高中数学北师大版选修4-5第一章不等关系与基本不等式课件 (共8份打包)7

阶
阶
段
段
一
三
§2 含有绝对值的不等式
2.1 绝对值不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对 值不等式的性质定理．(重点)
2．会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 绝对值的几何意义 阅读教材 P6“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．|a|表示在数轴上 实数a 对应的点与原点 O 的距离． 2．|x－a|的几何意义是实数x 对应的点与实数 a 对应的点之间的距离．
[探究共研型] 运用绝对值不等式求最值与范围. 探究 1 |a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
【提示】 |a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
本题也可利用绝对值的几何意义或函数的性质求解.|x－m|表示数轴上表示 实数 x 的点到表示实数 m 的点间的距离.对于含有两个绝对值以上的代数式，通 常利用分段讨论的方法去掉绝对值转化为分段函数，进而利用分段函数的性质 解决相应问题.
已知|a|≠|b|，m＝||aa|－ －|bb||，n＝||aa|＋ ＋|bb||，则 m，n 之间的大小关系是 ________．
【精彩点拨】 易判定 m，n 与 1 的大小关系．
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用． 2．在定理中，以－b 代 b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以 a－b 代替实数 a，可得到 |a|－|b|≤|a－b|.
利用定理证明绝对值不等式 已知|x－a|<2εM，|y－b|<|2εa|，y∈(0，M)，求证：|xy－ab|<ε.

即 a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
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反思用求商法比较两个式子的大小时,变形要向着有利于判断商 与1的大小关系的方向进行,这是最重要的一步.
解:由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
������ 2������ ������ 2������������ 2������ ������ ������ +������������ ������+������ ������ ������+������
=
������ ������
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2.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d .
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绝对值不等式的综合应用
•
已知a，，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx
＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
• (1)证明：|c|≤1；
• (2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；
• [思路点拨] 本题属于绝对值函数，在解题时不仅要 用到绝对值不等式，不等式性质以及推论，再结合 已知条件，还需适当变形．利用绝对值不等式时要 注意等号成立的条件，这是关键所在．
2．已知|x|<3ε，|y|<6ε，|z|<9ε，求证：|x＋2y－3z|<ε.
• [思路点拨] |a2|＋|a3|，
解答本题可以用推论|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋
证明： |x＋2y－3z|≤|x＋2y|＋|－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x| ＋2|y|＋3|z|，
∵|x|<3ε，|y|<6ε，|z|<9ε， ∴|x|＋2|y|＋3|z|<3ε＋26ε＋39ε＝ε， ∴|x＋2y－3z|<ε.
• [解题过程] (1)证明：由条件当－1≤x≤1时， • |f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.
• (2)证明：当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函 数，
• ∴g(－1)≤g(x)≤g(1)． • ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， • ∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2， • g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2， • 由此得|g(x)|≤2；
[解题过程] ①当|a|≤|b|时， 由|a22－|a|b2|≥0，|2a|－|2b|≤0，知不等式成立． ②当|a|>|b|时， |a22－|a|b2|－|2a|－|2b|＝|a|22－|a||b|2－|a|－2 |b|， ＝|a|－2 |b|·|a|＋|a||b|－1 ＝|a|－2 |b|·|ba|≥0， 即|a22－|a|b2|≥|2a|－|2b|. 综合①②，不等式成立．

思维辨析
解(1)因为 x<0,所以 f(x��) +
-
16 ������
≥1+2
(-������)·
-
16 ������
=9,
当且仅当-x=-1������6,即 x=-4 时,函数取最小值 9. (2)y=x-1+������+4 1=x+1+������+4 1-2
则有 V=πr2h=π
������2-
ℎ2 4
h=π4(4R2-h2)h=π4
(4������2-ℎ2)2ℎ2
=π4
1 2
(4������2-ℎ2
)(4������2-ℎ2)2ℎ2
≤π 1 4������2-ℎ2+4������2-ℎ2+2ℎ2 3
42
3
=π4
1 2
×
(8������2)3 27
=
493πR3.
§5 不等式的应用
学习目标
1.进一步掌握不等式的性质,并应用 不等式的性质解决一些简单的实际 问题. 2.能用平均值不等式求函数的最值, 并能解决实际应用问题.
思维脉络
1.不等式的几个重要性质 (1)a>b,c>d⇒a+c>b+d; (2)a>b,c>0⇒ac>bc, a>b,c<0⇒ac<bc;
���8���,即
x=80
时,
等号成立,f(x)取最小值.
答案:B
1 2 3 45
4.若 x>0,则 y=������2���+��� 2的最大值为
.
解析:因为 x>0,y=������2���+��� 2 = ������+12������,x+2������≥2 2, 当且仅当 x= 2时,等号成立,

������
������
������ ������������ + ������2 + ������ ������������ + ������2
=
+
=
������������ + ������ ������������ + ������
2������������ + (������ + ������) ������������
§4 不等式的证明
-1-
第1课时 比较法、分析法
-2-
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1.理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤,并能证 明具体的不等式.
2.理解不等式证明方法的意义,并掌握不等式中取得等号的条件.
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能确定
解析:∵M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=12[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] =12[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0,
∴M≥N.
答案:A
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������
������
②证明步骤:作商→变形→判断与1的大小关系→下结论.
名师点拨在求商比较法中, ������
������
>
1⇒b>a
是不0,由 ������ > 1, 可得b>a,

