届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案15 导数的综合应用.pdf

教案 58变量间的有关关系学目： 1.会作两个有关量的数据的散点，会利用散点量的有关关系 .2.认识最小二乘法的思想，能依据出的性回方程系数公式成立性回方程．自主梳理1．两个量的性有关(1)正有关在散点中，点分布在从__________到 ________的地区，于两个量的种有关关系，我将它称正有关．(2)有关在散点中，点分布在从________到 ________的地区，两个量的种有关关系称有关．(3)性有关关系、回直假如散点中点的分布从整体上看大概在一条直邻近，我就称两个量之拥有性有关关系，条直叫做回直．2．回方程(1)最小二乘法求回直使得本数据的点到它的________________________ 的方法叫做最小二乘法．(2)回方程^^^方程 y ＝ b x＋ a 是两个拥有性有关关系的量的一数据(x1，y1 )，(x2，y2)，⋯， (x n，^^y n)的回方程，此中 a ， b 是待定参数．自我1．以下有关性回的法，不正确的选项是()A．有关关系的两个量不必定是因果关系B．散点能直地反应数据的有关程度C．回直最能代表性有关的两个量之的关系D．任一数据都有回直方程2．(2009 海·南，宁夏 )量 x， y 有数据 (x i， y i)(i ＝1,2，⋯， 10)，得散点 (1) ；量 u，v 有数据 (u i，v i)(i ＝ 1,2，⋯， 10)，得散点 (2)．由两个散点能够判断()A．量 x 与 y 正有关， u 与 v 正有关B．量 x 与 y 正有关， u 与 v 有关C．量 x 与 y 有关， u 与 v 正有关D．量 x 与 y 有关， u 与 v 有关3．(2011 ·川模 )下表是某厂1～4 月份用水量 (位：百吨 )的一数据：月份 x1234用水量 y 4.543 2.5^由散点图可知，用水量y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其回归直线方程是y ＝^^－ 0.7x ＋a ，则 a 等于 ()A． 10.5B． 5.15C． 5.2 D ．5.254．(2010 广·东 )某市居民2005 ～ 2009 年家庭年均匀收入x(单位：万元 )与年均匀支出Y( 单位：万元 ) 的统计资料以下表所示：年份20052006200720082009收入 x11.512.11313.315支出 Y 6.88.89.81012依据统计资料，居民家庭年均匀收入的中位数是_________________________________ ，家庭年均匀收入与年均匀支出有______ 线性有关关系．5．(2011 金·陵中学模拟 )已知三点 (3,10)， (7,20)， (11,24) 的横坐标 x 与纵坐标 y 拥有线性关系，则其回归方程是________________.研究点一利用散点图判断两个变量的有关性例 1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，获取一个卖出热饮杯数与当日气温的对照表：温度－ 504712151923273136(℃ )热饮15615013212813011610489937654杯数(1)画出散点图；(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？变式迁徙1某班5个学生的数学和物理成绩如表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们能否有有关关系？研究点二求回归直线方程例 2 假定对于某设施的使用年限x 和所支出的维修花费y(万元 ) 有以下统计资料：使用年限 x23456维修花费 y 2.2 3.8 5.5 6.57.0^^^若由资料知 y 对 x 呈线性有关关系．试求回归方程y ＝ b x＋a .变式迁徙2已知变量x 与变量 y 有以下对应数据：x1234y 1323 22且 y 对 x 呈线性有关关系，求y 对 x 的回归直线方程．研究点三利用回归方程对整体进行预计例 3 下表供给了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组比较数据．x3456y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；^^^(2)请依据上表供给的数据，用最小二乘法求出y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ；(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤．试依据(2)求出的回归方程，展望生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参照数值： 3×2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5)变式迁徙 3 (2011 ·盐城期末 )某单位为了认识用电量y 度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温 (℃)181310－ 1用电量 (度 )24343864^^^^由表中数据得回归方程y ＝ b x＋a 中 b ＝－ 2，展望当气温为－ 4℃时，用电量的度数约为 ________．1．有关关系与函数关系不一样．函数关系中的两个变量间是一种确立性关系．而有关关系是一种非确立性关系，即有关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而有关关系不必定是因果关系，也可能是陪伴关系．2．回归直线方程：设x 与 y 是拥有有关关系的两个变量，且相应于n 个观察值的n 个点大概分布在某一条直线的邻近，就能够以为y 对 x 的回归函数的种类为直线型：^^^y＝ b x＋ a .此中我们称这个方程为y 对 x 的回归直线方程．此中x ＝1ni，y＝1 ni，( x，y )称为∑∑n i ＝1xn i＝ 1y样本点的中心．n n^ 3．求回归直线方程的步骤：(1) 计算出 x 、 y 、∑x i2、∑x i y i的值； (2) 计算回归系数 a 、i ＝1i＝ 1^^^^b； (3) 写出回归直线方程 y ＝ b x＋ a .(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1．以下命题：①线性回归方法就是由样本点去找寻一条切近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图能够直观判断两个变量的关系能否能够用线性关系表示；^^^^③经过回归直线y 此中正确的命题是A．①②＝b x＋ a 及回归系数 b ，能够预计和展望变量的取值和变化趋向．()B．①③C．②③D．①②③^2．设有一个回归直线方程为y ＝ 2－ 1.5x，则变量x 增添一个单位时() A． y 均匀增添 1.5 个单位B． y 均匀增添 2 个单位C． y 均匀减少 1.5 个单位D． y 均匀减少 2 个单位3．(2011 ·西 ) (x 1， y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n) 是量 x 和 y 的 n 个本点，直l 是由些本点通最小二乘法获取的性回直(如 )，以下中正确的选项是 ()A． x 和 y 的有关系数直l 的斜率B． x 和 y 的有关系数在 0 到 1 之C．当 n 偶数，分布在l 两的本点的个数必定同样D．直 l 点 ( x ， y )4．(2011 山· ) 某品的广告用x 与售 y 的数据以下表：广告用 x(万元 )4235售 y(万元 )49263954^^^^依据上表可得性回方程y ＝b x＋ a 中的 b9.4，据此模型广告用 6 万元售 ()A． 63.6 万元B． 65.5 万元C． 67.7 万元D． 72.0 万元5．(2011 青· 模 )了观察两个量x 和 y 之的性有关性，甲、乙两位同学各自独立做了 10 次和 15 次，而且利用性回方法，求得回直分l1、 l2，已知两人所得的数据中，量 x 和 y 的数据的均匀都相等，且分是s、t ，那么以下法中正确的是 ()A．直 l1和 l2必定有公共点 (s， t)B．直 l1和 l2订交，但交点不必定是(s，t)C．必有 l1∥ l 2D． l1与 l 2必然重合二、填空 (每小 4 分，共 12分 )6．以下关系中，是有关关系的________． (填序号 )①学生的学度与学成之的关系；②教的教水平与学生的学成之的关系；③学生的身高与学生的学成之的关系；④家庭的条件与学生的学成之的关系．(12.5,8.25)，回直的回7．已知回直的斜率的估是 0.73，本点的中心方程是______________ ．8．(2011 ·名月考茂 )在研究硝酸的可溶性程度，它在不一样温度的水中的溶解度，得果以下表：温度 (x)010205070溶解度 (y)66.776.085.0112.3128.0由此获取回直的斜率________．三、解答 (共 38 分 )9．(12 分 )(2011 威·海模 )某了定工定，需要确立加工部件所花的，此做了四次，获取的数据以下：部件的个数 x(个 )2345加工的 y(小 ) 2.534 4.5(1)在定的坐系中画出表中数据的散点；^^^(2)求出 y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ，并在座标系中画出回归直线；(3)试展望加工10 个部件需要多少时间？n^∑ x i y i－ n x y ^^(注： b ＝i＝ 1， a ＝ y － b x )n∑ x i2－ n x 2i ＝110． (12 分 )(2010 许·昌模拟 )某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元 ) 之间有以下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试展望宣传费支出为10 万元时，销售额多大？11． (14 分) 某公司上半年产品产量与单位成本资料以下：月份产量 (千件 )单位成本(元)127323723471437354696568(1)求出回归方程；(2)指出产量每增添 1 000 件时，单位成本均匀改动多少？(3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？教案 58变量间的有关关系自主梳理1．(1)左下角右上角(2)左上角右下角 2.(1)距离的平方和最小n n∑ x i－ x y i－ y∑ x i y i－ n x yi＝1i＝1(2)n n∑ x i－ x 2∑ x i2－ n x 2i＝ 1i＝ 1^y － b x自我检测1．D 2.C 3.D^7234．13正 5.y ＝4x＋4讲堂活动区例 1 解题导引判断变量间能否线性有关，一种常用的简易可行的方法就是作散点图．散点图是由大批数据点分布组成的，是定义在拥有有关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地剖析它们有没关系及关系的亲密程度．