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第21章：时间序列计量经济学

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经济学计量方法回归分析与时间序列

经济学计量方法回归分析与时间序列

经济学计量方法回归分析与时间序列计量经济学是运用数理统计学方法研究经济现象的一门学科。

在计量经济学中，回归分析和时间序列分析是两种常用的方法。

回归分析用于研究变量之间的关系，而时间序列分析则主要用于分析时间上的变动和趋势。

本文将介绍经济学计量方法中的回归分析与时间序列分析，并说明它们的应用和意义。

一、回归分析回归分析是研究因变量与自变量之间函数关系的一种方法。

在经济学中，回归分析常常用于分析经济变量之间的关系。

回归分析的基本模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xk表示自变量，ε表示误差项。

β0、β1、β2、...、βk分别表示回归方程的截距和斜率系数。

回归分析中的关键问题是如何确定回归方程的系数。

常用的方法包括最小二乘估计法和最大似然估计法。

最小二乘估计法是指通过最小化残差平方和来确定回归方程的系数。

最大似然估计法则是通过找到最大化似然函数的方法来确定回归方程的系数。

回归分析的应用非常广泛。

它可以用于预测变量的取值，评估政策的效果，解释变量之间的关系等。

例如，在经济学中，回归分析常用于研究收入与教育程度之间的关系、通胀与利率之间的关系等。

二、时间序列分析时间序列分析是研究时间上的变动和趋势的一种方法。

在经济学中，时间序列分析常用于分析经济变量随时间变化的规律。

时间序列数据是按照时间顺序排列的一组数据，例如某个经济变量在不同时间点的取值。

时间序列分析的基本模型可以表示为：Yt = μ + αt + β1Yt-1 + β2Yt-2 + ... + βkYt-k + εt其中，Yt表示时间t的观测值，μ表示整体的平均水平，αt表示时间t的随机波动，Yt-1、Yt-2、...、Yt-k表示时间t之前的观测值，β1、β2、...、βk表示滞后系数，εt表示误差项。

时间序列分析中的关键问题是如何确定滞后阶数和滞后系数。

初计量经济学之时间序列分析

初计量经济学之时间序列分析

初计量经济学之时间序列分析1. 引言时间序列分析是计量经济学中的一个重要领域，研究的是时间序列数据的性质、模式和预测方法。

时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，包括经济指标、股票价格、气象数据等。

时间序列分析可以帮助我们理解和预测经济现象的发展趋势，为政府和企业决策提供科学依据。

本文将介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用。

首先，我们将介绍时间序列分析的基本步骤和基本假设。

然后，我们将介绍时间序列模型的常用类型，包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑动平均模型（ARMA）。

最后，我们将介绍时间序列的应用领域，包括经济预测、金融风险管理和气象预测。

2. 时间序列分析的基本步骤时间序列分析的基本步骤包括数据的收集和准备、数据的探索性分析、模型的选择和估计、模型的诊断和预测。

下面将对每个步骤进行详细介绍。

2.1 数据的收集和准备数据的收集和准备是时间序列分析的第一步。

我们需要收集时间序列数据，并进行数据清洗和预处理。

数据清洗包括删除缺失值、处理异常值和去除趋势。

数据预处理包括对数据进行平滑处理、差分和变换。

2.2 数据的探索性分析数据的探索性分析是时间序列分析的第二步。

我们需要对时间序列数据进行可视化和统计分析，以了解数据的基本性质和模式。

可视化方法包括绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图。

统计分析方法包括计算统计指标、分析趋势、季节性和周期性。

2.3 模型的选择和估计模型的选择和估计是时间序列分析的第三步。

我们需要选择合适的时间序列模型，并进行参数估计。

常用的时间序列模型包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）、自回归滑动平均模型（ARMA）和季节性模型。

