°，则∠BOC 的度数是( )图2－X －3A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°4.如图2－X －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，则AD ︵所对的圆心角的度数为________．图2－X －4类型之二 垂径定理5．2021·黔西南州如图2－X －5，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是( )图2－X －5A ．3B ．2.5C ．2D ．16.如图2－X －6，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) 图2－X －6A ．4B ．2 3C ．8D ．4 37．2021·乐山如图2－X－7是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD与水平地面差不多上垂直的．依照以上数据，请你帮小红运算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是()图2－X－7A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米8．在半径为5的圆内有长为5 3的弦，则此弦所对圆周角的度数为_ _______．类型之三与圆有关的位置关系9．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点中至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范畴是()A．r＞15 B．15＜r＜20C．15＜r＜25 D．20＜r＜2510．如图2－X－8，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN 与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________°.图2－X－811．2021·娄底如图2－X －9，已知⊙O 与四边形ABCD 的边AD ，A B ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ，若半径OC ＝1，则AE ·BE ＝________．图2－X －912．如图2－X －10，△ABC 内接于⊙O ，OC 和AB 相交于点E ，点D 在OC 的延长线上，且∠B ＝∠D ＝∠BAC ＝30°.(1)试判定直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若AB ＝6 3，求⊙O 的半径．图2－X －10类型之四 弧长和扇形的面积13．2021·烟台如图2－X －11，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为( )图2－X －11A.13πB.23πC.76πD.43π14．2021·重庆如图2－X －12，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)图2－X －1215．如图2－X－13，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上一点，以BE为直径的⊙O通过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积(结果保留根号和π)．图2－X－13类型之五数学活动16．如图2－X－14，⊙O的半径为1，直线CD通过圆心O，交⊙O 于C，D两点，直径AB⊥CD，M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，P是直线CD上另一点，且PM＝PN.(1)当点M在⊙O内部时，如图①，试判定PN与⊙O的位置关系，并写出证明过程；(2)当点M在⊙O外部时，如图②，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立？请说明理由．(3)当点M在⊙O外部时，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．图2－X－14本章中考演练1．2021·盐城如图2－Y－1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为()图2－Y－1A．35°B．45°C．55°D．65°2．2021·邵阳如图2－Y－2所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是()图2－Y－2A．80°B．120°C．100°D．90°3．2021·舟山用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内4．2021·张家界如图2－Y－3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为()图2－Y－3A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm5．2021·眉山如图2－Y－4所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B的度数为()图2－Y－4A．27°B．32°C．36°D．54°6．2021·益阳如图2－Y －5，正方形ABCD 内接于圆O ，AB ＝4，则图中阴影部分的面积是( )图2－Y －5A ．4π－16B ．8π－16C ．16π－32D ．32π－167．2021·重庆如图2－Y －6，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为4，BC ＝6，则PA 的长为( )图2－Y －6A ．4B ．2 3C ．3D ．2.58.2021·随州如图2－Y －7，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40°，∠C ＝20°，则∠B ＝________°.图2－Y －79．2021·益阳如图2－Y －8，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝________°.图2－Y －810．2021·永州如图2－Y －9，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则 AB ︵的长为________．图2－Y －911．2021·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________ cm.12．2021·株洲如图2－Y －10，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 差不多上⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝________°.图2－Y －1013.2021·临沂如图2－Y －11，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆的直径是________ cm.图2－Y －1114．2021·张家界如图2－Y －12，P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，且AB ＝4，M 为AB ︵上一个动点(不与点A ，B 重合)，射线PM 与⊙O交于点N(不与点M 重合)．