解 (1) 以 x 轴表示温度，以 y 轴表示热饮杯数，可作散点图，以下图．(2)从图中能够看出，各点分布在从左上角到右下角的地区里，所以，气温与热饮销售杯数之间是负有关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图能够看出，这些点大概分布在一条直线邻近．变式迁徙1解以x轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图以以下图所示：由散点图可见，二者之间拥有有关关系．例 2 解题导引依据题目给出的数据，利用公式求回归系数，而后获取回归方程．解制表以下：i12345共计x i2345620y i 2.2 3.8 5.5 6.57.025x i y i 4.411.422.032.542.0112.3x i 2491625369055x ＝ 4； y ＝5； ∑ x2i ＝ 90；∑ x i y i ＝112.3i ＝1i ＝1^112.3－ 5× 4×5于是有 b＝2＝ 12.3＝ 1.23；^^90－ 5× 410a ＝ y －b x＝5－ 1.23×4＝ 0.08.^∴回归直线方程为 y ＝ 1.23x ＋ 0.08.变式迁徙 2解x ＝ 1＋ 2＋ 3＋4 54＝ 2，1＋3＋2＋ 322＝ 7，y ＝4n4 ∑x i 2＝12＋ 22＋ 32＋ 42＝ 30，i ＝1n3＋3× 2＋ 4× 3＝ 43，∑x i y i ＝1× 1＋ 2×i ＝1 n 22243－ 4×5× 7^∑ x i y i －n x y∴b i ＝1＝ 22 4＝n25 ＝ 0.8，2 230－ 4×∑＝ x i － n x4i 1^^5＝－ 0.25，a ＝ y －b x ＝7－ 0.8×42^∴ y ＝ 0.8x －0.25.例 3 解题导引 利用描点法获取散点图，按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程，最后对整体进行预计．利用回归方程能够进行展望，回归方程将部分观察值所反应的规律进行延长，是我们对有线性有关关系的两个变量进行剖析和控制，依照自变量的取值预计和预告因变量值的基础和依照，有宽泛的应用．解 (1) 散点图：(2) x ＝ 3＋4＋ 5＋ 6 ＝4.5， y ＝ 2.5＋ 3＋ 4＋ 4.5＝3.5，4 4 4∑x i y i ＝3× 2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5.i ＝14 ∑x 2i ＝32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86，i ＝14^∑i ＝1x i y i －4 x y ∴b ＝ 4∑i ＝1x 2i － 4 x 266.5－ 4× 4.5× 3.5＝86－ 4× 4.52＝0.7，^^a ＝ y －b x ＝3.5－ 0.7× 4.5＝ 0.35.^∴所求的回归方程为 y ＝ 0.7x ＋ 0.35. (3)此刻生产 100 吨甲产品用煤^y ＝ 0.7× 100＋ 0.35＝70.35，∴降低 90－ 70.35＝ 19.65(吨标准煤 )． 变式迁徙 3 68 分析x ＝ 10， y ＝ 40，回归方程过点( x ， y )，^^∴40＝－ 2× 10＋ a .∴a ＝ 60. ^∴ y ＝－ 2x ＋ 60.^令 x ＝－ 4，y ＝ (－ 2)× (－ 4)＋ 60＝68. 课后练习区1．D [依据线性回归的含义、方法、作用剖析这三个命题都是正确的． ]2．C[设(x 1， y 1)， (x 2 ，y 2)在直线上，若 x 2＝x 1＋ 1，则 y 2－ y 1＝ (2－ 1.5x 2)－ (2－ 1.5x 1)＝ 1.5(x 1－x 2 )＝－ 1.5， y 均匀减少 1.5个单位． ]3．D [由于有关系数是表示两个变量能否拥有线性有关关系的一个值，它的绝对值越接近 1，两个变量的线性有关程度越强，所以 A 、B 错误． C 中 n 为偶数时，分布在 l 双侧的样本点的个数能够不同样，所以 C 错误．依据线性回归方程必定经过样本中心点可知D 正确．所以选 D .]4＋ 2＋ 3＋5＝ 7， y ＝ 49＋ 26＋ 39＋ 544．B [∵x ＝44 ＝ 42，2^^^7^ ^又y ＝ b x ＋a 必过 ( x， y ) ，∴ 42＝ 2× 9.4＋ a ， ∴a ＝ 9.1.^∴线性回归方程为 y ＝ 9.4x ＋ 9.1.^∴当x ＝ 6 时， y ＝ 9.4×6＋ 9.1＝65.5(万元 )． ]^^^^^5．A[回归直线方程为 y＝ b x ＋a.而 a ＝ y － b x ，^^^^即a ＝ t －b s ， t ＝ b s ＋ a .∴(s ，t) 在回归直线上． ∴直线 l 1 和 l 2 必定有公共点 (s ， t)． ] 6．①② 分析①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但拥有有关性，是有关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是有关关系．③④都不具备有关关系．^7.y ＝ 0.73x － 0.875^ ^分析 a ＝ y － bx ＝8.25－ 0.73× 12.5＝－ 0.875.8．0.880 9分析x ＝ 30， y ＝ 93.6，5 5∑x i 2＝7 900， ∑x i y i ＝ 17 035，i ＝1i ＝ 1∴回归直线的斜率为5^∑ i i － 5 xy17 035－ 5× 30× 93.6 i ＝1x yb ＝5＝ ≈0.880 9.∑x i 2－ 5 x27 900－ 4 500i ＝ 19．解(1)散点图以下图．(4 分 )4 (2)由表中数据得 ∑x i y i ＝ 52.5，i ＝14x ＝ 3.5， y ＝ 3.5， ∑x 2i ＝54，i ＝1 ^ ^^∴b ＝ 0.7.∴a ＝ y － b x ＝ 1.05.^∴ y ＝ 0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示． (10 分 ) (3)将 x ＝ 10 代入回归直线方程， 得 y ＝ 0.7×10＋ 1.05＝8.05( 小时 )，∴展望加工 10 个部件需要 8.05 小时． (12 分 )10． 解 (1)依据表中所列数据可得散点图以下图：(4 分)25250(2)计算得： x ＝ 5＝5， y ＝ 5 ＝ 50，55∑ i2＝145， ∑ i y i ＝1 380.i ＝ 1xi ＝1x5－ 5 xy^∑1 380－ 5×5× 50i ＝ 1x i y i，于是可得 b＝522 ＝ 5×5 2＝6.5－5 x 145－∑ x i^^i ＝1a ＝ y －b x ＝50－ 6.5×5＝ 17.5，^所以，所求回归直线方程是 y ＝ 6.5x ＋ 17.5.(10 分 )^(3)由上边求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为10 万元时， y ＝ 6.5× 10＋ 17.5＝82.5(万元 )，即这类产品的销售大概为82.5 万元． (12 分 )6611． 解(1)n ＝ 6， ∑x i ＝ 21， ∑y i ＝ 426， x ＝ 3.5， y ＝ 71，i ＝1i ＝ 166∑x i 2＝79， ∑x i y i ＝ 1 481，i ＝ 16i ＝1^∑ i i － 6 xy1 481－ 6×3.5× 71i ＝1x yb ＝6i 2－ 6 x 2 ＝ 79－ 6× 3.52≈－1.82.∑i ＝ 1x(3 分)2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]^^a＝ y － b x ＝71＋ 1.82× 3.5＝ 77.37.(5 分 )^^^∴回归方程为 y ＝ a ＋bx＝ 77.37－1.82x.(6 分 )^(2)由于单位成本均匀改动 b ＝－ 1.82<0 ，且产量 x 的计量单位是千件，所以依据回归系数b 的意义有：产量每增添一个单位即 1 000 件时，单位成本均匀减少 1.82 元． (10 分)(3)当产量为 6 000 件时，即 x＝ 6，代入回归方程：^y ＝ 77.37－1.82× 6＝66.45(元 )．∴当产量为 6 000 件时，单位成本为66.45 元．(14 分)-11-。

§2.7 函数的图象1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1). (3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a ＞1横坐标缩短为原来的a倍，纵坐标不变0＜a ＜1横坐标伸长为原来的1y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――→a ＞1纵坐标伸长为原来的横坐标不变＜a ＜1纵坐标缩短为原来的a 倍y ＝af (x ).(4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |). 知识拓展1.关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ,b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x ),则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x ∈(0,＋∞)时,函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同.( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a ＞0且a ≠1)的图象相同.( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称.( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x ),则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( √ ) 题组二 教材改编2.[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于( )A.y 轴对称B.x 轴对称C.原点对称D.直线y ＝x 对称答案 C解析 函数f (x )的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)且f (－x )＝－f (x ),即函数f (x )为奇函数,故选C.3.[P23T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C. 4.[P75A 组T10]如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是__________.