2.4 模型的诊断和预测模型的诊断和预测是时间序列分析的最后一步。

我们需要对模型进行诊断，检验模型的拟合程度和残差的平稳性、独立性和正态性。

然后，我们可以使用模型进行未来值的预测。

3. 时间序列模型时间序列模型是描述和预测时间序列数据的数学模型。

中级计量经济学-时间序列

中级计量经济学-时间序列
谈何容易？但至少需要了解分布的一些特征
考虑T期的N种资产 rit :i 1,, N;t 1,,T 1、联合分布函数 F r11,, rN1;;r1T ,, rNT ;Y;
Y为state vector Theta为分布函数的变量 给定数据rt，可以估计theta，哪怕是一部分在
既定假设模型下的theta 特例：CAPM模型，单变量时间序列分析
又叫log return
优势：多期收益率为单期收益率之和，一些统 计学的特征更容易驾驭
资产组合收益率
简单净收益率 对数收益率
考虑股息的支付
N
RP,t wi Rit i 1
N
rP,t wirit i 1
ERxt c ePtPsts1Dt
1
return
rt ln Pt Dt ln Pt1
其他非正态的stable distribution没有有限的 方差，与大部分的金融理论冲突
有些stable distribution比正态分布更能 capture厚尾现象，如Cauchy分布
Cauchy分布举例 X ~ Cauchy ,
f
x
1
2
X
2
,
X
特例：f
x
1
1 1 X
2
,
2、条件分布函数
F ri1, , riT ; F ri1 F ri2 ri1 F ri3 ri2 , ri1 F riT ri,T 1, ri,T 2 ,, ri,1
T
F ri1 F rit ri,t1, ri,T 2 ,, ri,1 t2
Temporal dependency
3、Marginal distribution
不可忽略，更容易估计，且当数据的序列相关 性较弱时，marginal与conditional很接近

计量经济学中的时间序列分析

计量经济学中的时间序列分析

计量经济学中的时间序列分析时间序列分析是计量经济学中的重要内容之一，它主要研究特定变量随时间变化的规律性和趋势。

通过时间序列分析，我们可以更好地理解经济现象，预测未来变化趋势，制定合适的政策和策略。

本文将从时间序列的概念入手，介绍时间序列分析的基本原理、方法和应用。

一、时间序列的概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据观测值的集合。

在计量经济学中，时间序列通常用来观察和研究某一经济变量在不同时间点上的变化情况。

时间序列数据可以是连续的，也可以是间断的，常见的时间单位包括年、季、月、周等。

通过对时间序列数据的分析，我们可以揭示出其中的规律性和特征。

二、时间序列分析的基本原理时间序列分析的基本原理是利用过去的数据来预测未来的发展趋势。

在时间序列分析中，常用的方法包括趋势分析、周期性分析、季节性分析和不规则波动分析。

趋势分析主要用来观察时间序列数据的长期变化趋势，周期性分析则是研究数据是否存在固定长度的周期性波动，季节性分析则是研究数据是否呈现出固定的季节性变化规律，而不规则波动分析则是研究一些随机因素对数据的影响。

三、时间序列分析的方法时间序列分析的方法有很多种，其中常用的包括移动平均法、指数平滑法、回归分析法、ARIMA模型等。

移动平均法通过计算连续几个期间的平均值来平滑数据，达到去除数据波动的目的；指数平滑法则是通过计算加权平均来对数据进行平滑处理，使得预测值更加准确；回归分析法则是通过建立经济模型来研究时间序列数据之间的关系，进行预测和分析；ARIMA模型则是一种时间序列的自回归与移动平均模型，可以对时间序列数据进行拟合和预测。

四、时间序列分析的应用时间序列分析在经济学、金融学、管理学等领域有着广泛的应用。

在经济学中，时间序列分析可以用来研究经济增长、通货膨胀、失业等经济现象的发展趋势；在金融学中，时间序列分析可以用来预测股票价格、汇率、利率等金融变量的变化情况；在管理学中，时间序列分析可以用来制定企业的生产计划和销售策略，提高企业的运营效率。

