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统计学第五章

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统计学第五章(变异指标)

统计学第五章(变异指标)

峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述

统计学原理第五章

统计学原理第五章

第五章综合指标学习要点：了解各种指标的概念及作用，掌握相对指标、平均指标的特点及计算方法，变异指标的计算方法。

§1、总量指标§2、相对指标§3、平均指标§4、变异指标学习知识点：前言：1、总量指标是反映社会经济现象发展的总规模、总水平的综合指标。

将总体单位数相加或总体单位标志值相加，就可以得到说明在一定时间、空间条件下某种现象总体的总规模、总水平的指标，即总量指标。

如：2010年年年末为1339724852亿，反映是我国人口的总规模。

总量指标的作用：第一、总量指标可以用来反映一个国家的基本国情国力，反映一个地区、一个部门或一个单位的人力、物力和财力，是人们对客观事物认识的起点。

第二、总量指标可以用来作为制定政策、制定计划和实行科学管理的基本依据，也是检查政策、计划执行情况，反映社会经济活动绝对效果的重要指标。

第三、总量指标可以用来研究客观现象的数量表现及其发展的变化趋势。

第四、总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。

一、总量指标的种类：1、按其反映现象总体内容的不同：• 总体单位总量（简称单位总量）：指总体内所有单位的总数，表示总体本身规模的大小。

对于一个确定的统计总体，其总体单位总量是唯一确定的。

• 总体标志总量（简称标志总量）：指总体中各单位标志值总和。

对于确定的统计总体，标志总量不是唯一的，而是随着标志的不同可计算不同的标志。

• 例：我们研究某市三级医院的基本情况，则全市三级医院的总数量是总体单位总量，而全部三级医院职工总人数、全部三级医院职工工资总额等就是总体指标总量。

2、按反映时间状况的不同，可分为时期指标和时点指标。

• 时期指标指反映某社会经济现象在一段时间活动结果的总量指标，它反映的是一段时间连续发生变化过程。

如产品总量、货物运输量、商品销售量、国内生产总量等。

• 时点指标是反映社会经济现象在某一时间（瞬间）状况上的总量指标。

如人口数、职工数、设备台数等。

第五章概率与概率分布

第五章概率与概率分布

P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n

m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布

统计学 第五章

统计学 第五章

第五章 抽样推断抽样推断定义：是一种非全面调查，是按随机原则，从总体中抽取一部分单位进行调查，并以其结果对总体某一数量特征作出估计和推断的一种统计方法。

（一） 总体和样本在抽样推断中面临两个不同的总体，即全及总体和样本总体，全及总体也叫母体，简称总体。

全及总体的单位数用N 表示全及总体⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧属性总体有限总体无限总体变量总体样本总体又叫抽样总体、子样，简称样本，样本总体的单位数称样本容量，用n 表示。

（二） 参数和统计量参数亦称全及指标，由于全及总体是唯一确定的，故根据全及总体计算的参数也是个定值 对于属性总体，可以有如下参数，全及总体成数p ，全及总体标准差)(2p p σσ方差 属性总体标准差：()p p p-=1σ统计量即样本指标设样本总体有n 个变量：n x x x x ,...,,,321 则：样本平均数 nx x ∑=（三） 样本容量与样本个数样本容量是指一个样本所包含的单位数，用n 来表示，一般地，样本单位数达到或超过30个的样本称为大样本，而在30个以下称为小样本。

