湘教版九年级数学下册
教案全册
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
湘教版九年级数学下册教案
1．1二次函数
1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)
2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗它是什么函数呢
二、合作探究
探究点一：二次函数的相关概念
【类型一】二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y＝2－x2; (2)y＝1
x2－1；
(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.
解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝1
x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)．
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.
解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝±2，
k ≠－2，∴k ＝2.
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】 与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝1
8.
求这个二次函数中各项系数的和．
解析：
解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx
＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝1
2；x ＝－1，y ＝18分别代入函数表达式，得⎩⎨⎧c ＝0，
4a ＋2b ＋c ＝12，
a －
b ＋
c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝0，
c ＝0.所以这个二次函数的表达
式为y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为1
8.
方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．
探究点二：建立简单的二次函数模型
一个正方形的边长是12cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小长方
形．剩余部分的面积为y cm 2.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数？
(2)当x 的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？
解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．如图所示．
解：(1)y ＝122－2x (x ＋1)，又∵2x ≤12，∴0(2)当x ＝2时，y ＝－2×22－2×2＋144＝132，当x ＝4时，y ＝－2×42－2×4＋144＝104，∴当x ＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm 2或104cm 2.
方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)
2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)
一、情境导入
自由落体公式h ＝1
2gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢它是什么函数它的图象是什么形状呢
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象
已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；
(2)画出函数的图象．
解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．
解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，
k ＋2≠0，解得k ＝1；
(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．
列表：
x －1 －12 0 1
2
1 … y ＝3x
2
3 3
4 0 3
4
3 … 描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，3
4
)，(1，3)．
连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．
方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质
已知点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大
小关系是________．
解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，则y 1>y 3>y 2；
方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 1>y 3>y 2；
方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，而点(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又∵3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.