计量经济学中的时间序列分析

计量经济学中的时间序列分析

计量经济学中的时间序列分析计量经济学是应用经济学中比较基础的分支，主要研究经济学中的定量分析和增长趋势。

其中，时间序列分析作为计量经济学重要的一部分，被广泛运用于宏观经济学中的经济周期、经济增长率、通货膨胀以及个人收入等诸多领域。

时间序列分析是计量经济学中一种基本的研究方法，主要使用统计学技术处理时间序列数据，得出未来预测、检验理论假设和描述历史趋势等信息。

时间序列数据的重要性在于，它们反映了一个经济变量随着时间推移的变化规律。

这些数据可以被用来研究经济变量展现的时间趋势和季节性变化等。

因此，时间序列分析在宏观经济的长期趋势研究、短期波动分析、周期特征查验和经济结构变革判断等方面有重要的应用。

在时间序列分析中，经济变量随着时间的推移体现的规律通常被归纳为趋势、季节性、循环、随机波动四个方面。

趋势是一个时间序列中最为基本的成分，反映一项宏观经济变量的长期变化趋势，其普遍存在的原因可能是技术进步、人口变动、自然要素影响等等因素。

而季节性则是一项经济变量随着时间的相对固定的短期变化，反映的是因为季节性因素的影响而生的波动现象。

循环则是周期波动的一种体现，代表着长达数年的经济波动和周期性变化。

随机波动是时间序列中不可预测的无法被规律分析的随机性波动成分。

这种波动通常受到一些令人难以预测的特殊事件的影响，比如自然灾害、政府重大决策等。

时间序列分析方法有很多种，其中包括经典的时间序列分析方法，如白噪声检验、趋势分析、季节性分析、循环分析等。

同时也包括新兴的技术，如自回归移动平均模型(ARMA)、广义自回归条件异方差模型(GARCH)、立方样条获取非线性趋势和神经网络等。

这些方法涉及的内容比较复杂，因此初学者在学习中需要认真掌握这些方法和工具，并理解它们在数据处理和预测中的应用和限制。

总结而言，计量经济学中的时间序列分析是经济变量随时间推移表现出来的一种基本变化规律的统计学分析方法。

在宏观经济分析、政策研究、市场营销等方面有着广泛的应用。

计量经济学时间序列

计量经济学时间序列

计量经济学中的时间序列是指按照时间顺序排列的一系列数据，这些数据可以是同一指标在不同时间点的观测值，也可以是多个指标在不同时间点的观测值组合。

时间序列数据的分析主要涉及两个方面：一是数据平稳性检验，二是数据建模与分析。

数据平稳性检验是时间序列分析中非常重要的一个步骤。

平稳性是指时间序列数据的统计特性不随时间推移而发生变化。

如果数据不满足平稳性条件，那么传统的回归分析方法可能会出现问题。

因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。

如果数据是非平稳的，可能需要采用适当的处理方法，如差分、对数转换等，使其满足平稳性条件。

在数据平稳性检验通过后，接下来需要进行数据建模与分析。

在计量经济学中，自回归模型（AR模型）是一种常用的时间序列模型。

自回归模型是统计上一种处理时间序列的方法，它用同一变数例如x 的之前各期，亦即x 1至x t-1来预测本期x t的表现，并假设它们为一线性关系。

除了自回归模型外，还有其他的模型可用于时间序列分析，如移动平均模型（MA模型）、自回归移动平均模型（ARMA模型）等。

这些模型的参数估计与假设检验方法也是计量经济学中研究的重点内容之一。

总之，计量经济学中的时间序列分析是一个相对独立且完整的领域，它为经济学、金融学等领域的研究提供了重要的方法论支持和实践指导。

计量经济学-第21章 时间序列计量经济学基础Ⅰ--平稳性、单位跟与协整

如果 Yt 满足 Yt Yt1 a ut
其中a是常数，ut 是平稳的，比如 E(ut ) 0,var(ut ) 2 ，
则这样的 Yt 过程叫做DSP
可见一个平稳时间序列可以用一个TS过程作为它的 模型，而一个非平稳时间序列则代表一个DS过程
对于存在随机趋势的时间序列的关系的分析需要做 协整以及非平稳性检验
在做PCE对PDI的回归时可以加进趋势变量t，消去PCE和PDI的时间趋 势。
当时我们曾经强调，只有当趋势变量是确定性的（deterministic），而不 是随机（stochastic）时，才可以这样做。
如果一个时间序列有一个单位根，则不能使用加进趋势变量t的方法来去 除趋势。
趋势平稳过程（trend-stationary process，简记为TSP），在下面的回归 中：
考虑一下模型
（21.3.4）
其中 ut 是均值为零，恒定方差且序列不相关的随 机误差项，即 ut 是white noise。
这是一个一阶自回归模型，Yt-1的系数为1，｛Yt｝ 序列存在一个单位根。也就是说,｛Yt｝是一个非 平稳序列。