社会经济统计的抽样推断多属于大样本，而科学实验的抽样观察则多取小样本。

样本个数又称样本可能数目，是指从全及总体中可能抽取的样本的个数。

一个总体可能抽取多少样本，与样本容量大小有关，也与抽样的方法有关。

在样本容量确定之后，样本的可能数目便完全取决于抽样方法。

抽样误差是抽样调查自身所固有的，不可避免的误差，虽然不能消除这种误差，但有办法进行计算，并能对其加以控制。

抽样平均误差越大，表示样本的代表性越低；抽样平均误差越小，表示样本的代表性越高。

在重复简单随机抽样时，样本平均数的抽样分布有数学期望值E(a)=a（a代表全及总体平均数，即X）X⇔。

样本平均数的平均数=总体平均数抽样平均误差=抽样标准误差=样本平均数的标准差（它反映抽样平均数与总体平均数的平均误差程度）例题：某班组4个工人的月工资（N=4）分别是：1400元，1500元，1600元，1700元，现用重复简单随机抽样的方法从全及总体中抽选出容量大小为2的样本（n=2），求抽样平均误差？解：全及总体平均工资)(15501700160015001400元=+++=X全及总体标准差()4500002=-=∑NX Xσ抽样平均误差x μ=nnσσ=2=)(0569.792*450000元=例题：某班组4个工人的月工资（N=4）分别是：1400元，1500元，1600元，1700元，现用不重复简单随机抽样的方法从全部总体中抽选容量大小为2的样本（n=2），求抽样平均误差？解：全及总体平均工资)(155041700160015001400元=+++==∑NXX全及总体标准差()4500002=-=∑NX Xσx μ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙12N n N n σ=)(55.6414244*250000元=--∙例题：某电子元件厂，生产某型号晶体管，按正常生产试验，产品中属于一级品的占70%，现在从10000件晶体管中，抽取100件进行抽查检验，求一级品率的抽样平均误差？ 解：已知：P=0.7 ， P(1-P)=0.21在重复抽样的情况下，抽样平均误差为：()np p p -=1μ=%58.410021.0=在不重复抽样的情况下，抽样平均误差为：()⎪⎭⎫⎝⎛-∙-=N n n p p p 11μ=%56.410000*********.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙参数估计()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→-==+≤≤是概率度是置信度，极限误差）样本指标总体指标极限误差—（样本指标区间估计：求不高的情况准确程度与可靠程度要点估计：适用于推断的t t F t F P α1例题：已知某车间某产品的合格率在某个置信度下的估计区间是（85%，95%），还已知样本容量为100，求置信度？解：显然p p ∆-=85%，p p ∆+=95%，即p=90%，p ∆=5%p ∆=μ⋅t μpt ∆=⇒=()()67.1100%901%90%51=-∙=-∆np p p ()t F =0.9052即置信度为90.51% ★求置信度，只需要求出t影响抽样数目的因素⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆样本单位不重置抽样可以少抽些单位，抽样需要多抽一些样本、在同等条件下，重置单位，则反之值越大，则多抽些样本、概率度则反之单位，的值大可以少抽些样本）、允许误差（极限误差越多，则反之值越大，必要抽样数目、总体标准差4321t x σ例题：某城市组织职工家庭生活抽样调查，职工家庭平均每户每月收入的标准差为11.50元，要求把握程度为95.45%，允许误差为1元，问需抽选多少户？ 解：()t F =0.95452=⇒t ， 元元，150.11=∆=x σxt n 222∆=σ=()户529150.1142=∙。

统计学

统计学
2
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α

统计学基础第五章时间数列

统计学基础第五章时间数列

statistics
统计学——第五章时间数列
解：根据上面计算资料再计算第三季度的月平均库存额为：
an-1 an a1 a2 a2 a3 … 2 2 a 2 n 1 an a1 a2 an-1 2 2 n 1
700 900 900 1000 2 2 4 1
均衡的期末登记排列。通常将前者称为间隔相等的间断 时点数列，后者称为间断不等的间断时点数列。
statistics
统计学——第五章时间数列
间隔相等的间断时点数列的平均发展水平的计算公式：
an1 an a1 a2 a2 a3 2 2 a 2 n 1 an a1 a2 an-1 2 2 n 1
statistics
统计学——第五章时间数列
（3）分子、分母由一个时期数列和一个时点数列对比组成 相对数时间数列。
a a 1 a 2 a n 1 a n c b0 bn b1 b n 1 b 2 2
（分子为时期数列，分母为时点数列） a0 an a 1 a 2 a n 1 a 2 或 2 c b1 b n 1 b n
可见，该商场2006年的第三、第四季度的月平均销售 额大于第一、第三季度的月平均销售额。 statistics
统计学——第五章时间数列
2．依据时点数列计算序时平均数
连续时点数列 时点数列 间断时点数列 间隔不等的间断时点数列 间隔相等的间断时点数列
statistics
统计学——第五章时间数列
（1）连续时点数列的序时平均数。
5-4所示,试求第一季度的平均完成率。 表5-4 某厂某年第一季度各月商品销售额 计划完成情况统计表 目 1月 200 210 105 2月 240 260 105 3月 250 280 112 statistics