答案 (－1,1]解析 在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(－1,1].题组三 易错自纠5.下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案 C6.将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象.答案 f (－x ＋1)解析 图象向右平移1个单位长度,是将f (－x )中的x 变成x －1.7.设f (x )＝|lg(x －1)|,若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b ),则ab 的取值范围是________. 答案 (4,＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示.由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1),解得ab ＝a ＋b ＞2ab (由于a ＜b ,故取不到等号),所以ab ＞4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象,保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分,再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分,即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象,如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象,如图②实线部分.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数,先用描点法作出[0,＋∞)上的图象,再根据对称性作出(－∞,0)上的图象,如图③实线部分.思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数.(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序. 题型二 函数图象的辨识典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0,且当x ＞0时,f (x )＝ln(x ＋1),则函数f (x )的大致图象为( )答案 A解析 f (x )为奇函数,图象关于原点对称,将y ＝ln x (x ＞1)的图象向左平移1个单位得到y ＝ln(x ＋1)(x ＞0)的图象.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 方法一 由y ＝f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时,2－x ∈[0,2],所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二 当x ＝0时,－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时,－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项,可知应选B.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性； (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.跟踪训练 (1)(2018届全国名校联考)函数y ＝|x |a xx(a ＞1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0，－a x ，x <0(a ＞1),对照图象选C.(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )答案 B解析 y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数,当x ≥0时,y ＝log 2(x ＋1)是增函数,其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到,且过点(0,0),(1,1),只有选项B 满足.题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质典例 (1)设函数y ＝2x －1x －2,关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点,这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称. 其中正确的是________. 答案 ②③解析 y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2,图象如图所示,可知②③正确.(2)(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm ＝________.答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象,观察可知0＜m ＜1＜n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,从图象分析应有f (m 2)＝2,∴log 3m 2＝－2,∴m 2＝19.从而m ＝13,n ＝3,故nm ＝9.命题点2 解不等式典例 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式f (x )cos x ＜0的解集为________________.答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,y ＝cos x ＞0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时,y ＝cos x ＜0. 结合y ＝f (x ),x ∈[0,4]上的图象知,当1＜x ＜π2时,f (x )cos x ＜0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数,所以在[－4,0]上,f (x )cos x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1, 所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 命题点3 求参数的取值范围典例 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值范围是________.答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象,如图所示,由图可知k ∈(0,1].(2)设函数f (x )＝|x ＋a |,g (x )＝x －1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－1,＋∞)解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象,观察图象可知,当且仅当－a ≤1,即a ≥－1时,不等式f (x )≥g (x )恒成立,因此a 的取值范围是[－1,＋∞).思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系.(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题.跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1,g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象,如图所示,当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12,故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时,k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧,如图所示,则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是__________.答案 (－1,0)∪(1,2]解析 由图象可知,函数f (x )为奇函数,故原不等式可等价转化为f (x )＞－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象,由图象可知不等式的解集为 (－1,0)∪(1,2].高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提. 一、函数的图象和解析式问题典例1 (1)(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )(2)已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝ln|x |xB.f (x )＝e xxC.f (x )＝1x 2－1D.f (x )＝x －1x解析 (1)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),且图象关于x ＝1对称,排除B,C.取特殊值,当x ＝12时,f (x )＝2ln 12＜0,故选D.(2)由函数图象可知,函数f (x )为奇函数,应排除B,C.若函数为f (x )＝x －1x ,则x →＋∞时,f (x )→＋∞,排除D,故选A. 答案 (1)D (2)A 二、函数图象的变换问题典例2 若函数y ＝f (x )的图象如图所示,则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象,需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象,然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象,根据上述步骤可知C 正确. 答案 C三、函数图象的应用典例3 (1)若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )A.(－∞,－1)B.(－1,2)C.(0,2)D.(1,2)解析 根据图象可知,函数图象过原点, 即f (0)＝0,∴m ≠0.当x ＞0时,f (x )＞0,∴2－m ＞0,即m ＜2, 函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的, ∴f ′(x )＞0在[－1,1]上恒成立, f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2＞0,∵m －2＜0,∴只需要x 2－m ＜0在[－1,1]上恒成立, ∴(x 2－m )max ＜0,∴m ＞1, 综上所述,1＜m ＜2,故选D. 