(1)当点M 在什么位置时，△MAB 的面积最大，并求岀那个最大值；(2)求证：△PAN ∽△PMB.图2－Y －1215．2021·常德如图2－Y －13，已知AB 是半圆O 的直径，CD 与半圆O 相切于点C ，BE ∥CO.(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝8，半圆O 的半径OA ＝6，求CE 的长．图2－Y －1316．2021·怀化如图2－Y－14，AB是⊙O的直径，AB＝4，F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.(1)求扇形OBC的面积(结果保留π)；(2)求证：CD是⊙O的切线．图2－Y－1417．2021·衡阳如图2－Y－15，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O 的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.(1)若E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线．(2)若AC＝3CD，求∠A的度数．图2－Y－1518．2021·长沙如图2－Y －16，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC ＝8，A D ＝3.(1)求CE 的长；(2)求证：△ABC 为等腰三角形；(3)求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．图2－Y －16详解详析1．D [解析] 依照圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.2．D [解析] 连接BD.∵CD ︵＝AD ︵，∴∠CBD ＝∠ABD.∵∠ABC ＝52°，∴∠ABD ＝26°.∵AB 是半圆O 的直径，∴∠BDA ＝90°，∴∠DA B ＝90°－26°＝64°.3．C [解析] 由题意可得AB ＝AC ，∵∠ABC ＝65°，∴∠ACB ＝65°，∴∠A ＝50°，∴∠BOC ＝100°.4．72° [解析] 连接CD.∵∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－∠B ＝54°.∵CA ＝CD ，∴∠CDA ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－54°－54°＝72°.5．C [解析] 连接OA ，设CD ＝x.∵OA ＝OC ＝5，∴OD ＝5－x.∵O C ⊥AB ，∴由垂径定理可知AD ＝4，由勾股定理可知OA2＝AD2＋OD2，即52＝42＋(5－x)2解得x ＝2，∴CD ＝2.6．C7．B [解析] 连接OF ，交AC 于点E ，∵BD 是⊙O 的切线，∴OF ⊥BD.∵四边形ABDC 是矩形，∴AC ∥BD ，∴OE ⊥AC ，EF ＝AB.设⊙O 的半径为R ，在Rt △AOE 中，AE ＝AC 2＝BD 2＝0.75米，OE ＝R －AB ＝(R －0.25)米．∵在Rt △OAE 中，AE2＋OE2＝OA2，∴0.752＋(R －0.25)2＝R2，解得R ＝1.25，1.25×2＝2.5(米)．答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．故选B.8．60°或120° [解析] 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D.∵OD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，即AD ＝BD ＝5 32.在Rt △AOD 中，OA ＝5，A D ＝5 32，∴sin ∠AOD ＝5 325＝32.又∵∠AOD 为锐角，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵圆内接四边形的对角互补，∴∠AEB ＝120°.故弦AB 所对的圆周角为60°或120°.9．C10．60 [解析] 连接OA ，则OA ⊥MN.因为∠MAB ＝30°，因此∠O AB ＝90°－30°＝60°，而OA ＝OB ，因此∠B ＝∠OAB ＝60°.11．1 [解析] 连接OE ，因为⊙O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，B C 都相切，因此AD ∥BC ，OE ⊥AB ，从而易证OA ⊥OB ，因此△AOE ∽△OBE ，因此AE OE ＝OE BE ，因此AE ·BE ＝OE2＝1.12．解：(1)直线AD 与⊙O 相切．理由如下：如图，连接OA.∵∠B ＝30°，∴∠AOC ＝2∠B ＝60°，∴∠OAD ＝180°－∠AOD －∠D ＝90°，即OA ⊥AD.∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线．(2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°， ∴△ACO 是等边三角形， ∴∠ACO ＝60°，AC ＝OA ，∴∠AEC ＝180°－∠EAC －∠ACE ＝90°，∴OC ⊥AB.又∵OC 是⊙O 的半径，∴AE ＝12AB ＝12×6 3＝3 3.在Rt △AEC 中，sin ∠ACE ＝AE AC ，∴AC ＝3 332＝3 3×23＝6，∴⊙O 的半径为6.13．B [解析] 连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝BC ＝6，∴OA ＝OD ＝3.∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠DOE ＝180°－2×70°＝40°，∴DE ︵的长＝40π×3180＝23π.14．6－π [解析] S 阴＝2×3－90×π×22360＝6－π. 15．解：(1)证明：连接OD.∵OD ＝OB ，∴∠1＝∠ODB ，∴∠DOC ＝∠1＋∠ODB ＝2∠1.∵∠A ＝2∠1，∴∠DOC ＝∠A.∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠DOC ＋∠C ＝90°，∴OD ⊥DC.又∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵∠A ＝60°，∴∠C ＝30°，∠DOC ＝60°.在Rt △DOC 中，OD ＝2，∴CD ＝3OD ＝2 3，∴阴影部分的面积＝S △COD －S 扇形ODE ＝12×2×2 3－60×π×22360＝2 3－23π. 16．解：(1)PN 与⊙O 相切．证明：如图①，连接ON.∵OA ＝ON ，∴∠ONA ＝∠OAN.∵PM ＝PN ，∴∠PNM ＝∠PMN.∵∠AMO ＝∠PMN ，∴∠PNM ＝∠AMO ，∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即ON⊥PN.又∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切．(2)成立．理由：如图②，连接ON.∵OA＝ON，∴∠ONA＝∠OAN.∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.