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因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0 为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 z n 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
limzn 0
级数 z n 发散.
c n z n 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 cnnzznn 在收z敛1 情0 况有三种: nn 00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
cnzn
发级散数. 在复平面内除原点外处处发散.
n0
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收
敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散. 如图:
y
收敛圆
R
收敛半径
o
.
.
1
.
1
.
x
幂级数 c n z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域.
n0
收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 , 0, R.
则
n1
n1
n1
例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限.
1)n
(11)ein n
2)nncoin s
ei(in) ei(in) n
2 en en n
2
例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛.
1) 1(1 i )
n1 n n
2) (8i)n
n0 n!
3)
(1)n n1 n
21ni
此定理说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性.
2 复数项级数的概念
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为无穷级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的部分和.
级数收敛与发散的概念
定义4.2 如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
n
n0
S n 1 z z2 zn 1 1 1 z z n(z 1 ).
z 1
lim
n
Sn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1
z
级数 z n 收敛,
n0
所以收敛半径 R 1, 在 z 1 内, 级数 z n
n0
绝对收敛, 且有
zn
1
.
n1
1 z
3 收敛半径的求法
定理二 (比值法) 设级数 c n z n . 如果 n0 lim cn1 , c n n
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c 1 z c2z2 cn zn,
n 1
这类函数项级数称为幂级数.
定理一 (Abel定理) 若级数 c n z n 在 z0 0 n0
处收敛，则当 z z0 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 0 处发散，则当 z z0 时, 级数 n0
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, a n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
推 论 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
定义4.3 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理三 若级数 n n绝收对敛收敛, 则 n 也收敛,
n n 1 1
第四章复变函数的 级数
主要内容
本章介绍复变函数级数的概念, 重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复数项级数
1 复数列的极限 2 复数项级数概念
1 复数列的极限
称 n a n i b n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1 设 n 是数列，aib是常数.
定理4.4 设 n 是收敛数列，则其有界, 即
存在M>0, 使得 nM (n 1 ,2 ,3 , ).
§4.2 幂 级 数
1 幂级数的概念 2 收敛圆与收敛半径 3 收敛半径的求法 4 幂级数的运算和性质
1 幂级数的概念
设 fn (z)(n 1 ,2 , )是定义在区域D上的
复变函数列,称
n1
并且
n n .
n1
n1
补充 因为 nan 2b n 2anb n,所以
n
n
n
n
k a k 2b k 2 a k b k.
k 1
k 1
k 1
k 1
因此, 如果 a n 和 b n 都绝对收敛时, n 也
n1
n1
n1
绝对收敛.
综上可得:
n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理二 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
n anibn.
n1
n1
n1
说明
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0 )n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z a )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
fn (z)f1 (z)f2 (z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数. S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
为该级数的部分和.
如果对 z0 D,下述极限存在
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