答案 D(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 018x ，x >1，若a ,b ,c 互不相等,且f (a )＝f (b )＝f (c ),则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A.(1,2 018) B.[1,2 018] C.(2,2 019)D.[2,2 019]解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 018x ，x >1的图象如图所示,不妨令a ＜b ＜c ,由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1,而1＜c ＜2 018, 所以2＜a ＋b ＋c ＜2 019,故选C. 答案 C1.(2018届珠海二中月考)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 易知x →＋∞时,y →＋∞,排除C ；x →－∞时,y →－∞,排除D ；又当x ＝2和x ＝4时,y ＝0,故选A.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，13log x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 方法一 画出y ＝f (x )的图象,再作其关于y 轴对称的图象,得到y ＝f (－x )的图象,再将所得图象向右平移1个单位,得到y ＝f (－(x －1))＝f (－x ＋1)的图象.方法二 ∵y ＝f (1－x )过点(0,3),可排除A ；过点(1,1),可排除B ；又x ＝－12时,f (1－x )＝f ⎝⎛⎭⎫32＜0,可排除D.故选C.3.(2018届全国名校联考)函数f (x )＝e 2x ＋1e x (e 是自然对数的底数)的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵f (x )＝e x ＋e －x ,∴f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称.4.已知函数f (x )＝2ln x ,g (x )＝x 2－4x ＋5,则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 在平面直角坐标系内作出f (x ),g (x )的图象如图所示,由已知g (x )＝(x －2)2＋1,得其顶点为(2,1),又f (2)＝2ln 2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方,故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)的解析式为()A.f(x)＝e x＋1B.f(x)＝e x－1C.f(x)＝e－x＋1D.f(x)＝e－x－1答案 D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位,得y ＝e－x的图象.∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1),给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞,2)上是减函数,在区间(2,＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.0答案 B解析作出f(x)的图象,可知f(x)在(－∞,2)上是减函数,在(2,＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.7.函数f(x)＝|x|－cos x在(－∞,＋∞)内有______个零点.答案 2解析在同一坐标系内画出两个函数y1＝|x|和y2＝cos x的图象如图所示.这两个函数的图象有且只有2个交点,即函数f(x)有2个零点.8.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的偶函数,在区间(－∞,0)上是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________.答案{x|x≤0或1＜x≤2}解析画出f(x)的大致图象如图所示.不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1＜x ≤2}.9.(2017·银川调研)给定min{a ,b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4,若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点,则实数m 的取值范围为__________. 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象,函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示,由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点,数形结合可得m 的取值范围为(4,5).10.已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点,画出函数f (x )的图象(图略),易知c ＝1,且方程f (x )＝c 的一根为0,令lg|x |＝1,解得x ＝－10或10,故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10,所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11.函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________. 答案 6解析 作出函数y ＝ln|x －1|的图象,又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2,如图所示,两图象都关于直线x ＝1对称,且共有6个交点,由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.12.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间,并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}. 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时,x ≤1或x ≥3,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞,1],(2,3),(1,2],[3,＋∞),其中(－∞,1],(2,3)是单调减区间；(1,2],[3,＋∞)是单调增区间.(3)由f (x )的图象知,当0＜m ＜1时,f (x )＝m 有四个不相等的实根,所以M ＝{m |0＜m ＜1}.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1,x 2∈R ,若0＜|x 1|＜|x 2|,下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)＜0B.f (x 1)＋f (x 2)＞0C.f (x 1)－f (x 2)＞0D.f (x 1)－f (x 2)＜0答案 D解析 函数f (x )的图象如图实线部分所示,且f (－x )＝f (x ),从而函数f (x )是偶函数且在[0,＋∞)上是增函数, 又0＜|x 1|＜|x 2|,∴f (x 2)＞f (x 1),即f (x 1)－f (x 2)＜0.14.已知f (x )是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝x ,且在[－1,3]内,关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ,k ≠－1)有四个根,则k 的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示,记y ＝k (x ＋1)＋1,∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1). 记B (2,0),由图象知,方程有四个根,即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点, 故k AB ＜k ＜0,k AB ＝0－12－(－1)＝－13,∴－13＜k ＜0.15.(2017·黄山二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，－－x ，x ≤0与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A.R B.(－∞,－e] C.[e,＋∞) D.∅答案 C解析 设函数h (x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称,则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧ln (－x )，x <0，－x ，x ≥0，作出h (x )与g (x )的函数图象如图所示.∵f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点, ∴函数h (x )与函数g (x )的图象有交点, ∴－a ≤－e,即a ≥e.故选C.16.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax,且g (x )在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围.解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ,y ),则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在函数h (x )的图象上,即2－y ＝－x －1x ＋2,∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0).(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ,g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数,∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立,即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立,∴a ＋1≥4,即a ≥3,故实数a 的取值范围是[3,＋∞).。