在Rt△AOM中，∵∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°，∴∠PNO＝180°－90°＝90°，即ON⊥PN.又∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切．(3)如图③，连接ON，由(2)可知∠ONP＝90°.∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，∴∠PON＝60°，∠AON＝30°.过点N作NE⊥OD，垂足为E，则NE＝ON·sin∠EON＝1×32＝32.S阴影＝S△AOC＋S扇形OAN－S△CON＝12OC·OA＋30π×12360－12CO·NE＝12×1×1＋112π－12×1×32＝12＋112π－34.中考演练答案1．C [解析] 由“同弧所对的圆周角相等”得∠ABC ＝∠ADC ＝35°，再由“直径所对的圆周角为直角”得∠ACB ＝90°，因此∠CAB ＝90°－∠ABC ＝90°－35°＝55°.2．B [解析] 依照“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD ＋∠A ＝180°，因为∠BCD ＝120°，因此∠A ＝60°.依照“在同圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”，得∠BOD ＝2∠A ＝120°.故选B.3．D [解析] 点和圆的位置关系有点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，故若点在圆外不成立，则点在圆内或圆上，故正确答案为D.4．A [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8 c m ，因此依照垂径定理得CE ＝12CD ＝4 cm ，利用勾股定理得OE ＝OC2－CE2＝3 cm.又OA ＝OC ＝5 cm ，因此AE ＝AO ＋OE ＝8 cm.5．A [解析] 由PA 是⊙O 的切线，可得∠OAP ＝90°，∴∠AOP ＝54°，依照同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B ＝27°.6．B [解析] 由正方形ABCD 中AB ＝4，可得圆O 的半径为2 2，因此S 阴影＝S 圆O －S 正方形ABCD ＝π×(2 2)2－42＝8π－16.7．A [解析] 连接OD.易证△POD ∽△PBC ， ∴PO PB ＝OD BC ，即PA ＋4PA ＋8＝46，解得PA ＝4. 8．60 [解析] 连接OA ，依照“同圆的半径相等”可得OA ＝OC ＝O B ，因此∠C ＝∠OAC ，∠OAB ＝∠B ，故∠B ＝∠OAB ＝∠OAC ＋∠BAC ＝∠C ＋∠BAC ＝20°＋40°＝60°.9．45 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AD ＝DC ，∴AB ＝BC.∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.10.24π [解析] OA ＝12＋12＝2，AB ︵的长为45π×2180＝24π.11．2或14 [解析] 分两种情形进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧．作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理可知弦心距分别为6 cm ，8 cm.①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，距离为8－6＝2(cm)；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，距离为8＋6＝14(cm)．综上所述，弦AB 与CD 之间的距离为14 cm 或2 cm.12．48 [解析] 连接AO ，则有∠AOM ＝13×360°＝120°，∠AOB＝15×360°＝72°，∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝120°－72°＝48°.13.10 33 [解析] 能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是如图所示的△A BC 的外接圆⊙O ，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∴∠BOD ＝12∠BOC ＝60°，由垂径定理得BD ＝12BC ＝52 cm ，∴OB ＝BD sin60°＝5232＝5 33，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆的直径是10 33. 14．解：(1)当M 在AB ︵的中点处时，△MAB 的面积最大，现在△MAB的高为OM ＝12AB ＝12×4＝2，S △ABM ＝12AB ·OM ＝12×4×2＝4.(2)证明：∵∠PMB ＝∠PAN ，∠P ＝∠P ，∴△PAN ∽△PMB.15．解：(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC.∵BE ∥CO ，∴∠O CB ＝∠EBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线．(2)∵CD 与半圆O 相切于点C ， ∴△DCO 为直角三角形．∵DC ＝8，OA ＝6，∴DO ＝10.∵BE ∥CO ，BD 和DE 相交于点D ，∴DO OB ＝DC CE ，即106＝8CE ，∴CE ＝4.8.16．解：(1)∵AB ＝4，∴OB ＝2.∵∠BOC ＝60°， ∴S 扇形OBC ＝60π×22360＝23π.(2)证明：∵AC 平分∠FAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠OC A ＝∠BAC ，∴∠OCA ＝∠DAC ，∴AD ∥OC ，∴∠OCD ＋∠ADC ＝180°.∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°，∴∠OCD ＝90°，∴DC ⊥OC.∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．17．解：(1)证明：连接OC ，如图．因为BD ⊥AB ，因此∠ABD ＝90°，即∠4＋∠2＝90°.因为AB 是⊙O 的直径，因此∠ACB ＝90°，因此△CDB 是直角三角形．因为E 是Rt △CDB 斜边的中点，因此CE ＝EB ，因此∠1＝∠2.又OC ＝OB ，因此∠3＝∠4，因此∠1＋∠3＝90°，即OC ⊥CE.又因为OC 为⊙O 的半径，因此CE 是⊙O 的切线．(2)在△DBC 和△DAB 中，因为∠D ＝∠D ，∠DCB ＝∠DBA ＝90°，因此△DBC ∽△DAB ，因此BD AD ＝CD BD ，即BD2＝CD ·AD.又AC ＝3CD ，设CD ＝x ，则AD ＝4x ，因此BD ＝2x ，因此在Rt △ABD 中，AD ＝2BD ，因此∠A ＝30°.18．解：(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴D 为BC 的中点．∵AD ∥CE ，∴A 为BE 的中点，∴AD ＝12CE.∵AD ＝3，∴CE ＝6.(2)证明：∵CE ∥AD ，∴∠BAD ＝∠E ，∠ACE ＝∠CAD.∵∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠E ，∴AC ＝AE.由(1)知AB ＝AE ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．(3)如图，连接BP ，PA ，则点D 在PA 上．由已知易知AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，AD ＝3，BD ＝12BC ＝4，∴AB＝AC ＝5.设⊙P 的半径为R ，⊙Q 的半径为r.在Rt △BDP 中，R2－(R －3)2＝42，解得R ＝256，∴PD ＝256－3＝76.连接BQ ，CQ ，由等面积法，得12BC ·AD ＝12AB ·r ＋12AC ·r ＋12BC ·r ，解得r ＝43，∴QD ＝43，∴PQ ＝43＋76＝52.。