用反证法证明不等式
若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2， 求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
2－ab＞1， 证明：(用反证法证明)假设2－bc＞1，
2－ca＞1，
那么2－2a＋b≥ 2－ab＞1.
①
同理2－2b＋c＞1，
②
2－2c＋a＞1.
③
①＋②＋③，得 3＞3，矛盾．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相 矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
用放缩法证明不等式
(1)当 n∈N＋时，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1； (2)当 n∈N＋时，求证：1＋212＋312＋…＋n12＜2. 证明：(1)因为n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n ＜n＋1 1＋n＋1 1＋…＋n＋1 1]＝n＋n 1＜1，
3．常用的放缩技巧
(1)舍掉(或加进)一些项．
(2)在分式中放大(或缩小)分子(或分母)．
(3)应用重要不等式进行放缩，如a＋122＋34＞a＋122；k12＜
kk－1 1；k12＞kk＋1 1；
1＜ k
2 k＋
k－1；
1＞ k
2 k＋
k＋1(以上
k＞2 且 k∈N)．
谢谢观看！
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

因为 a>b>c，所以 a－c>0，a－b>0，b－c>0，所以(a－c)(a－b)(b －c)>0，即 a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
题型二 作商比较法
a＋b 例 2 设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab) 2 .
a＋b 【证明】 因为 aabb>0，(ab) 2 >0，
1.作差法的依据 若 a，b∈R，则 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法的步骤 作差→变形→判断符号(与 0 比较大小)→结论．
3．作商法的依据 若 a>0，b>0，则ba>1⇔a>b；ba＝1⇔a＝b；ba<1⇔a<b. 4．作商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些 不同底数对数值的大小比较.
所以
aabba＋b＝aa－2 bbb－2 a＝(ba)a－2 b，所以当 a＝b 时，显
（ab） 2
然有(ba)a－2 b＝1；当 a>b>0 时，ba>1，a－2 b>0；当 b>a>0 时，0<ba<1，
a－2 b<0，由指数函数的单调性，有(ba)a－2 b>(ba)0＝1，
a＋b 综上可知，对任意 a>0，b>0，都有 aabb≥(ab) 2 .
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
【解析】 采用特值法进行求解验证即可，若 x＝1，y＝2， z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则 ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10， ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是 az＋ by＋cx.

提示 (1) ac<>db⇒a－c>b－d 的推导过程是：c<d⇒－c> －d，对 a>b 和－c>－d 应用不等式的同向不等式的可 加性质得：a－c>b－d. (2) ad>>bc>>00⇒ac>bd的推导过程是：d>c>0 两边同乘 c1d(cd>0)，则1c>1d>0，应用不等式可乘性质得ac>bd.
典例剖析
知识点1 不等式的性质及应用
【例1】 判断下列各题的对错
(1)ac<bc，且 c>0⇒a>b(
)
(2)a>b，且 c>d⇒ac>bd( )
(3)a>b>0，且 c>d>0⇒
ab d> c(
)
(4)ca2>cb2⇒a>b(
)
解析 (1) cac><0bc⇒1a<1b，当 a<0，b>0 时，此式成立，推
答案 B
知识点2 实数大小的比较 【例2】 实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，
试比较x，y，z的大小. 解 x2－2x＋y＝z－1⇒z－y＝(x－1)2≥0⇒z≥y； x＋y2＋1＝0⇒y－x＝y2＋y＋1＝y＋122＋34>0⇒y>x， 故 z≥y>x.
【反思感悟】 两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其 一般步骤是： (1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等 方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.
不出 a>b，∴(1)错. (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然不成立. ∴(2)错.

Fra bibliotek探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二 利用求商法比较大小
【例2】 已知a>b>c>0,比较a2ab2bc2c与ab+cbc+aca+b的大小. 分析用求差比较法不易变形,所以用求商比较法.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
名师点拨 要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的 差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判 断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变 形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方 式来达到目的,要视具体问题而定.
【做一做1】 比较大小:x2+3
名师点拨 不等式的倒数性质:
①若 a>b,ab>0,则1������ < 1������. ②若 a>b,ab<0,则1������ > 1������.
【做一做2】 若a>b,则下列结论一定成立的是( )
A.������������<1
B.������������<0
C.2-a>1-b D.(a-b)c2≥0
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数. 解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0. 所以(a-b)2(a+b)≤0. 故a3+b3≤a2b+ab2.

D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
【变式训练 1】
(1)求函数
f(x)=2+log2x+
lo
5 g2
������
的最大值,
其中 0 < ������ < 1;
(2)求函数 y=(x-1)2(3-2x)
1 < ������ < 3
2
的最大值.
解:(1)∵0<x<1,
∴-log2x>0,−
5 lo g2������
,
即x=
2
5时取“=”号,
∴f(x)=2+log2x+
lo
5 g2
������≤2-
2
5,
故 f(x)的最大值为 2-2 5.
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
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S 随堂演练 UITANGYANLIAN
−
1)
=
4 (x -1)2
,
即x=3
时,等号成立,故
y
最小值
=4.
答案:4
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12345
5已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,当r和h为何
值时,内接圆柱的体积最大?
解:如图,设内接圆柱的体积为 V,
∵R2
=r2+
1 ������
+
9 ������
=
1,
∴x+y= 1 + 9 (������ + ������) = ������ + 9������ + 10≥6+10=16,