《复变函数论》第四章-22页文档资料

复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。

高等学校教材复变函数论（第二版）钟玉泉　编高等教育出版社郑重声明 高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。

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版权所有　侵权必究第二版　序本书自１９７９年出版以来已重印了八次，采用它作教材的学校，除一些综合大学、师范院校外，还有一些理工院校的应用数学专业、计算专业、师资班和研究生班等。

复变函数论目录1简介2历史3内容4发展4.1 柯西-黎曼方程4.2 柯西积分定理4.3 黎曼映射定理4.4 幂级数的作用4.5 综述4.6 单值函数4.7 多值函数4.8 几何理论4.9 聚集合的概念5作用6分支学科1简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。

它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显着的区别。

因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。

它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

2历史复数的概念源于求解方程组的根。

早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想。

17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。

复变函数论产生于十八世纪。

1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。

而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

当时的数学家公认复变函数是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

第四章 复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时1.复数项级数定义4.1 复数项级数就是121nn n zz z z ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.1)其中n z (1,2,)n =为复数定义4.2 对于复数项级数(4.1)，设 n σ=121nnn k zz z z ==++⋅⋅⋅+∑ (4.2)若lim n n σ→∞存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1lim lim()0n n n n n z σσ-→∞→∞=-= (4.3)其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设111n nn n n n z ai b ∞∞∞====+∑∑∑ (4.4)其中,n n a b (1,2,)n =均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N ε∀>∃，使n N >及P N ∀∈，均有11Pn kn n P k zz z ε+++==++<∑定义4.3 若级数1nn z∞=∑收敛，则称级数1nn z∞=∑为绝对收敛.由关系式1kk a∞=∑及1111kk k k k k k k k bz a b ∞∞∞∞∞=====≤=≤+∑∑∑∑及定理4.1即可推得.定理4.3 级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kk a+∞=∑及1kk b+∞=∑绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数1nn a+∞=∑当1a <时，由于111121n knn k a aa aσ+∞=-==+++=-∑，而当1a <时，1lim 0n n a+→∞=，于是1lim 1n n aσ→∞=- 因此级数1nn a ∞=∑(1)a <收敛且有111n n a a∞==-∑， 显然，当1a <时，级数1nn a∞=∑亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上有定义，则称级数11()()()nn n fz f z f z ∞==+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.5)为定义在E 上的复函数项级数.定义4.5 设函数()f z 在E 上有定义，如果z E ∀∈，级数(4.5)均收敛于()f z ，则称级数(4.5)收敛于()f z ，或者说级数(4.5)和函数()f z 记作1()()nn fz f z ∞==∑ (4.6)定义4.6 如果0,()N N εε∀>∃=，使得当n N >时，对任一z E ∈，均有1()()nkk fz f z ε=-<∑则称级数(4.5)在E 一致收敛于()f z .与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数(4.5)在E 上一致收敛的充要条件是：0,()N N εε∀>∃=，使当n N >时，对任一z E ∈及P N ∀∈均有1()()n n P f z f z ε++++<由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 (魏尔斯特拉斯M -判别法) 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在点集E 上有定义12n a a a ++++为一收敛正项级数，若在E 上成立()(1,2,)n n f z a n <=⋅⋅⋅则级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上连续，级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上连续.定理4.7 设()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在简单曲线C 上连续，级数(4.5)在C 上一致收敛于()f z ，则1()()n n CCn f z dz f z dz ∞==∑⎰⎰.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,如果级数(4.5)在D 内任一有界闭区域上一致收敛于函数()f z ,则称级数(4.5)在D 内闭一致收敛于()f z .由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8 设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,级数1()nn fz ∞=∑在D 内中闭一致收敛于函数()f z ,则()f z 在D 内解析,且在D 内成立()()1()()k k n n fz f z ∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅证明: 0z D ∀∈,取0r >,使得0(,)U z r D ⊂.在U 内任作一条简单闭曲线C ,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0n CCn f z dz f z dz +∞===∑⎰⎰.