湘教版九年级下册数学第2章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，斜边BC长为的Rt△ABC内接于⊙O，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E，当点A在弧MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A. B. C. D.2、如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）A. B. C. D.3、如图，正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（）A. B. C. D. 或4、如图，，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=( )A.40°B.60°C.80°D.120°5、已知△ABC内接于⊙O，下列结论正确的是（）A.若∠C=90°，则点O是AC的中垂线与AB的交点B.若∠A=30°，则=30° C.若AB是直径，则∠A与∠B互补 D.点O一定在△ABC的内部或边上6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A= ，则∠BOC的大小为（）A.40°B.30°C.80°D.100°7、⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内部B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外部D.点P 不在⊙O上8、如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A.64°B.58°C.32°D.26°9、在△ABC中，O为内心，∠A=80°，则∠BOC=（）A.140°B.135°C.130°D.125°10、如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm11、若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（）A.3B.3C.6D.612、如图：⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于P，已知BP：AP=1：4，则CD的长为（）A.10B.8C.6D.413、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路线为弧BD,则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M的圆心坐标是（4，2），将直线y=﹣2x+1向上平移k个单位后恰好与⊙M相切，则k的值是（）A.1+ 或1+2B.1+2 或1+4C.9+2 或9﹣2D.10+2 或10﹣215、正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A.4B.6C.7D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=________．17、如图，已知⊙O上三点，，，切线交延长线于点，若，则________.18、如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE ＝________.19、如图，和是的切线，点和点是切点，是的直径，连结，已知，则________20、已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的圆心为点A，外接圆的圆心为点B，则AB=________．21、如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为________.22、在中，，，M，N是边上两个动点，若，边上分别存在点P，Q使得，则线段的最小值为________.23、圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是________ cm．24、如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：①当d=3时，m=________ ；②当m=2时，d的取值范围是________ ．25、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、圆锥的底面半径为3cm,侧面展开图是圆心角为120º的扇形,求圆锥的全面积。

2.5.2第2课时 切线的性质一、选择题1．2018·眉山如图K －18－1所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B 的度数为()图K －18－1A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°2．如图K －18－2，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径为 ()图K －18－2A.10 B ．5 C ．6 D ．103．如图K －18－3，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D .若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是()图K －18－3A ．4B ．2 3C ．8D ．4 34．如图K －18－4所示，已知AB 是半圆O 的直径，AD 切半圆O 于点A ，C 是BE ︵的中点，则下列结论不成立的是()图K －18－4A ．OC ∥AEB ．CE ＝BCC ．∠DAE ＝∠ABED ．AC ⊥OE5．已知直线m 与半径为5 cm 的⊙O 相切于点P ，AB 是⊙O 的一条弦，且PA ︵＝PB ︵，若AB ＝6 cm ，则直线m 与弦AB 之间的距离为()A ．1 cm 或9 cmB ．4 cm 或9 cmC ．2 cm 或8 cmD ．1 cm二、填空题6．2018·安徽如图K －18－5，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E ，若D 是AB 的中点，则∠DOE ＝________°.图K －18－57．如图K －18－6，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8，0)，与y 轴分别交于点B (0，4)和点C (0，16)，则圆心M 的坐标为________．图K －18－68．如图K －18－7，直线AB 切⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，连接OC 交EF 于点H ，连接CF ，若CF ＝5，则HE 的长为________．图K －18－7。