《统计学》第5章 假设检验

假设。原假设通常用H0 表示，也称为“零假设”；备择假设指的是当原
假设不成立时，即拒绝原假设时备以选择的假设，通常用H1 表示。备择
假设和原假设互斥，如在例5.1中，原假设是“2022 年全国城市平均
PM2.5 浓度与2018 年相比没有显著差异”，那么备择假设就是“2022
年全国城市平均PM2.5 浓度与2018 年相比存在显著差异”。相应的统计
小越好。但是，在一定的样本容量下，减少犯第I类错误的概率，就会
使犯第II类错误的概率增大；减少犯第II类错误的概率，会使犯第I类
错误的概率增大。增加样本容量可以使犯第I类错误的概率和犯第II类
错误的概率同时减小，然而现实中资源总是有限的，样本量不可能没有
限制。因此，在给定的样本容量下，必须考虑两类可能的错误之间的权
易被否定，若检验结果否定了原假设，则说明否定的理由是充分的。
第四章 参数估计
《统计学》
16
5.1 假设检验的基本原理
(四) P值法
假设检验的另一种常用方法是利用P值(P-value) 来确定检验决策。P值
指在原假设0 为真时，得到等于样本观测结果或更极端结果的检验统计
量的概率，也被称为实测显著性水平。P值法的决策规则为：如果P值大
1.96) 中。这里−1.96和1.96 称为临界值，区间(−1.96, 1.96) 两侧的
区域则被称为拒绝域。基于样本信息，可以计算得到相应的z检验统计量
值，已知ҧ = 46，0 = 53， = 14 ， n = 100 = −5
14/10
第四章 参数估计
《统计学》
14
5.1 假设检验的基本原理
犯第I 类(弃真) 错误的概率 也称为显著性水平(Significance level)，

统计学第五章


2-分布
(性质和特点)
• 1. 期望为：E(2)=n，
•
方差为：D(2)=2n(n为自由度)
• 2. 可加性：
•
若U和V为两个独立的2分布随机变量，
U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从 自由度为n1+n2的2分布
• 3. 当 n 时， 2分布的极限分布是正态
分布
不同自由度的2-分布
(central limit theorem)
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量
为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近 似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
x
中心极限定理
（2）系统抽样的评价 ——操作上简便易行 ——如果总体是按有关标志进行排列的话，可以提 高样本的代表性，改进抽样精度 ——对估计量方差的估计比较困难
4、整群抽样（cluster random sampling） （1）整群抽样的概念
整群抽样是指将总体分成群，从中随机抽取 若干群，群中的所有单位构成样本
E(x)
2 x
2
n
样本比例的分布
(proportion)
1. 总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位 总数之比
– 不同性别的人与全部人数之比
– 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
2. 总体比例可表示为
N0 或 1 N1
N
N
3. 样本比例可表示为
4.
p n0 或 1 p n1
2. 一种理论概率分布

统计学 第五章 动态分析方法汇总


可分为： 1、时期数列：反映某种社会经济现象在一段时间内发展过 程总量的绝对数数列。 特点： A、资料通过连续登记取得 B、每个指标数值的大小与其包含的时间的长短有直 接的关系，包含的时期长则指标数值大 C、各项指标数值可以直接相加 2、时点数列：是指反映某种社会经济现象在一定时点上的 状况及其水平的绝对数动态数列。 特点： A、指标数值是通过一次性登记取得 B、数值大小与时点间隔的长短无直接的关系 C、数列中各项指标数值不能直接相加
a

n
例如，已知某企业一个月内每天的工人数，如果计算该月 每天平均工人数，遇将每天工人数相加之和除以该月的日历天 数即可求得。
B、数列中的各项指标不是逐日登记，只是在发生变动时进行 登记，称为间隔不等的连续时点数列。 计算公式为： af a f 例2：某企业的一个商品部某年一月份职工人数变动情况记录如下：
发展速度＝报告期水平/基期水平
（二）分类： 按对比基期不同，分为定基发展速度和环比发展速度。 1.定基发展速度：又称总发展速度 2.计算公式： 报告期水平 定基发展速度＝ 固定基期水平
即：
a1 a2 a3 an 、 、 ... a0 a0 a0 a0
B、举例说明： 例1：我国社会消费品零售总额的定基发展速度和环比发展速度 如下表：
我国社会消费品零售总额 发展水 平 （1） 20 24 27 29 31 34 620 774 299 153 135 153 增长量 发展速度 增长速度 增长1%绝 对值 （8） -206．20 247．74 272．99 291．53 311．35
年份 （甲） 1995 1996 1997 1998 1999 2000
a0
a0
a1
a2
i

