第31讲 平面向量的数量积(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

新高考数学新题型一轮复习课件第五章§5.3　平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识1.向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作 则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a 与b 的数量积，记作_____.∠AOB |a ||b |cos θa ·b投影投影向量|a|cos θe4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).a·c＋b·c (3)(a＋b)·c＝_________.几何表示坐标表示数量积a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝__________模|a |＝_______|a |＝__________夹角cos θ＝______cos θ＝______________a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0_____________5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2＝0a∥b的充要条件a＝λb(λ∈R)_____________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)x1y2－x2y1＝1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .( )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )(4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( )×××√1.(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是A.0·a ＝0B.a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC.a ·b ＝0⇒a ⊥bD.(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2√√设a ，b 的夹角为θ，依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，2.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.3.已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1　(1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_____；a ·b ＝_____.题型一平面向量数量积的基本运算0 3∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.－2如图所示，∴四边形ABCD为平行四边形，教师备选√解得t＝3，1①∵M是BC的中点，∵D是AM的中点，②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，－1∴P为BC的中点.∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，题型二平面向量数量积的应用命题点1　向量的模例2　已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝_______，|a－3b|＝________.因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，命题点2　向量的夹角例3　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于√∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，命题点3　向量的垂直例4　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，教师备选1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为√设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，1 2.已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________.所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|＝1.(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).√方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则√√由题意可知，＝cos(α＋2β)，例5　(多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是题型三平面向量的实际应用√√√由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误.教师备选若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的大小；∵三个力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，(2)F3与F1夹角的大小.。

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高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．（文)(2010·东北师大附中）已知｜a|＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b 方向上的投影是（）A．－4 B．4C．－2 D．2[答案] A［解析] a在b方向上的投影为错误!＝错误!＝－4。

（理）(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!或错误!［答案］B[解析］由条件知,错误!＝2,错误!＝1，a·b＝4,∴|a|＝4,｜b｜＝2，∴cos〈a，b>＝错误!＝错误!＝错误!,∴〈a,b>＝错误!。

2．(文)（2010·云南省统考)设e1,e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2,b＝x e＋3e2，如果a⊥b,那么实数x等于( ）1A．－错误! B.错误!C．－2 D．2[答案］C[解析] 由条件知｜e1|＝|e2｜＝1,e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2。

(理）（2010·四川广元市质检)已知向量a＝（2，1），b＝(－1，2），且m＝t a＋b，n＝a －k b(t、k∈R），则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D［解析］m＝t a＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－k b＝（2＋k，1－2k），∵m⊥n，∴m·n＝（2t－1）（2＋k）＋(t＋2)(1－2k）＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．（文)（2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则错误!·错误!等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16［答案] D[解析］因为∠C＝90°，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝｜错误!|2＋错误!·错误!＝AC2＝16。

2019版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练31 平面向量的数量积理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练31 平面向量的数量积理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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题组训练31 平面向量的数量积1．已知a＝(1，2），2a－b＝(3，1）,则a·b＝( ）A．2 B．3C．4 D．5答案D解析∵a＝（1，2)，2a－b＝（3，1），∴b＝2a－（3,1）＝2(1，2）－（3,1)＝(－1，3)．∴a·b＝(1，2）·(－1，3）＝－1＋2×3＝5。

2．已知|a｜＝6，|b｜＝3,a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是（)A．－4 B．4C．－2 D．2答案A解析∵a·b＝|a||b|cos〈a,b>＝18cos<a,b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－错误!。

∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a,b〉＝－4.3．(2018·上海杨浦区一模)若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c）”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵a与b－c都是非零向量，∴a·b＝a·c⇔a·b－a·c＝0⇔a·(b－c）＝0⇔a⊥（b－c),故“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的充要条件．故选C.4．（2018·黑龙江大庆第一次质检)已知向量a＝(1，2），b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b｜＝（)A。