有一个单位根的时间序列叫做随机游走（时间序 列）。随机游走（random walk）是非平稳时间 序列的一个例子。
其中，n—样本容量，m—滞后长度 Q近似地（即在大样本中）服从m个自由度的
分布。
则拒绝全部 同时为零的虚拟 假设。也就是说，至少有一个（或一些） 是非零的。
设。
则不拒绝全部 为零的虚拟假
杨—博克斯（Ljung Box）构造的统计量是对博克 斯—皮尔斯（Box-Pierce）Q统计量的一种改进。
LB统计量比Q统计量具有更好的小样本性质。 图21.8中的例子，基于25期滞后的Q统计量为793， LB统计量为891，两者都是高度显著的，得到 值的P值几乎为零。

华中科技大学《计量经济学》第二十一章：时间序列计量经济学.


s( u )
1 T 2 ˆt u T 1 t 2
DF > 临界值，则接受H0，yt 非平 稳； DF < 临界值，则拒绝H0，yt是平 稳的。
表 DF分布临界值表 表 9.1.3
样 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 -3.00 -2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60
协积概念推广到多个时间序列时，更一般的定义如下： Xt代表n×1维的序列向量X1t,X2t,…，Xnt，且 (1)每一序列均为I(d)过程，
(2)存在n×1维向量,使得 Xt～I(d-b)，那么：
Xt ～CI(d、b) 这一定义使协积概念可以应用到 VAR( 向量自回归模型 ) 之中，从而赋予协积概念新的维数。在实证计量经济学 中，最有趣的情形即为运用协积向量转换后的序列变得 平稳， d=b ，且构成协积向量的协积系数与变量间长期 关系式中的参数保持一致。
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
rk
X
t 1
nk
t n
X X t k X
t
X
t 1
X
2
k 1,2,3,
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但 从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
rk
1
rk
1
0
k
0
k
(a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
21.9 单位根检验
yt yt 1 1yt 1 t
H0：=0 H0：=1
yt 1 yt 1 t , 1
H1：<0 H0：<1
1.迪基－富勒检验ＤＦ（Dickey-Fuller Test） 模型1： yt= yt-1+ t, t, ~i.i.dN（0，2）. 模型2： yt= + yt-1+ t t, ~i.i.dN（0，2） 模型3： yt= + yt-1+t+ t t, ~i.i.dN（0，2）

古扎拉蒂《计量经济学基础》第21章


将k 对k描点，得到的图形称为总体相关图
（population correlogram）。一般地，只有随机
过程的一个实现（样本），所以只能计算出样
本自相关函数（Sample autocorrelation
function） ˆk 。
样本自协方差
ˆk
(Yt Y )(Ytk
n
Y )
(21.8.1)
随机过程的例子：水中游动的花粉，是一个 Ito过程。
平稳随机过程（stationary stochastic process）:如果一个随机过程的均值和方差在时 间过程上都是常数，并且在任何时候两时期之间 的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后， 而不依赖于计算这个斜方差的实际时间，就称之 为平稳随机过程。
第四，诸如股票价格之类的某些金融时间 序列表现出所谓的随机游走现象（random walk phenomenon）。这就意味着，对一支股票（比 如 IBM）明天价格的最佳预测，就等于今天的 价格加上一个纯粹随机的冲击（或误差项）。 若果真如此，预测资产价格将是一件徒劳无益 的事情。
第五，涉及时间序列数据的回归模型常常 被用于预测。鉴于以上讨论，会想知道，如果 所依据的时间序列不是平稳的，这种预测是否 仍然有效。
t= （2.7368） （2.5243） (-2.5751) 这里，关注的是 PCEt1 和 PDIt1 的 t 值。 在1%、5%或10%的水平下， Mackinnon计算的 DF临界值分别为-4.0673、-3.4620、-3.1570。
可见,PCE和PDI都有单位根,它们是非平稳的
因此，（*）式做的是非平稳时间序列对另 一个非平稳时间序列的回归。在这种情况下，标 准的t检验和F检验是无效的。

