高一数学导数课件

高一数学复习考点知识讲解课件第3课时导数 考点知识1.理解导数及导函数的概念.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数． 导语同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就．一、导数的概念问题1瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？提示瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数． 知识梳理1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．注意点：f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 例1设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f ()x 0＋3Δx －f ()x 02Δx＝1，则f ′()x 0等于() A.23B ．－23C ．1D ．－1答案A解析由题意知lim Δx →0f ()x 0＋3Δx －f ()x 02Δx ＝lim Δx →032×f ()x 0＋3Δx －f ()x 03Δx＝32f ′()x 0＝1， 所以f ′()x 0＝23.反思感悟利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系．跟踪训练1已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f (2＋2Δx )－f (2)2Δx等于() A ．f ′(x ) B ．f ′(2) C ．f (x ) D ．f (2)答案B解析因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx， 所以lim Δx →0f (2＋2Δx )－f (2)2Δx＝f ′(2)．二、求函数在某一点处的导数例2求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而f ′(1)＝2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx.跟踪训练2(1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为()A ．2xB ．2C ．2＋ΔxD ．1答案B解析lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →01＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于()A ．－4B ．2C ．－2D ．±2答案D解析因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )， 所以f ′(m )＝lim Δx →0－2m (m ＋Δx )＝－2m 2， 所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.三、导函数问题2以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？提示这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可知f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．知识梳理导函数的定义若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点处的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 注意点：(1)f ′(x 0)是具体的值，是数值．(2)f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．例3求函数y ＝x ＋1(x >－1)的导函数．解令f (x )＝x ＋1，则f ′(x )＝lim Δx →0f ()x ＋Δx －f (x )Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx ＋1－x ＋1Δx＝lim Δx →0x ＋Δx ＋1－()x ＋1Δx ⎝⎛⎭⎫x ＋Δx ＋1＋x ＋1 ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋1＋x ＋1＝12x ＋1.反思感悟求导函数的一般步骤：(1)Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． (2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3已知函数f (x )＝x 2－12x .求f ′(x )．解∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(Δx )2＋2x ·Δx －12Δx ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －12.∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x －12.1．知识清单：(1)导数的概念及几何意义．(2)求函数在某点处的导数．(3)导函数的概念．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系．1．若函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx等于() A ．－2f ′(1) B.12f ′(1)C ．－12f ′(1)D ．f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12 答案C解析lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx＝－12lim Δx →0f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝－12f ′(1)． 2．若lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝x 2，则f (x )的导函数f ′(x )等于() A ．2x B.13x 3C ．x 2D ．3x 2答案C解析由导数的定义可知，f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝x 2. 3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)等于()A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案D解析由导数的几何意义知f ′(1)＝2.4．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝.答案12解析f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →01＋Δx －1Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.课时对点练1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线()A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案B解析因为f ′(x 0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0.2．已知某质点的运动方程为s ＝2t 2－t ，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，则s ′()2为()A ．3m/sB ．5m/sC ．7m/sD ．9m/s答案C解析s ′()2＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →02(2＋Δt )2－(2＋Δt )－()2×22－2Δt ＝lim Δt →0 (7＋2Δt )＝7.3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于() A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案C解析∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0f (Δx )Δx ＝－1. 4．已知曲线f (x )＝12x 2＋x 的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D解析∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－12x 2－x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝x ＋1. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＋1＝3，∴x 0＝2.5．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案BC解析设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx＝3x 20－2＝tan π4＝1，所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.6．(多选)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h的值() A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关答案AD解析由导数的定义可知，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关．7．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝.答案3解析因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a . 又因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)＝. 答案3解析因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f ′(2)＝3.9．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 10．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)与时间t (单位：s)之间的函数关系为y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解因为Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt＝3， 所以f ′(2)＝lim Δt →0Δy Δt＝3. f ′(2)的实际意义：水流在t ＝2时的瞬时流速为3m 3/s.11．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为()A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案A解析设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.12．若曲线y ＝f (x )＝x ＋1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是() A ．(－∞，－1) B ．(－1,1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案C解析y ＝x ＋1x 上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.13．函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，下列数值排序正确的是()A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案B解析由f (x )的图象可知，f (x )在x ＝2处的切线斜率大于在x ＝3处的切线斜率，且斜率为正，∴0<f ′(3)<f ′(2)，∴f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)可看作过(2，f (2))和(3，f (3))的割线的斜率，由图象可知f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，∴0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．14．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为． 答案728解析由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，已知f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为． 答案2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b >0. 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 当且仅当a ＝c ＝b 2时等号成立．16．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0，所以在点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x ＋1－x 20， 而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切， 所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1， 得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。