2．1 圆的对称性知识点 1 圆的有关概念1．下列说法正确的是( )A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．⊙O的半径是4，P是圆内一点，则过点P的最长弦的长度是________．3．如图2－1－1所示，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为________cm.图2－1－1知识点 2 点与圆的位置关系4．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，则点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外6．教材练习第2题变式已知⊙O的半径为4 cm，B为线段OA的中点，当线段OB满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：(1)OB＝3 cm；(2)OB＝2 cm；(3)OB＝1 cm.7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M为AB的中点．(1)以点C为圆心，3为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？(2)若以点C为圆心作⊙C时，点B在⊙C外，点A在⊙C内，则⊙C的半径r的取值范围是什么？知识点 3 圆的对称性8．以下关于圆的对称性的结论，正确的是( ) A ．圆是中心对称图形，但不是轴对称图形B ．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，但只有一个对称中心和一条对称轴C ．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心只有一个，而对称轴有无数条D ．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心有无数个，但对称轴只有一条 9．将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明( ) A ．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B ．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C ．圆的直径相互平分D ．圆上任意一点到圆心的距离都相等10．如图2－1－2所示，三圆同心于点O ，AB ＝4 cm ，CD ⊥AB 于点O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2.图2－1－211．点M 与⊙O 上的点的最小距离为3 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是( ) A ．5.5 cm B ．2.5 cmC ．2.5 cm 或5.5 cmD ．5 cm 或11 cm12．如图2－1－3所示，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( )图2－1－3A ．不变B ．变小C ．变大D ．不能确定13．如图2－1－4所示，BD ，CE 是△ABC 的高，M 为BC 的中点．试证明点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．图2－1－414．如图2－1－5，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上两点，并且AC＝BD，连接OC，OD.求证：OC＝OD.图2－1－515．如图2－1－6，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，延长AB，OC交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，求∠D的度数．图2－1－616．如图2－1－7，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO.若存在，求出相应的∠OCP的度数；若不存在，请简要说明理由．图2－1－7教师详解详析1．C2．8 [解析] 过圆内点P 最长的弦是圆的直径．3．4 [解析] ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°，∴△OAB 为等边三角形，∴AB ＝OA ＝4 cm. 4．C 5.A6．解：(1)∵OB ＝3 cm ，∴OA ＝6 cm ＞4 cm ，∴点A 在⊙O 外． (2)∵OB ＝2 cm ，∴OA ＝4 cm ，∴点A 在⊙O 上．(3)∵OB ＝1 cm ，∴OA ＝2 cm ＜4 cm ，∴点A 在⊙O 内．7．[解析] (1)欲判断点与圆的位置关系，只需求出该点与圆心的距离，再与圆的半径相比较即可．解：(1)由于AC ＝3＝r ，故点A 在⊙C 上． 由于BC ＝4>r ，故点B 在⊙C 外． 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.又∵M 为AB 的中点，∴MC ＝12AB ＝52<3，∴点M 在⊙C 内．(2)∵AC ＝3，BC ＝4，∴要使点B 在⊙C 外，点A 在⊙C 内，则⊙C 的半径r 的取值范围是3<r <4. 8．C9．B [解析] 根据圆的对称性可以得到：直径所在的直线为圆的对称轴，沿着它的直径翻折后，直径两侧的部分互相重合．10．π [解析] 阴影部分的面积应为14π×(4÷2)2＝π (cm 2)．11．C [解析] 当点M 在圆内时，与最近点的距离为3 cm ，与最远点的距离为8 cm ，则⊙O 的直径是11 cm ，因而半径是5.5 cm ；当点M 在圆外时，与最近点的距离为3 cm ，与最远点的距离为8 cm ，则⊙O 的直径是5 cm ，因而半径是2.5 cm.12．A [解析] 连接OP ，∵四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，∴AB ＝OP ＝半径．当点P 在MN ︵上移动时，半径不变，∴AB 的长度不变，故选A.13．证明：连接ME ，MD .∵BD ，CE 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点，∴ME ＝MD ＝MC ＝MB ＝12BC ，∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．14．证明：连接OA ，OB .∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA .在△AOC 与△BOD 中，∵AC ＝BD ，∠OAB ＝∠OBA ，OA ＝OB ，∴△AOC ≌△BOD ，∴OC ＝OD .15．解：连接OB ，∵BD ＝OA ，OA ＝OB ， ∴△AOB 和△BOD 均为等腰三角形． 设∠D ＝x °，则∠OBA ＝2x °.