课时3 导数与函数的综合问题题型一 用导数解决与不等式有关的问题 命题点1 解不等式例1 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是_________． 答案 (－∞，－2)∪(0,2) 解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f x x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 命题点2 证明不等式 例2 证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明 记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0， 即sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ， 则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0， 所以H (x )在[0,1]上是减函数， 则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． 命题点3 不等式恒成立问题 例3 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x2x，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0.∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1， ∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．思维升华 (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．设a ∈R ，已知函数f (x )＝ax 3－3x 2.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ∈[1,3]，有f (x )＋f ′(x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2， 则f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )>0，得x <0或x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)依题意，对∀x ∈[1,3]，ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ≤0恒成立，等价于不等式a ≤3x 2＋6x x 3＋3x 2＝3x ＋6x 2＋3x对x ∈[1,3]恒成立．令h (x )＝3x ＋6x 2＋3x，x ∈[1,3]， 则h ′(x )＝－3x 2＋4x ＋6x 2＋3x 2＝－3[x ＋22＋2]x 2＋3x 2<0，所以h (x )在区间[1,3]上是减函数， 所以h (x )的最小值为h (3)＝56.所以a ≤56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56. 题型二 利用导数解决函数零点问题例4 (2014·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．思维升华 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 解 f ′(x )＝x (2＋cos x )， 令f ′(x )＝0，得x ＝0.∴当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增． 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上递减． ∴f (x )的最小值为f (0)＝1.∵函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点． 综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)． 题型三 利用导数解决生活中的优化问题例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0. 所以当x ＝40时，y 有最小值．一审条件挖隐含典例 (14分)设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M (正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ↓挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质 ↓g (x )max －g (x )min ≥M↓求得M 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )↓ (理解“任意”的含义)f (x )min ≥g (x )max↓求得g (x )max ＝1ax＋x ln x ≥1恒成立 ↓分离参数aa ≥x －x 2ln x 恒成立↓求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值a ≥h (x )max ＝h (1)＝1↓a ≥1 规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分] 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．令g ′(x )>0得x <0，或x >23.[3分]又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.[6分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[8分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0； 当12<x <1时，h ′(x )>0.[11分] 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max＝h (1)＝1，[13分]所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[14分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题．[方法与技巧]1．用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[失误与防范]1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ≤0，ln x ＋1x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__________．答案 [－2,0] 解析 |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x ≤0，1ln x ＋1≥ax x >0， 2成立．①由(1)得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立． 当x ＝0时，a ∈R ；当x <0时，有x －2≤a 恒成立， 所以a ≥－2.故a ≥－2.②由(2)得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x >0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x >0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )>0，故h (x )为增函数， 所以h (x )>h (0)＝0恒成立； 当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)， 所以h ′(x )＝1x ＋1－a <0，故h (x )为减函数， 所以h (x )<h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0<a <1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0>0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0<0成立．如a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2<0成立，可知0<a <1时，不符合题意．故a ≤0.由①②可知a 的取值范围是[－2,0]．2．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a <c <b解析 构造函数h (x )＝xf (x )， 则h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴h (x )是定义在R 上的偶函数．当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0， ∴此时函数h (x )单调递增．∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又12<ln 2<2，∴a <c <b . 3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9解析 由题意得f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，易知此时f (x )在x ＝1处有极小值，满足题意，∴ab 的最大值为9.5．设f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )·g ′(x )<0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反．若函数f (x )＝13x 3－2ax (a >0)与g (x )＝x 2＋2bx在区间(a ，b )上单调性相反，则b －a 的最大值为________． 答案 12解析 由题意知f ′(x )＝x 2－2a ，g ′(x )＝2x ＋2b ，函数f (x )与g (x )在区间(a ，b )上单调性相反，则有(x 2－2a )·(2x ＋2b )<0在x ∈(a ，b )上恒成立，又0<a <b ，所以2x ＋2b >0，于x 2－2a <0在x ∈(a ，b )上恒成立．