因而由莫勒拉定理知()f z 在U 内解析,再由0z D ∈的任意性即得()f z 在D 内解析.其次,设U 的边界r C D ⊂,由已知条件得1()nn fz +∞=∑在r C 上一致收敛于()f z ,从而110()()k n f z z z +∞+=-∑在r C 上一致收敛于1()()k f z z z +-,根据定理4.7,我们有 10!()2()r k C k f z dz i z z π+-⎰=110()!2()r n k C n f z k dz i z z π+∞+=-∑⎰ 即 ()()001()()k k n n fz f z +∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅ 于是定理结论成立.作业:第178页 1.§2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 课时：2学时 定义4.8 形如()000100()()()k n n n n n fz a z z a a z a z z +∞==-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (4.7)的级数称为幂级数,其中z 是复变量, (1,2,)n a n =⋅⋅⋅是复常数. 特别地,当00z =时,级数(4.7)就变为010nn n n n a za a z a z +∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z =时,级数(4.8)总是收敛的. 当00z ≠时,则有定理4.9 如果幂级数(4.8)在1(0)z ≠收敛,则对任意满足1z z <的z ,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z 发散,则对任意满足2z z >的z ,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z 收敛.∴1lim 0nn n a z →∞=从而0M ∃>,使得1nn a z M ≤ (0,1,2,)n =⋅⋅⋅其次,级数(4.8)可写成11()nn n n z a zz +∞=⋅∑,因此111n n n n n n z z a z a z M z z =≤⋅1(1)nz k z =< 由于级数nn Mk+∞=∑收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R ,(0)R <<+∞,使得级数(4.8)当z R <时绝对收敛,当z R >时发散.R 称为级数(4.8)的收敛半径, z R <称为收敛圆,当R =+∞时,我们说(4.8)的收敛半径是+∞,收敛圆为复平面.当0R =时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z =,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10 (柯西Cauchy -阿达玛Hadamard 公式).若以下条件之一成立.(1)1limn n na l a +→∞= (4.9)(2)n l = (4.10)则当0l <<+∞时, (4.2)的收敛半径1R l=,当R =+∞,l =+∞时, 0R =.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11 设幂级数(4.8)的收敛圆为:V z R <.则它的和函数.01()nn f z a a z a z =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (4.11)在V 内解析,且()1()!(1)!(1,2,)n n n f z n a n a z n +=+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ (4.12)证明:事实上,对0r R ∀<<,则在z r =上n nn n a z a r ≤由定理4.9知级数(4.8)在z r =上绝对收敛,从而根据M -判别法知(4.8)在z r ≤上一致收敛,故(4.8)在z r <中内闭一致收敛,在z r <内, (4.2)的和函数()f z 解析且(4.12)成立,由0r R <<的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散. 例2 级数2111n z z z z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 的收敛半径为1 由于在收敛圆1z =上,此级数一般不趋于0,因而在1z =上级数处处发散,但其和函数却除1z =处处解析.例3 级数11(1)n n z n n ++∞=+∑的收敛半径为1在收敛圆1z =上, 11(1)(1)n z n n n n +=++而级数11(1)n n n +∞=+∑收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)§3解析函数的泰勒Taylor 展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式. 难点：泰勒定理证明. 课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor 展式)设函数()f z 在圆0:U z z R -<内解析,则在U 内()00000()()()()()()1!!n n f z f z f z f z z z z z n '=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.13)证明: 1z U ∀∈,以1z 为心作一圆C U ⊂,且使1z C ∈,(如图4.1)U图4.1则由柯西公式111()()2C f f z d i z ξξπξ=-⎰ (4.14)而当C ξ∈时,101z z q z ξ-=<-,因此有101011()z z z z ξξ=----01100000()11()1n n n z z z z z z z ξξξ+∞+=-=⋅=-----∑ (4.15) 由于(4.15)右端级数当C ξ∈时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()n n f z a a z z a z z =+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.16)其中 ()010()1()2()!n n n C f z f a d i z n ξξπξ+==-⎰(1,2,)n =⋅⋅⋅ (4.17) 由1z 为U 内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2 幂级数是它的和函数()f z 在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!n n f z a f z a n == (1,2,)n =⋅⋅⋅推论4.3 函数()f z 在一点0z 解析的充要条件是: ()f z 在0z 的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式. 二． 求泰勒展式的方法1．求Taylor 系数n C =()()!n f a n如求ze 在z=0的展开式0C =0e =1 1C ='0()1!z z e = =11!,1!n C n =,∴z e =1+z+22!z +33!z+=0!nn z n ∞=∑ ()z <∞2.利用级数的运算。