计量经济学--时间序列部分

1. 已知MA(2)模型：120.70.4t t t t X εεε--=-+，2.（1）计算自相关系数(1)k k ρ≥；（2）计算偏相关系数(1,2,3)kk k ϕ=；解：（1）1212[0.70.4)(0.70.4)]t t k t t t t k t k t k EX X E εεεεεε--------=-+-+（所以：2220120,(1)k εγθθσ==++，211121,(),k εγθθθσ==-+2122,k εγθσ==-，3,0k k γ≥=，所以：112122120.591θθθρθθ-+==-++2222120.241θρθθ-==++0,3k k ρ=≥（2）1110ρϕρ=即111ϕρ=，所以110.59ϕ≈-当2k =时，产生偏相关系数的相关序列为2122{,}ϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：0121110222ρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以220.166ϕ≈-当3k =时，产生偏相关系数的相关序列为313233{,,}ϕϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：123111132221333111ρρϕρρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以330.047ϕ≈2.题：考虑MA （2）模型yt=εt –θ1εt-1 –θ2εt-2(1) 求出yt 序列的均值与方差(2) 推导出以下理论自相关函数 ρ1=（1+θ12++θ22）−1（θ1θ2-θ1）ρ2=-θ2（1+θ12++θ22）−1ρj = 0 , j > 2(3) 在什么条件下该模型为平稳时间序列模型？该模型可逆的条件是什么？答案：（1）μ=E （yt ）=E （εt –θ1εt-1 –θ2εt-2）= 0 σy 2= E （yt−μ）2= E(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2)(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2) =(1+θ12+θ22) E （εt 2） =(1+θ12+θ22)σε2(2)γ0=E(ytyt )= E(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2)(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2) =(1+θ12+θ22)σε2γ1=E(ytyt −1) = E(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2)(εt-1–θ1εt-2 –θ2εt-3) =(θ1θ2-θ1)σε2γ2=E(ytyt −2) = E(εt –θ1εt-1 –θ2εt-2)(εt-1–θ1εt-23–θ2εt-4) =-θ2σε2所以，ρ1=γ1/γ0=（1+θ12++θ22）−1（θ1θ2-θ1） ρ2=γ2/γ0=-θ2（1+θ12++θ22）−1(3)该模型在任何情况下都是平稳的，因为其右边是一系列的白噪音过程的叠加。