x 2－2a <0的解集为(－2a ，2a )，所以(a ，b )⊆(－2a ，2a )，所以b －a ≤2a －a ＝－(a －12)2＋12，当a ＝12，b ＝1时，b －a 取得最大值12. 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．答案 2解析 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0，∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2，当且仅当a ＝c 时“＝”成立．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2 016) 解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，所以[x 2f (x )]′<x 3<0. 令F (x )＝x 2f (x )(x <0)， 则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2 014)＝(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0， 即为F (x ＋2 014)－F (－2)>0，即F (x ＋2 014)>F (－2)， 又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数， 所以x ＋2 014<－2，所以x <－2 016.8．若对于任意实数x ≥0，函数f (x )＝e x＋ax 恒大于零，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－e ，＋∞)解析 ∵当x ≥0时，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． ∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． 若x >0，f (x )＝e x＋ax >0恒成立， 即当x >0时，a >－ex x恒成立．设Q (x )＝－e x x .Q ′(x )＝－e x x －exx 2＝1－x exx 2.当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)． 9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘↗故f(x)单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r ＝5或－5(因为r ＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数g (x )＝f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是________．(填序号)答案 ④解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa＝1，④中图象一定不满足条件．12．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]， g ′(x )＝3x 3－3x －1·3x2x 6＝－6x －12x4. g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表：x (0，12)12 (12，1) g ′(x ) ＋ 0 － g (x )↗极大值4↘因此g (x )则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，若a >0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意． 则a <0，由图象f (0)＝1>0知，此时必有0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <1，即0<a ·8a3－3·4a2＋1<1，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2. 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，fe ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.15．已知函数f (x )＝ln x ＋1x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，x >0.令f ′(x )>0，得x >1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，得0<x <1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0,1)．综上，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)， 单调减区间为(0,1)． (2)依题意，ma <f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e .∴ma <1e ，即ma －1e <0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ×1－1e ≤0，m ×－1－1e≤0，解得－1e ≤m ≤1e .∴m 的取值范围是[－1e ，1e]．。

教案 50直线、圆的地点关系导学目标： 1.能依据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的地点关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，领会用代数方法办理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的地点关系地点关系有三种：________、 ________、________.判断直线与圆的地点关系常有的有两种方法：(1)代数法：利用鉴别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或 y 整理成一元二次方程后，计算鉴别式(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r ? ________， d＝ r ? ________， d>r? ________.2．圆的切线方程若圆的方程为 x2＋ y2＝ r 2，点 P(x0， y0)在圆上，则过P 点且与圆 x2＋y2＝ r2相切的切线方程为 ____________________________ ．注：点 P 一定在圆 x2＋ y2＝r 2上．经过圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2上点 P(x0， y0)的切线方程为 ________________________ ．3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距 (即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径组成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋ k2|x A－ x B|＝1＋ k2 [ x A＋ x B2－ 4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．圆与圆的地点关系(1)圆与圆的地点关系可分为五种：________、________、________、________、________.判断圆与圆的地点关系常用方法：(几何法 )设两圆圆心分别为 O1、O2，半径为 r1、r 2 (r1≠ r2)，则 |O1O2 |>r 1＋ r2________；|O1O2| ＝ r1＋ r 2______ ； |r 1－ r2 |<|O1O2|<r 1＋ r2________ ； |O1O2| ＝ |r 1－r2 |________； 0≤ |O1O2|<|r1－r2 |________．(2)已知两圆x2＋ y2＋ D 1x＋E1y＋ F 1＝ 0 和 x2＋y2＋ D2x＋ E2 y＋ F 2＝ 0 订交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________ ，其中λ为λ≠－ 1 的随意常数，所以圆系不包含第二个圆．当λ＝－ 1 时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－ D 2)x＋ (E1－E2) y＋ (F1－F 2)＝ 0.自我检测1．(2010·西江) 直线 y＝ kx＋ 3 与圆 (x－ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 4 订交于 M，N 两点，若 |MN|≥ 23，则 k 的取值范围是 ()3A.－，03B.－∞，－∪ [0，＋∞ )33C.－，D.－2， 0 32．圆 x2＋ y2－ 4x＝ 0 在点 P(1，3)处的切线方程为 ()A ． x＋ 3y－ 2＝0B ． x＋ 3y－ 4＝ 0C． x－ 3y＋ 4＝0 D ． x－ 3y＋ 2＝ 03．(2011 ·夏调研宁)圆 C1： x2＋ y2＋ 2x＋2y－ 2＝ 0 与圆 C2： x2＋ y2－ 4x－2y＋ 1＝ 0 的公切线有且仅有 ()A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条4．过点 (0,1)的直线与 x2＋ y2＝ 4订交于 A、B 两点，则 |AB|的最小值为 ()A ． 2B．2 3C． 3D．2 55．(2011 ·城月考聊)直线 y＝ x＋ 1 与圆 x2＋ y2＝ 1 的地点关系是 ()A ．相切B ．订交但直线可是圆心C．直线过圆心 D ．相离研究点一直线与圆的地点关系例 1 已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 3＝ 0.(1)若圆 C 的切线在x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有 |PM|＝ |PO|，求使得 |PM|获得最小值时点 P 的坐标．变式迁徙 1 从圆 C：( x－1)2＋(y－ 1)2＝ 1 外一点 P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．研究点二圆的弦长、中点弦问题例 2 (2011 ·汉沽模拟 )已知点 P(0,5)及圆 C： x2＋ y2＋ 4x－ 12y＋ 24＝ 0.