∵OB ＝OA ，∴∠A ＝2x °.在△AOB 中，2x ＋2x ＋(105－x )＝180， 解得x ＝25，即∠D ＝25°.16．解：是．(1)当点P 在线段OA 上时，画出图①，在△QOC 中，∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCP .在△OPQ 中，∵QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠AOC ＝30°，∴∠QPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°.在△OPQ 中，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，即(∠OCP ＋30°)＋(∠OCP ＋30°)＋∠OCP ＝180°，整理，得3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°.(2)当点P 在线段OA 的延长线上时，如图②，∵OC ＝OQ ，∴∠OQP ＝∠OCQ ，∴∠OQP ＝(180°－∠QOC )×12①.∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ，∴∠OPQ ＝(180°－∠OQP )×12②.在△OQP 中，30°＋∠QOC ＋∠OQP ＋∠OPQ ＝180°③，把①②代入③，得∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°.(3)当P 在线段OA 的反向延长线上时，如图③，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC . ∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ， ∴2∠OPQ ＝∠OQC ＝∠OCP .∵∠AOC ＝30°，∠AOC ＝∠OPQ ＋∠OCP ＝3∠OPQ ，∴∠OPQ ＝10°， ∴∠OCP ＝20°.综上，∠OCP 的度数为40°或100°或20°.2.2.1 圆心角一、选择题1．下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等 B. 等弧所对的弦相等C. 圆心角相等，它们所对的弦相等D. 弦相等，它们所对的圆心角相等2．如图K －11－1，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )图K －11－1A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3．如图K －11－2所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，如果∠BOC ＝40°，那么∠AOE 的度数为 ( )图K －11－2A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°4．如图K －11－3所示，⊙O 经过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D ＝60°，则BC ︵的度数为( )图K －11－3A ．25°B ．40°C ．50°D ．55°二、填空题5．如图K －11－4所示，AB ，CD ，EF 都是⊙O 的直径，且∠1＝∠2＝∠3，则⊙O 的弦AC ，BE ，DF 的大小关系是____________.图K －11－46．如图K －11－5所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A 的度数为________．图K －11－57．如图K －11－6，AB 是⊙O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是⊙O 的弦，且AC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FB ，则∠AOC ＝________°，∠COF ＝________°图K －11－6.三、解答题8．如图K －11－7，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE ∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD ＝DE.图K －11－79．如图K －11－8，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ＝CD.求证：AD ＝BC.图K －11－810．如图K －11－9，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.图K －11－911．如图K －11－10所示，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，试判断四边形AOBC 的形状，并说明理由．图K －11－1012．如图K －11－11，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 为半径的圆分别交AD ，BC 于点F ，G ，延长BA 交⊙A 于点E.求证：EF ︵＝FG ︵.链接听课例2归纳总结图K －11－1113．如图K －11－12，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且AB ︵＝BC ︵＝CA ︵.(1)求∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的度数；(2)连接AB ，BC ，AC ，试确定△ABC 的形状； (3)若⊙O 的半径为10 cm ，求△ABC 的周长．图K －11－1214．如图K －11－13，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F.求证：AE ＝CD.图K －11－13素养提升分类讨论思想如图K －11－14，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点． (1)连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD ；(2)若P 是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB ，PD ，PF ，写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)．图K －11－141．B2．[解析] A ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠A ＝50°，∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵的中点，∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°.3．[解析] B 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，由BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，得∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝40°，所以∠AOE ＝180°－3×40°＝60°.4．