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★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0 (2) ( X i X ) 2 / n 依概率收敛： P lim ( ( X
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)： 例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中： 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
白噪声过程： 零均值： 同方差： E ( t ) 0 E ( t2 ) 2 t
无自相关： E ( t ) 0 白噪声过程为弱平稳过程。
满足上述三个条件的随机过程为白噪声过程， 若再加上不同时间的各个 是独立的，即：
t， 独立，
t
则称为独立白噪声过程。 若上述条件成立，且：
谬误回归现象 一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变 化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关 系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2， 但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称 之为虚假回归或伪回归（spurious regression）。
R 2 d 就是怀疑所估计的回归是谬误回归的一个 很好的经验法则。
t
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
n i
X ) 2 / n) Q
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致 P lim ˆ 性”特性： ( )
n
注意：在双变量模型中：
ˆ
x u x
i 2 i
i
x u /n x /n
i i 2 i
因此：
ˆ P lim xi u i / n 0 P lim n Q P lim xi2 / n
期望： 方差：
E (Yt ) E (Y0 t ut ) Y0 t var(Yt ) t
2
可见，随着时间t的增加,Y的均值和方差会随着时间 而增大，因此违背了平稳性条件。因此，带漂移的 随机游走过程也是非平稳的随机过程。
随机游走过程虽然是非平稳的，我们进行差分： （Yt Yt 1） Yt ut 因此，一阶差分后的过程为平稳过程。 通常，非平稳过程的差分过程会变为平稳过程， 后面的单位根检验会详细讲述。
• 若一个时间序列的趋势完全可以预测而 且保持不变，我们称为确定性趋势 • 若这个时间序列的趋势不能预测，则称 之为随机性趋势。
考虑如下的含有一阶自回归的随机过程： Xt=+t+Xt-1+t （*） 其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。 1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机 游走过程： Xt=+Xt-1+t （**） 根据的正负，Xt 表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为随机性趋势（stochastic trend）。 2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的 随机变化过程： Xt=+t+t （***） 根据的正负，Xt 表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为确定性趋势（deterministic trend）。
为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引 入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变 量的回归，可以消除这种趋势性的影响。
然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的 （deterministic）而非随机性的（stochastic）， 才会是有效的。
换言之，如果一个包含有某种确定性趋势的非 平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋 势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。
时间序列计量经济学模型的理论与方法
第一节 时间序列的平稳性及其检验
第二节 随机时间序列模型的识别和估计
第三节 协整分析与误差修正模型
§21.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归 模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
带漂移项的随机游走过程（含有截距项）： 假设：ut 是均值为0和方差为 2的白噪声过程。 Yt Yt 1 ut 其中 为漂移参数。 （Yt Yt 1） Yt ut Yt 根据 为正或负而向上或向下漂移。 Y1 Y0 u1 Y2 Y1 u2 Y0 2 u1 u2 Y3 Y3 u3 Y0 3 u1 u2 u3 可以得出： Yt Y0 t ut
不带漂移项的随机游走过程（不含有截距项）： 假设：ut 是均值为0和方差为 的白噪声过程。
2
Yt Yt 1 ut 则称Yt 序列为随机游走过程。 Y1 Y0 u1 Y2 Y1 u2 Y0 u1 u2 Y3 Y3 u3 Y0 u1 u2 u3 可以得出： Yt Y0 ut
3) 如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性 两种趋势。 判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性 的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个 模型进行。
该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t， 即分离出了确定性趋势的影响。 因此，(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位 根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显 示出随机性趋势; (2)如果没有单位根，且时间变量前的参数 显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 • 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的，这种非平稳归因于过程中存在某 种趋势；
⒈单整
随机游走序列 Xt=Xt-1+t 经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列{Xt} 是平稳的。
如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原 序列是一阶单整（integrated of 1）序列，记为I(1)。
一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列， 则称原序列是d 阶单整（integrated of d）序列，记为I(d)。 显然，I(0)代表一平稳时间序列。 现实经济生活中: 1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等; 2)大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常 是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式 变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平 稳的。这种序列被称为非单整的（non-integrated）。
t N (0, 2 )
则称该过程为高斯程不满足上述平稳过程定义中 的某一条性质，即均值、方差和协方差 都随时间而变化，或者其一会随时间变 化，都为非平稳过程
• 随机游走过程就是非平稳过程 • 随机游走过程分为： （1）不带漂移的随机游走（即不存在常 数项或截距项） （2）带漂移的随机游走（出现常数项或 截距项）
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：
• 时间序列数据（time-series data)；
• 截面数据(cross-sectional data)
• 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。 • 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程； • 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
Xt
Xt
t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
2) ||=1时，称为单位根过程，若一个变量序列 中存在单位根，则这么变量就服从随机游走或称为 非平稳的 注：单位根和非平稳之间的关系如此之强，使得计 量经济学家们通常不加以区分地使用这两个词，即 使他们知道趋势和单位根都是造成序列非平稳的原 因 只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。
单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
期望： 方差：
E (Yt ) E (Y0 ut ) E (Y0 ) var(Yt ) t 2
可见，Y的均值等于初始值为一个常数。但是随着 时间t的增加，其方差会随着时间而增大，因此违背 了平稳性条件。因此，不带漂移的随机游走过程是 非平稳的随机过程。 随机游走过程中，随机冲击具有持久性，一个特 定的冲击永远不会消失，随机游走过程会永远记住每 次冲击，具有无限记忆性质。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 容，并广泛应用于经济分析与预测当中。