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程；(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程．变式迁徙2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：无论k 取何值，直线和圆总有两个不一样交点；(2)求当 k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．研究点三圆与圆的地点关系例 3 已知圆 C1：x2＋ y2－2mx＋ 4y＋ m2－ 5＝ 0，圆 C2：x2＋ y2＋ 2x－ 2my＋ m2－ 3＝ 0，m为什么值时，(1)圆 C1与圆 C2相外切； (2)圆 C1与圆 C2内含．变式迁徙 3 已知⊙ A： x2＋ y2＋ 2x＋ 2y－ 2＝ 0，⊙ B： x2＋ y2－ 2ax－ 2by＋ a2－ 1＝0.当 a，b 变化时，若⊙ B 一直均分⊙ A 的周长，求：(1)⊙ B 的圆心 B 的轨迹方程；(2)⊙ B 的半径最小时圆的方程．研究点四综合应用22－ 1 对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．变式迁徙4已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线 l 与圆 C： (x－2)2＋( y－3) 2＝ 1 订交于 M、N两点．(1)务实数 k 的取值范围；→→(2)若 O 为坐标原点，且OM ·ON＝ 12，求 k 的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长相关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半组成的直角三角形，也能够运用弦长公式．这就是往常所说的“几何法”和“代数法”．3．判断两圆的地点关系，从圆心距和两圆半径的关系下手．(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25分 )1．直线 l ： y－ 1＝k(x－1)和圆 x2＋ y2－ 2y＝ 0 的地点关系是 ()A ．相离B ．相切或订交C．订交 D ．相切2．(2011 珠·海模拟 ) 直线3x－ y＋ m＝ 0 与圆 x2＋y2－2x－ 2＝ 0 相切，则实数 m 等于 ()C．－3 3或 3D．－3 3或 3 33．过原点且倾斜角为60°的直线被圆 x2＋ y2－ 4y＝ 0 所截得的弦长为 ()A.3 B ． 2C.6D．2 34．若圆 (x－ 3)2＋ (y＋ 5)2＝ r 2上有且仅有两个点到直线4x－ 3y－ 2＝ 0 的距离为1，则半径r 的取值范围是 ()A ． (4,6)B ． [4,6)C． (4,6] D ．[4,6]5．(2010 全·国Ⅰ )已知圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线，A、 B 为两切点，那→ →)么 PA·PB的最小值为 (A．－ 4＋ 2B．－ 3＋ 2C．－ 4＋2 2D．－3＋2 2二、填空题 (每题 4 分，共 12 分 )6．若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a>0) 的公共弦的长为 2 3，则 a＝ ________.7．(2011 ·明模拟三 )已知点 A 是圆 C：x2＋ y2＋ ax＋ 4y－ 5＝ 0 上随意一点， A 点对于直线 x ＋2y－ 1＝0 的对称点也在圆 C 上，则实数 a＝ ________.8．(2011 杭·州高三调研 )设直线 3x＋4y－ 5＝ 0 与圆C1： x2＋ y2＝4交于 A， B 两点，若圆C2的圆心在线段 AB 上，且圆 C2与圆 C1相切，切点在圆C1的劣弧AB 上，则圆C2的半径的最大值是 ________．三、解答题 (共 38 分 )9．(12 分 )圆 x2＋ y2＝ 8 内一点 P(－1,2)，过点 P 的直线 l 的倾斜角为α，直线l交圆于A、B 两点．3π(1)当α＝时，求 AB 的长；4(2)当弦 AB 被点 P 均分时，求直线l 的方程．10． (12 分)(2011 湛·江模拟 )自点 A(－ 3,3)发出的光芒 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在直线与圆 x2＋ y2－ 4x－ 4y＋7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程．11． (14 分) 已知两圆x2＋ y2－ 2x－ 6y－ 1＝0 和 x2＋ y2－ 10x－12y＋ m＝ 0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m＝45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．教案 50直线、圆的地点关系自主梳理2.x0x＋ y0y＝ r 21．相切订交相离(1) 订交相切相离(2) 订交相切相离(x0－ a)(x － a)＋ (y0－ b)(y － b)＝ r2 4.(1)相离外切订交内切内含相离外切订交内切内含(2)(x 2＋y2＋ D1x＋E1y＋ F1)＋λ(x 2＋ y2＋ D2x＋ E2y＋ F2)＝ 0自我检测1．A 2.D 3.B 4.B 5.B讲堂活动区例 1解题导引(1) 过点 P 作圆的切线有三种种类：当P 在圆外时，有2 条切线；当P 在圆上时，有1 条切线；当 P 在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，必定要注意直线方程的存在性，有时要进行适合分类．(3)切线长的求法：过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线，切点为M ，半径为R，则|PM|＝ |PC|2－ R2.解 (1) 将圆 C 配方得 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝ kx ，|k＋ 2|由＝2，解得 k＝ 2± 6，得 y＝ (2 ± 6)x.1＋ k2②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋ y－ a＝ 0，|－ 1＋ 2－ a|2，由＝2得|a－ 1|＝ 2，即 a＝－ 1，或 a＝ 3.∴直线方程为 x＋ y＋1＝ 0，或 x＋ y－ 3＝0.综上，圆的切线方程为y＝ (2＋6)x ，或 y＝ (2－6)x ，或 x＋ y＋ 1＝0，或 x＋ y－ 3＝ 0.(2)由 |PO|＝ |PM|，得 x21＋ y21＝ (x1＋ 1)2＋(y1－ 2) 2－2，整理得 2x1－ 4y1＋ 3＝ 0.即点 P 在直线 l ：2x－ 4y＋ 3＝ 0 上．当|PM|取最小值时，即 OP 获得最小值，直线 OP⊥l，∴直线 OP 的方程为 2x＋ y＝ 0.2x ＋ y ＝ 0，33得点 P 的坐标为解方程组－ 10，5 .2x － 4y ＋ 3＝ 0，变式迁徙 1 解 设圆切线方程为y － 3＝k(x － 2)，|k ＋ 2－ 2k|即 kx － y ＋3－ 2k ＝ 0，∴1＝ ，k 2＋ 13∴k ＝ 4，另一条斜率不存在，方程为 x ＝ 2.∴切线方程为 x ＝ 2 和 3x － 4y ＋6＝ 0.3－1圆心 C 为 (1,1)，∴k PC ＝ ＝ 2，2－1∴过两切点的直线斜率为－12，又 x ＝ 2 与圆交于 (2,1)，∴过切点的直线为 x ＋ 2y － 4＝ 0.例 2解题导引 (1) 相关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为 k ，直线与圆 C 订交于 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点 C 到 l 的距离为 d ，圆的半径为 r.方法一代数法：弦长 |AB| ＝1＋ k 2|x 2 －x 1 |＝ 1＋ k 2· x 1＋ x 2 2 －4x 1x 2 ；方法二 几何法：弦长 |AB| ＝ 2 r 2－ d 2.(2)相关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确立某些等量关系． 解 (1) 方法一如下图， |AB| ＝43，取 AB 的中点 D ，连结 CD ，则 CD ⊥AB ，连结 AC 、 BC ，则|AD| ＝ 2 3， |AC|＝ 4，在 Rt △ACD 中，可得 |CD| ＝ 2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y － 5＝ kx ，即 kx － y ＋5＝ 0.|－2k － 6＋ 5|由点 C 到直线 AB 的距离公式，得＝ 2，k 2＋ － 1 23解得 k ＝ 4.3当 k ＝ 4时，直线 l 的方程为 3x － 4y ＋ 20＝ 0. 又直线 l 的斜率不存在时，也知足题意，此时方程为 x ＝0.∴所求直线的方程为 3x － 4y ＋ 20＝ 0 或 x ＝0.方法二当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝ kx ，即 y＝ kx ＋ 5.y＝ kx ＋5，联立直线与圆的方程x2＋ y2＋ 4x－ 12y＋ 24＝ 0，消去 y，得 (1＋ k2 )x2＋ (4－ 2k)x － 11＝ 0.①设方程①的两根为x1， x2，2k－4 x1＋x2＝1＋k2 ，由根与系数的关系，得②11x1x2＝－1＋k2.由弦长公式，得1＋ k2|x1－x2|＝1＋ k2 [ x1＋ x22－ 4x1x2] ＝ 4 3.3将②式代入，解得k＝4，此时直线方程为3x －4y＋ 20＝0.又 k 不存在时也知足题意，此时直线方程为x＝ 0.∴所求直线的方程为 x＝ 0 或 3x－ 4y ＋ 20＝ 0.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为D(x ， y)，→ →则 CD ⊥PD，即 CD·PD＝ 0，(x＋ 2，y－ 6) ·(x， y－ 5)＝ 0，化简得所求轨迹方程为x2＋ y2＋ 2x－11y＋ 30＝ 0.变式迁徙 2 (1) 证明由kx－y－4k＋3＝0，得(x －4)k － y＋ 3＝0.∴直线 kx － y－ 4k＋ 3＝0 过定点 P(4,3)．由 x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ 21＝ 0，即(x －3) 2＋(y－ 4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝ 2<4.∴直线和圆总有两个不一样的交点．3－ 4＝－ 1.(2)解 k PC＝4－ 3能够证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，所以过 P 点斜率为 1 的直线即为所y－ 3＝ x－ 4，即 x－ y－ 1＝ 0.