[解析] B 连接OB ，OC.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴△OAB ，△OBC ，△OCD 为等腰三角形．∵∠A ＝65°，∠D ＝60°，∴∠1＝180°－2∠A ＝180°－2×65°＝50°，∠2＝180°－2∠D ＝180°－2×60°＝60°.∵ABD ︵的度数为150°，∴∠AOD ＝150°，∴∠3＝∠AOD －∠1－∠2＝150°－50°－60°＝40°， ∴BC ︵的度数为40°. 5．AC ＝BE ＝DF 6．[答案] 40°[解析] ∵在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵， ∴AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝70°， ∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝40°. 7．36 1088．证明：连接OE ，如图． ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA. ∵AE ∥CD ，∴∠BOD ＝∠A ，∠DOE ＝∠OEA ， ∴∠BOD ＝∠DOE ， ∴BD ＝DE.9．证明：∵AB ＝CD ， ∴AB ︵＝CD ︵， 即AD ︵＋DB ︵＝DB ︵＋BC ︵， ∴AD ︵＝BC ︵， ∴AD ＝BC.10．证明：连接OC ，OD ，如图．∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点， ∴OM ＝ON.∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ， ∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL)， ∴∠COM ＝∠DON ，∴AC ︵＝BD ︵.11．解：四边形AOBC 是菱形．理由：连接OC ，∵C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝12×120°＝60°.∵CO ＝BO ，∴△OBC 是等边三角形，OB ＝BC ，同理△OCA 是等边三角形， ∴OA ＝AC.∵OA ＝OB ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形AOBC 是菱形．12．证明：如图，连接AG.∵AB ＝AG ，∴∠ABG ＝∠AGB.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠AGB ＝∠DAG ，∠EAD ＝∠ABG ， ∴∠DAG ＝∠EAD ，∴EF ︵＝FG ︵.13．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.又∠AOB ＋∠BOC ＋∠AOC ＝360°， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 为等边三角形．(3)过点O 作OD ⊥BC 于点D.在Rt △DOC 中，sin ∠DOC ＝DCOC ，∴DC ＝10×32＝5 3(cm)， ∴BC ＝10 3 cm ，∴△ABC 的周长为30 3 cm. 14．证明：连接AC.∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°， ∴AC ＝CD.又OA ＝OC ， ∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝45°，∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°， ∴∠ACE ＝∠AEC ， ∴AE ＝AC ， ∴AE ＝CD. [素养提升]解：(1)证明：如图，连接OB ，OF.∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB ＝∠AOF ＝60°，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ， ∴AB ＋AF ＝AD.(2)当点P 在BF ︵上时，PB ＋PF ＝PD ；当点P 在BD ︵上时，PB ＋PD ＝PF ；当点P 在DF ︵上时，PD ＋PF ＝PB.2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1一、选择题1．2017·徐州如图K －12－1，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数为( )图K －12－1A ．28° B．54° C ．18° D ．36°2．2018·聊城如图K －12－2，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC.若∠A＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )图K －12－2A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°3．2017·苏州如图K －12－3所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D.E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE.过点E 作EF ⊥OE ，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( )图K －12－3A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°4．如图K －12－4所示，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交⊙O 于点F ，则∠BAF 的度数为( )图K －12－4A ．12.5°B ．15°C ．20°D ．22.5° 二、填空题5．如图K －12－5，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是____________．图K －12－56．如图K －12－6，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝________°.图K－12－67．如图K－12－7所示，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，若∠AOB＝30°，∠BCA′＝40°，则∠BOB′＝________°.图K－12－78．如图K－12－8，经过原点O的⊙P与x轴、y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，∠CBO＝25°，则∠ACB＝________°，∠OAC＝________°.图K－12－89．如图K－12－9，在⊙O中，弦AC＝2 3，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝________．图K－12－9三、解答题10．如图K－12－10，点A，C和B都在⊙O上，且AC∥OB，BC∥OA.(1)求证：四边形ACBO为菱形；(2)求∠ACB的度数．图K－12－1011．