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§ 3 循环群（Cyclic Group）定义若G=<a>，则G被称为循环群.a称为G的一个生成元. Fg1 整数集Z对于普通加法是一个循环群,-1和1是生成元.Fg2 对n≥1,Z n={0,1,⋅⋅⋅,n−1}关于模n的加法是一个循环群.1和−1=n−1为生成元.Fg3 Z8=<1>=<3>=<5>=<7>Fg4 U10=1,3,7,9=<3>=<7>Fg5 U8={1,3,5,7}定理1G是一个群，a∈G.如果a=∞,则a i=a j当且仅当i=j.如果a=n,则<a>={e,a,a2,⋅⋅⋅,a n−1}和a i=a j当且仅当n|i−j.Corollary 1 a=<a>Corollary 2 a k=e implies that a divides k.Fg6 假设a=6，则<a>的结构如下图定理2 假设a是一个群阶为n的一个元和k是一个正整数, 则<a k>=<a gcd(n,k)>和 a k=n gcd(n,k).Corollary 1 在一个有限循环群中，元素的阶整除群的阶.Corollary 2 假设a=n,则<a i>=<a j>当且仅当gcd n,i=gcd(n,j)和 a i= a j当且仅当gcd n,i= gcd(n,j).Corollary 3假设a=n, 则<a>=<a j>当且仅当gcd n,j=1和a= a j当且仅当gcd n,j=1.Corollary 4 Z n中，整数k为Z n的一个生成元当且仅当gcd n,k=1.循环群的子群的分类定理 3 Fundamental Theorem of Cyclic Group循环群的每一个子群都是循环群.如果<a>=n,则<a>的任意一个子群的阶是n的一个因子.而且对n的每一个正因子k,<a>只有一个k阶子群即<a n/k>.Corollary 对于n的每一个正因子k,Z n的唯一阶k的子群为<n/k>；而且所有的<n/k>为Z n的全部子群.Fg7 Z30的全部子群为定义若ϕ1=1且当n>1时，ϕn为小于n同n互素的正整数的个数，则ϕ为Z+的一个函数.这个数学理论函数叫做Euler phi function.由U(n)的定义，我们知道U(n)=ϕ(n).ϕ(n)的前12个函数值在下表中给出定理4 如果d是n的一个因子，则一个阶为n的循环群中阶为d的元的个数为ϕ(d).Corollary 在一个有限群中，阶为d的元的个数被ϕ(d)整除.Subgroup lattice of group。
《信息安全数学基础》课中的思政建设发布时间：2022-08-15T07:04:28.157Z 来源：《时代教育》2022年7期作者：张玉丽蔡庆军柯丽珊[导读] 信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
张玉丽蔡庆军柯丽珊广州大学数学与信息科学学院，广东广州，510006摘要：信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
专业课程的设置在不断调整，随着网络技术和信息技术的发展，越来越多的新课程不断加入，同时也适当地删减了一些课程。
但该专业的数学基础类课程-《信息安全数学基础》课却一直不能缺省，而且在思政方面还需要融入更多的教学内容与思想。
本文在广州大学信息安全专业开设的《信息安全数学基础课》的教学、体会基础上，讨论了该课程的思政建设，得到了一些体会。
关键词: 《信息安全数学基础》；思政建设；网络安全0引言自2000年左右我国开设信息安全本科专业至今，已有20余年。
起初开设该专业的高校仅有几家，但随着网络技术、信息技术的快速发展，以及网络安全从业人员的需求量越来越大，越来越多的高校纷纷开设了信息安全专业。
各高校一般将信息安全专业放在师资实力较强的学院，例如有的放在数学学院（广州大学就是这样设置的），有的放在计算机学院，有的放在通信学院，甚至有些高校还放在电子商务学院。
主要是根据信息安全方向硕士、博士的培养课程来进行设置相应的本科课程。
虽然各高校开设的专业课也不完全相同，但都非常注重数学理论课程的学习，不约而同开设了几乎相同的数学内容，包括初等数论、群、环、域、概率论等。
由于信息安全专业毕业后的许多毕业生去向是政府部门中的要害部门、企业中的信息管理职位，故该专业的思想政治教育尤为重要。
十八大以来，习近平总书记多次强调高校要重视课程的思政建设。
最近几年，有关信息安全专业的思政建设方面的研究论文比较多，但主要是集中在该专业总体方面的思政建设[1-4]，几乎没有讨论《信息安全数学基础》这门课地思政建设。
信息安全数学基础教案（禹勇）教师教案（2009 —2010 学年第一学期）课程名称: 信息安全数学基础授课学时: 40学时授课班级: 信息安全专业，〜60班任课教师: 禹勇教师职称: 讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学信息安全数学基础教案（禹勇）第一章整除与同余授课时数：6一、教学内容及要求1. 整除的概念及欧几里得除法，理解2. 整数的表示，理解3. 最大公因数及广义欧几里得除法，掌握4. 整除的进一步性质及最小公倍式，掌握5. 素数和算术基本定理，掌握6. 同余的概念，掌握二、教学重点与难点本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面:信息安全数学基础教案(禹勇)1. 欧几里得除法和广义欧几里得除法。
2. 最大公因数和最小公倍数。
3. 整数的标准分解式。
4. 同余的概念三、内容的深化和拓宽在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。
四、教学方式(手段)及教学过程中应注意的问题1. 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT 演示的方式。
2. 讲述证明整除方面的定理的常用方法。
3. 通过举例阐述重要定理的内容和含义。
五、作业1. 证明：若2|n, 5|n, 7|n那么70|n。
2. 证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。
3. 证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。
4. 证明：任意三个连续整数的乘积都被6 整除。
5. 证明：对于任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数。
6. 证明：191，547都是素数，737，747都是合数。
7. 利用爱拉托斯筛法求出500 以内的全部素数。
8. 求如下整数对的最大公因数：(1) (55, 85) (2) (202, 282)9. 求如下整数对的最大公因数：信息安全数学基础教案(禹勇)(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)(1) 1613, 3589 (2)2947, 377211. 证明:若(a,4)=2, (b,4)=2，则(a+b,4)=41 2 .求出下列各对数的最小公倍数。