|PC|＝|3－4－ 1|求，其方程为＝ 2，2∴|AB| ＝2|AC|2－ |PC|2＝ 2 2.例 3 解题导引圆和圆的地点关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到切实的结论，往常仍是从圆心距 d 与两圆半径和、差的关系下手．解对于圆 C1与圆 C2的方程，经配方后C1： (x－ m)2＋(y＋ 2)2＝ 9；C2： (x＋ 1)2＋ (y－ m)2＝ 4.(1)假如 C1与 C2外切，则有m＋ 1 2＋－ 2－ m 2＝3＋ 2.(m＋ 1)2＋ (m＋ 2)2＝ 25.m2＋ 3m－ 10＝0，解得 m＝－ 5 或 m＝ 2.(2)假如 C1与 C2内含，则有m＋ 1 2＋ m＋2 2<3－ 2.222(m＋ 1) ＋ (m＋ 2) <1， m ＋ 3m＋2<0 ，∴当m＝－ 5 或 m＝ 2 时，圆 C1与圆 C2外切；当－ 2<m< － 1 时，圆 C1与圆 C2内含．变式迁徙3解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(a＋ 1)x＋2(b＋ 1)y － a2－ 1＝ 0.①依题意，公共弦应为⊙ A 的直径，将( － 1，－ 1)代入①得 a2＋ 2a＋ 2b＋ 5＝ 0.②x＝ a设圆 B 的圆心为 (x， y)，∵，y＝b∴其轨迹方程为 x2＋ 2x＋2y＋ 5＝ 0.(2)⊙B 方程可化为 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1＋ b2 .12由②得 b＝－2[(a＋ 1) ＋4]≤ － 2，∴b2≥4， b2＋ 1≥ 5.当 a＝－ 1， b＝－ 2 时，⊙ B 半径最小，∴⊙B 方程为 (x＋ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 5.例 4解题导引这是一道研究存在性问题，应先假定存在圆上两点对于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以 AB 为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．所以可否将问题合理地变换是解题的重点．解圆 C 的方程可化为(x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 9，圆心为 C(1 ，－ 2)．假定在圆 C 上存在两点 A 、 B，则圆心C(1，－ 2)在直线 y＝kx － 1 上，即 k＝－ 1.于是可知， k AB＝ 1.设 l AB： y＝ x＋b，代入圆 C 的方程，整理得 2x2＋ 2(b＋1)x ＋ b2＋ 4b－ 4＝0，＝ 4(b ＋ 1) 2－8(b 2＋ 4b － 4)>0 ， b 2＋ 6b －9<0 ，解得－ 3－ 3 2<b<－ 3＋ 3 2.设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2 )，1 2则 x 1＋ x 2＝－ b － 1， x 1x 2＝2b ＋ 2b － 2. 由 OA ⊥OB ，知 x 1x 2 ＋y 1y 2＝ 0，也就是 x 1x 2＋ (x 1＋ b)(x 2 ＋b)＝ 0，2∴2x 1x 2＋ b(x 1＋x 2)＋ b ＝0，∴b 2 ＋4b － 4－ b 2－ b ＋ b 2＝ 0，化简得 b 2＋ 3b － 4＝ 0，解得 b ＝－ 4 或 b ＝ 1，均知足>0.即直线 AB 的方程为 x －y － 4＝ 0，或 x － y ＋ 1＝ 0.变式迁徙 4 解(1)方法一 ∵直线 l 过点 A(0,1) 且斜率为 k ，∴直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋1.将其代入圆 C ： (x － 2)2＋ (y － 3)2＝1， 得(1 ＋k 2)x 2－ 4(1＋k)x ＋ 7＝ 0.①由题意： ＝ [－4(1＋ k)] 2－ 4× (1＋ k 2)× 7>0 ，4－ 7 4＋ 7 得 3 <k< 3 .方法二 同方法一得直线方程为y ＝ kx ＋1，即 kx － y ＋1＝ 0.|2k － 3＋ 1| |2k － 2| 又圆心到直线距离d ＝ k 2＋ 1 ＝ ，k 2＋ 1|2k －2|4－ 74＋ 7∴d ＝<1，解得3 <k<3 .2＋ 1k4＋ 4kx 1＋x 2＝1＋ k 2(2)设 M(x 1， y 1)， N(x 2， y 2)，则由①得，7x 1x 2＝1＋ k 2→ →∴OM ·ON ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2 ＝ (1＋k 2 )x 1x 2＋ k(x 1＋ x 2)＋ 1＝4k 1＋ k ＋ 8＝ 12? k ＝ 1(经查验切合题意 ) ，∴k ＝ 1.1＋ k 2课后练习区1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－ 10 8.13π9．解(1)当α＝4时， k AB＝－ 1，直线 AB 的方程为 y－2＝－ (x＋ 1)，即 x＋ y－ 1＝0.(3 分 )故圆心 (0,0) 到 AB 的距离 d＝|0＋ 0－ 1|22＝2，进而弦长 |AB| ＝ 28－130.(6 分 ) 2＝(2)设 A(x 1，y1)， B(x 2， y2)，x21＋ y21＝ 8，则 x1＋ x2＝－ 2， y1＋ y2＝ 4.由22x2＋y2＝8，两式相减得 (x1＋ x2)(x 1－ x2)＋ (y1＋ y2)(y 1－ y2)＝ 0，即－ 2(x 1－ x2) ＋4(y1－ y2)＝ 0，y1－ y21分 )∴k AB＝＝ .(10x1－ x221∴直线 l 的方程为y－ 2＝2(x＋ 1)，即 x－ 2y＋5＝ 0.(12 分 )10.解已知圆 C：x2＋ y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 对于 x 轴对称的圆为C1：(x－ 2)2＋ (y＋ 2)2＝ 1，其圆心 C1的坐标为 (2 ，－ 2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光芒所在直线方程与圆C1相切． (4 分)设 l 的方程为 y－ 3＝ k(x ＋ 3)，则|5k＋ 2＋ 3|＝1，(8 分)12＋ k2即 12k243＋ 25k＋ 12＝ 0.∴k1＝－， k2＝－.34则 l 的方程为 4x＋ 3y＋ 3＝ 0 或 3x＋4y－ 3＝ 0.(12 分)11．解两圆的标准方程分别为(x－ 1)2＋ (y－3) 2＝ 11， (x－ 5)2＋ (y－6) 2＝ 61－ m，圆心分别为M(1,3) ，N(5,6) ，半径分别为11和61－ m.(1)当两圆外切时，5－ 1 2＋ 6－ 3 2＝11＋61－ m.解得 m＝ 25＋ 1011.(4 分 )(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－ m－11＝ 5.解得 m＝ 25－ 1011.(8 分 )(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋ y2－ 2x－ 6y－ 1)－ (x2＋ y2－ 10x － 12y＋ 45)＝ 0，即 4x ＋ 3y－ 23＝ 0.(12 分 )由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× ?r(11?2－|4＋ 3×3－ 23|2) ＝27.(14 分)42＋ 32。

高考中的导数应用问题u 考点自测 1 •若函数心)在R 上可导，月•满足■代Q_xf (x)>0,贝％A.3Al)</(3)C.3A1)=A3) 答案B解析 由于./W>h ⑴，则［竽］丄 Qfr/(0<0恒成立，因此学在R 上是单调递减函数, ・・・警坪，即3/(1)>/(3).故选B.2. 若函数Av)=^-lnx 在区间(1, +<-)上单调递增，则k 的取值范围是()A.(——2] C.[2, +oo ) 答案D解析 由于/' (x)=k —^ Xx)=hr —lnx 在区间(1, +°°)上单调递增0广(x)=£—0在(1, A A+ oo)上恒成立.由于k£,而0<,1，所以即A 的取值范围为［1, +8).3. 函数Av)=3x 2 + lnx-2x 的极值点的个数是()A.OB.lC.2D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +8),由于 x>0, g(x) = 6,—2x+1 中力=一20<0,所以g(x)>0恒成立，故.广(兀)>0恒成立， 即./(X )在定义域上单调递增，无极值点.4. (2015•课标全国I)已知函数J(x)=ax 3+x+l 的图像在点(1,如))处的切线过点(2,7),则答案1解析 f (x)=3tzx 2+l, / (l)=l + 3a, ./(1)=仇+2.(1, ./(I))处的切线方程为 y-(a+2)=(\+3a)(x-\).将(2,7)代入切线方程，得7 — (a + 2)=l+3a,解得Q=l.快速解答自查自纠D ：A1)=A3)B ・(一— 1]D.[l, +oo)5. _____________________ 设函数./(x)=e ［+ 1, g(x)=/,对任意X ］,也丘(0, +°°),不等式赵尹W 誓恒成立，则 正数k 的取值范围是 ・答案［1, +8)解析 因为对任意Xi ，X 2e (0, +°°),不等式嚳誥裁成立，所以治储e 2x因为 g(x)=H ，所以 g ，(x)=e 2_x (l —x).当 0<*1 时，g‘ (x)>0；当 x>l 时，g f(x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +<-)上单调递减.所以当兀=1时,g(X )取到最大值，即g(Qnax=g(l) = C.又,A X )=e 2x+丄 M 2c(x>0).X 当且仅当e 2x=^即兀=右时取等号，故,/«min =2e.Ji c所以血1)沁=2=丄应有—丄旳以心2皿2e 2'女竇+1"2'又Q0,所以k^\.题型分类题型一利用导数研究函数性质 例1 (2015-课标全国II)已知函数.心)=1眦+°(1—兀).⑴讨论/(X )的单调性；(2)当/(X )有最大值，且最大值大于2°—2时，求Q 的取值范围. 解(l)/(x)的定义域为(0, +8), f (x)=\~a.若Q WO,则/ (x)>0,所以./(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当泻(0, £)时,/ (x)>0；当xwg, +町时,f (x)<0.所以夬兀)在(0, £)上单对接高考深度剖析调递增，在e ，+8)上单调递减.⑵由⑴知，当QWO 时，Xx)在(0, +8)无最大值；当a>0时，夬对在x=+取得最大值，最大值为yQ) = l£+a(l —+)=—lna+Q —l. 因此匍>2a~2等价于 血+。