如图K－12－11，点A，B，C在⊙O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D.求证：BE2＝ED·EA.图K－12－1112．2017·长沙模拟如图K －12－12，AB 是⊙O 的一条弦，C ，D 是⊙O 上的两个动点，且在弦AB 的异侧，连接CD.(1)已知AC ＝BC ，BA 平分∠CBD ，求证：AB ＝CD ；(2)若∠ADB ＝45°，⊙O 的半径为1，求四边形ACBD 的面积的最大值．图K －12－1213．如图K －12－13，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是ACB ︵的中点，DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ，若AE ＝10，∠ACB ＝60°，求BC 的长．图K －12－13素养提升新定义·探索性问题如图K －12－14，P 为圆外一点，PB 交⊙O 于点A ，B ，PD 交⊙O 于点C ，D ，BD ︵的度数为75°，AC ︵的度数为15°.(1)求∠P 的度数；(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括圆内角的性质．图K －12－141．D2．[解析] D ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°， ∴∠B ＝∠ADC －∠A ＝85°－60°＝25°， ∴∠O ＝2∠B ＝2×25°＝50°，∴∠C ＝∠ADC －∠O ＝85°－50°＝35°. 3．[解析] C ∵∠ACB ＝90°，∠A ＝56°， ∴∠ABC ＝34°. ∵CE ︵＝CD ︵，∴2∠ABC ＝∠COE ＝68°. 又∵∠OCF ＝∠OEF ＝90°，∴∠F ＝360°－90°－90°－68°＝112°.4．[解析] B 连接OB.∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC ＝AB.又∵OA ＝OB ＝OC ，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 为等边三角形. ∵OF ⊥OC ，OC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF ＝∠AOF ＝30°，由圆周角定理，得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.5．本题答案不唯一，如∠A ＝∠C 6．[答案] 28[解析] ∵AB ︵＝CD ︵，∴AC ︵＝BD ︵，∴∠ABC ＝∠DCB.又∵∠DCB ＝28°，∴∠ABC ＝28°. 7．[答案] 110[解析] ∵∠BCA′＝40°，∴∠BOA ′＝2∠BCA′＝80°.∵将圆心角∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到∠A′OB′，∴∠A ′OB ′＝∠AOB ＝30°，∴∠BOB ′＝∠BOA ′＋∠A′OB′＝110°. 8．90 259．[答案] 6[解析] ∵∠ABC ＝45°，∴∠AOC ＝90°. ∵OA ＝OC ＝R ，∴R 2＋R 2＝(2 3)2， 解得R ＝6，故答案为 6.10．解：(1)证明：∵AC ∥OB ，BC ∥OA ，∴四边形ACBO 为平行四边形． 又∵OA ＝OB ，∴四边形ACBO 为菱形． (2)如图，连接OC.∵四边形ACBO 为菱形，OA ＝OC ， ∴△AOC 为等边三角形，∴∠ACO ＝60°，同理∠BCO ＝60°， ∴∠ACB ＝120°.11．[解析] 欲证BE 2＝ED·EA，只需证BE ED ＝EA BE ，则只需证△BEA ∽△DEB.由于AE 平分∠BAC ，则∠BAE ＝∠CAE.因为∠EBD ＝∠CAE ，所以∠BAE ＝∠DBE.又由于∠E 为公共角，命题可证．证明：∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝∠CAE. 又∵∠CAE ＝∠DBE ， ∴∠BAE ＝∠DBE. 又∵∠E ＝∠E ， ∴△BEA ∽△DEB ， ∴BE ED ＝EA BE ， 即BE 2＝ED·EA.12．解：(1)证明：∵AC ＝BC ，∴AC ︵＝BC ︵. ∵BA 平分∠CBD ， ∴∠CBA ＝∠DBA ，∴AC ︵＝AD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD.(2)∵S 四边形ACBD ＝S △ADB ＋S △ACB .设△ADB 和△ACB 的公共边AB 上的高分别为h 1，h 2，则h 1＋h 2的最大值为⊙O 的直径，即当C 在劣弧AB 的中点、D 在优弧AB 的中点时，四边形ACBD 的面积最大，如图，连接OA ，OB ， ∵∠ADB ＝45°，∴∠AOB ＝90°. ∵AO ＝BO ＝1，∴AB ＝2，∴S 四边形ACBD ＝12AB(h 1＋h 2)＝12×2×2＝ 2.13．解：∵D 是ACB ︵的中点，∴DA ＝BD.∵∠ACB ＝60°，∠ACB 与∠ADB 是同弧所对的圆周角， ∴∠ADB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形， ∴∠DAB ＝∠DBA ＝60°， ∴∠DCB ＝∠DAB ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠E ＝∠ACB ＝60°， ∴∠DCB ＝∠E.∵∠ECD ＝∠DBA ＝60°，∴△ECD 是等边三角形，∴DE ＝CD.∵∠EAD 与∠DBC 是同弧所对的圆周角，∴∠EAD ＝∠CBD.在△EAD 和△CBD 中，∠E ＝∠DCB ，∠EAD ＝∠CBD ，ED ＝CD ， ∴△EAD ≌△CBD(AAS)，∴BC ＝AE ＝10. [素养提升]解：(1)如图①，连接AD.∵BD ︵的度数为75°，AC ︵的度数为15°，∴∠BAD ＝12×75°＝37.5°，∠ADC ＝12×15°＝7.5°，∴∠P ＝∠BAD －∠ADC ＝30°.图①图②(2)圆外角的性质：圆外角的度数等于它所对的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．理由：如图①.∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∴∠BAD ＝12×BD ︵的度数，∠ADC ＝12×AC ︵的度数，∴∠P ＝∠BAD －∠ADC ＝12(BD ︵的度数－AC ︵的度数)，∴圆外角的度数等于它所对的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．(3)把顶点在圆内，并且两边都和圆相交的角叫圆内角，性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．证明：如图②，延长BA 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点E ，连接CD.∵∠BAC 是△ACD 的一个外角， ∴∠BAC ＝∠C ＋∠D.∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∴∠C ＝12×DE ︵的度数，∠D ＝12×BC ︵的度数．∴∠BAC ＝∠C ＋∠D ＝12×DE ︵的度数＋12×BC ︵的度数＝12(DE ︵的度数＋BC ︵的度数)．。