统计学第5章抽样推断

就 是 由 样 本 指 标 直 接 代 替 全 及 指 标 ， 不 考 虑
任 何 抽 样 误 差 因 素 。 即 用 x直 接 代 表 X ， 用 p 直 接 代 表 P。
例 在 全 部 产 品 中 ， 抽 取 100件 进 行 仔 细 检 查 ， 得 到 平 均 重 量 x1002克 ， 合 格 率 p98% ， 我 们 直 接 推 断 全 部 产 品 的 平 均 重 量 X 1002克 ， 合 格 率 P 98% 。
(1)
2
n
(1 )
12 2 (1
100
) 1.19 (千克 )
x
n
N
100 10000
(2) 若以概率 95.45%(t 2)保证，该农场 10000 亩小麦的平均
亩产量的可能范围为：
X : x 400 2 1.19 x
X （: 397 .62 ，402.38 ） (3) 若以概率 99.73%(t 3)保证，该农场 10000 亩小麦的平均
在重复抽样情况下：
p (1 p )
p
n
在不重复抽样情况下：
p (1 p ) n
(1 )
p
n
N
例
某玻璃器皿厂某日生产15000只印花玻璃 杯，现按重复抽样方式从中抽取150只进行 质量检验，结果有147只合格，其余3只为不 合格品，试求这批印花玻璃杯合格率(成数) 的抽样平均误差。
N15000n150
二、区间估计
根据样本指标和抽样误差去推断全及 指标的可能范围，它能说清楚估计的准 确程度和把握程度。
总体平均数和总体成数的估计
X :(x x, x x)
1的概率保证下：x tx
P:(pp, pp)
1的概率保证下： p tp
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20
Multiplication Rule-Example
A survey by the American Automobile association (AAA) revealed 60 percent of its members made airline reservations last year. Two members are selected at random. What is the probability both made airline reservations last year?
17
The Complement Rule
The complement rule is used to determine the probability of an event occurring by subtracting the probability of the event not occurring from 1. P(A) + P(~A) = 1 or P(A) = 1 - P(~A).
5
Experiments, Events and Outcomes
6
Assigning Probabilities
Three approaches to assigning probabilities – Classical – Empirical – Subjective
7
Classical Probability
11
Law of Large Numbers
Suppose we toss a fair coin. The result of each toss is either a head or a tail. If we toss the coin a great number of times, the probability of the outcome of heads will approach .5. The following table reports the results of an experiment of flipping a fair coin 1, 10, 50, 100, 500, 1,000 and 10,000 times and then computing the relative frequency of heads
16
Addition Rule - Example
What is the probability that a card chosen at random from a standard deck of cards will be either a king or a heart?
P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52, or .3077
14
Summary of Types of Probability
15
Rules for Computing Probabilities
Rules of Addition Special Rule of Addition - If two events A and B are mutually exclusive, the probability of one or the other event’s occurring equals the sum of their probabilities. P(A or B) = P(A) + P(B) The General Rule of Addition - If A and B are two events that are not mutually exclusive, then P(A or B) is given by the following formula: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
The empirical approach to probability is based on what is called the law of large numbers. The key to establishing probabilities empirically is that more observations will provide a more accurate estimate of the probability.
12
Empirical Probability - Example
On February 1, 2003, the Space Shuttle Columbia exploded. This was the second disaster in 113 space missions for NASA. On the basis of this information, what is the probability that a future mission is successfully completed?
There are three “favorable” outcomes (a two, a four, and a six) in the collection of six equally likely possible outcomes.
8
Mutually Exclusive Events
Events are mutually excluபைடு நூலகம்ive if the occurrence of any one event means that none of the others can occur at the same time. Events are independent if the occurrence of one event does not affect the occurrence of another.
Consider an experiment of rolling a six-sided die. What is the probability of the event “an even number of spots appear face up”? The possible outcomes are:
A Survey of Probability Concepts
Chapter 5
McGraw-Hill/Irwin
©The McGraw-Hill Companies, Inc. 2008
GOALS
Define probability. Describe the classical, empirical, and subjective approaches to probability. Explain the terms experiment, event, outcome, permutations, and combinations. Define the terms conditional probability and joint probability. Calculate probabilities using the rules of addition and rules of multiplication. Apply a tree diagram to organize and compute probabilities. Calculate a probability using Bayes’ theorem.
Number of successful flights Probability of a successful flight = Total number of flights 111 = = 0.98 113
13
Subjective Probability - Example
If there is little or no past experience or information on which to base a probability, it may be arrived at subjectively. Illustrations of subjective probability are:
Solution: The probability the first member made an airline reservation last year is .60, written as P(R1) = .60 The probability that the second member selected made a reservation is also .60, so P(R2) = .60. Since the number of AAA members is very large, you may assume that R1 and R2 are independent. P(R1 and R2) = P(R1)P(R2) = (.60)(.60) = .36
1. Estimating the likelihood the New England Patriots will play in the Super Bowl next year. 2. Estimating the likelihood you will be married before the age of 30. 3. Estimating the likelihood the U.S. budget deficit will be reduced by half in the next 10 years.
– – –
3
classical, empirical, and subjective.