2022高三统考数学一轮课件：第二章 第十二节 第一课时 导数与不等式问题

第二章 函数、导数及其应用第十二节 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式问题课时规范练A 组——基础对点练1．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞ C ．(－∞，2] D ．(－∞，2)答案：A2．对任意x ∈R ，函数f (x )的导数存在，若f ′(x )>f (x )，且a >0，则以下说法正确的是( ) A ．f (a )>e a ·f (0) B ．f (a )<e a ·f (0) C ．f (a )>f (0)D ．f (a )<f (0) 解析：设g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x >0，故g (x )＝f （x ）e x 为R 上的单调递增函数，因此g (a )>g (0)，即f （a ）e a >f （0）e＝f (0)，所以f (a )>e a·f (0)，故选A. 答案：A3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案：D4．(2020·吉林模拟)已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )的图像经过点(2，4)，且f ′(x )＞1，则不等式f (2x －2)＜2x 的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，1)解析：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝f ′(x )－1＞0，所以g (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，且g (2)＝f (2)－2＝2.由f (2x －2)＜2x 得f (2x －2)－(2x －2)＜2，即g (2x －2)＜g (2)，所以⎩⎨⎧2x －2＞0，2x －2＜2，解得1＜x ＜2.故选C.答案：C5．(2020·昆明调研)若函数f (x )＝2x －x 2－1，对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4]D ．(－∞，5]解析：对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2＋1恒成立．令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2＋1，当x ＜0时，g (x )＜h (x )，当x ＝0或1时，g (x )＝h (x )，当x ＝2或3或4时，g (x )＜h (x )，当x ≥5时，g (x )＞h (x )．综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D. 答案：D6．函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )在区间[e －2，＋∞)上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 2，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e 2，1e D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，2e解析：令f (x )＝ln x ＋ax ＝0，x ∈[e －2，＋∞)，得－a ＝x ln x ．记H (x )＝x ln x ，x ∈ [e －2，＋∞)，则H ′(x )＝1＋ln x ，由此可知H (x )在[e －2，e －1)上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增，且H (e －2)＝－2e －2，H (e －1)＝－e －1，当x →＋∞时，H (x )→＋∞，故当2e 2≤a ＜1e 时，f (x )在[e －2，＋∞)上有两个零点，故选A. 答案：A7．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A.a b B ．a 2b C.b aD ．b 2a解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，所以y ′＝4πaR －2bVR 2. 令y ′＝0，得2R h ＝ba . 答案：C8．(2020·无锡质检)已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，g (x )＝xf ′(x )，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）＜g （x ）.若存在x ∈[1，2]，使得h (x )＝f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，2] B ．(0，2) C ．(0，2]D ．(0，1]解析：f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2.∵存在x ∈[1，2]，使得h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x2在[1，2]上有解，即不等式2a≤1x3＋3x在[1，2]上有解．设y＝1x3＋3x＝3x2＋1x3(x∈[1，2])，∵y′＝－3x2－3x4＜0在[1，2]上恒成立，∴y＝1x3＋3x在[1，2]上单调递减，∴当x＝1时，y＝1x3＋3x取得最大值4，∴2a≤4，即a≤2，又a＞0，故实数a的取值范围为(0，2]，故选C. 答案：C9．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析：令y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0＜x＜40时，y′＜0；当x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．答案：4010．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，求a的取值范围．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．B组——素养提升练11．若等差数列{a n}中的a28，a4 012是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－1的两个极值点，则log8a2 020＝________．解析：由题意可知f′(x)＝x2－8x＋6，又a28，a4 012是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－1的极值点，∴a28，a4 012是方程x2－8x＋6＝0的两个实根，由根与系数的关系可得a28＋a4 012＝8，由等差数列的性质可得2a2 020＝a28＋a4 012＝8，∴a2 020＝4，∴log8a2 020＝log84＝2 3.答案：2312．(2020·西安八校联考)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上单调递增，且在区间(1，2)上有零点，求实数a 的取值范围．解析：由f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，可知f ′(x )＝x 2＋2x －a 在(1，＋∞)上恒大于等于0，又因为函数f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以只需f ′(1)＝1＋2－a ≥0 即a ≤3，又f (x )在区间(1，2)有零点， 所以f (1)·f (2)＜0，即43＜a ＜103， 综上可知43＜a ≤3. 13．设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x ，令f ′(x )＝0得x ＝－1±2，当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减；在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)令g (x )＝f (x )－ax －1＝(1－x 2)e x －(ax ＋1)， 令x ＝0，可得g (0)＝0， g ′(x )＝(1－x 2－2x )e x －a ，令h (x )＝(1－x 2－2x )e x －a ，h ′(x )＝－(x 2＋4x ＋1)e x ，当x ≥0时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，故h (x )≤h (0)＝1－a ，即g ′(x )≤1－a ， 要使f (x )－ax －1≤0在x ≥0时恒成立，需要1－a ≤0，即a ≥1，此时g (x )≤g (0)＝0，故a ≥1，综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．14．(2020·鹰潭市模拟)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N ＋)． 解析：(1)f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)，当a ＞0时，f (x )的单调增区间为(0，1]，减区间为[1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由f ′(2)＝－a 2＝1，得a ＝－2，f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎨⎧g ′（t ）<0g ′（3）>0， 由题意知，对于任意的t ∈[1，2]，g ′(t )＜0恒成立，所以有⎩⎨⎧g ′（1）<0g ′（2）<0g ′（3）>0，∴－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1此时f (x )＝－ln x ＋x －3， 所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时f (x )＞f (1)， 即－ln x ＋x －1＞0，∴ln x ＜x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立， ∵n ≥2，n ∈N ＋，则有0＜ln n ＜n －1， ∴0<ln n n <n －1n ，∴ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N ＋)．。

第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。

函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。

（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。

(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。