浙江高中数学竞赛B卷

5. A，B，C
解析：由 S2 S3 a3 0 ，所以 A 正确； 由 S4 S3 a4 0 ，所以 B 正确； 由 a1 a2 a3 0 S3 0 ，所以 C 正确； S4 = a1 + 3a3 0 ，所以 D 不正确
6. B，D
由 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A = cos2 B + cos2 C sin2 (B + C) = cos2 B + cos2 C
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第4页（共 4 页）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题答案
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1.C
分析：由 (a
+
b)2
+
(a
− b)2
=
2
2a
+
2
2b
可得.
2020 年宁波市高中数学竞赛试题
2020 年 12 月 13 日 9:00-11:00
注意： 报考 A 组的考生作答 A 卷（所有试题），报考 B 组的考生作答 B 卷（前 17 题）．
请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项 中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
16．已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 = 4 ， a2a4 = 3S3 − 5 ．
（Ⅰ）求an 的通项公式；
（Ⅱ）设命题 p ：存在正整数 m, n （其中 m n ）及k {−1, 0,1}, k = 1, 2, , n ，使得

2022年宁波市高中数学竞赛试题2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）． 请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．己知正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB BC AC ++=（ ）A ．1BCD 2．已知实数a ，b ，则“a b >”是“||a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体ABCD 中，设弧,AC BD 的中点分别为M ，N ，若线段AB 的长度为a ，则（ ）A ．弧AC 的长度为3aπ B ．线段MN 的长度为aC ．勒洛四面体ABCD 能置于一个直径为a 的球内 D ．勒洛四面体ABCD4．己知A ，B 分别在两圆222212:1,:4C x y C x y +=+=上运动，且在1C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则线段AB 中点M 轨迹的面积为（ ） A ．π B ．54π C ．2π D ．94π 二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分．）5．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ） A ．事件A 与事件C 互斥 B ．事件B 与事件C 互斥 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．事件B 与事件C 相互独立6．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31xa a >-，下列结论正确的是（ ）A ．存在a ，使得该不等式的解集是RB ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是(2022,)+∞ 7．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2f x g x g x f x g x f x -++=--=--=，且当(0,1]x ∈时，2()1f x x =+，则（ ）A ．(2022)2g =B ．()(2)0g x g x ++=C ．函数()f x 在(1,3)上单调递减D ．方程(2022)f x x +=有且只有1个实根8．设函数()f x 的定义域为I ，区间(,)a b I ⊆，如果对于任意的常数0M >，都存在实数12,,,n x x x ，满足1n a x x b <<<<，且()()111n i i i f x f x M -+=->∑，那么称()f x 是区间(,)a b 上的“绝对差发散函数”．则下列函数是区间(0,1)上的“绝对差发散函数”的是（ ） A ．1()21x f x x =++ B ．()tan 2x f x π= C ．2,,(),.x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 D ．()cos 2f x x x π= 三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸相应位置上．）9．设O 为坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，若P 是该抛物线上一点，且23PFO π∠=，则点P 到y 轴的距离为_______________．10．已知实数12,x x 满足()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，则12x x +=_______________．11．在44⨯的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是_______________．12．己知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，M ，N 分别为棱11,BB CC 上的点．若平面AMN 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AMN △的面积的最小值为_______________． 13．已知n *∈N ，集合{}(,)|1||22|1,,n nn A x y x y x y =-+-<∈R ，记1n n A A ∞==，则集合A 中的点组成图形的面积为_______________．14．己知m ∈R ，关于z 的方程()()2220z z mzz m ++++=有四个复数根1234,,,z z z z ．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m 的值为_______________．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．如图，在ABC △中，2ACB ABC ∠=∠．设点D 是BC 边上一点，满足2BAD ABC ∠=∠．（Ⅰ）记ABC θ∠=，用θ表示ABBD； （Ⅱ）若111AB AC+=，求BD ． 16．已知0a ≥，设函数()|||1|f x x a ax =-+-． （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式()(2)f x x a x ≥-恒成立，求a 的取值范围．17．设点(0,2),(0,2),(0,4)A B F --，过点F 作斜率为k 的直线l 交椭圆221:1164x y Γ+=于C ，D 两点． （Ⅰ）记直线,,,AC AD BC BD 的斜率分别为1234,,,k k k k ．从下列①②③三个式子中任选其一，当k 变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． ①12k k ⋅；②14k k ；③23kk ． （Ⅱ）当直线,BC BD 分别交双曲线222:1412y x Γ-=的下支于P ，Q 两点（异于点B ）时，求||||PF QF +的取值范围．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．已知正整数数列{}n a 满足()21220222n n n a a n a *+++=∈+N ． （Ⅰ）若21a =，求2022a ； （Ⅱ）求12022a a +的取值的集合．19．甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设k a 为前k 次试验中硬币正面向上的次数，k b 为前k 次试验中图钉针尖朝下的次数，记,(1,2,3,,100)k k k k a bp q k k k===．（Ⅰ）若11000,0.5p p ==，问是否存在常数P ，不论试验过程中k p 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k p P =？若存在，求出所有P 的可能值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若11000,0.7q q ==，问是否存在常数Q ，不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =？若存在，求出所有Q 的可能值；若不存在，请说明理由．2022年宁波市高中数学竞赛参考答案2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）． 请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．答案：D解析：|2||23|13AB BC AC AB BC ++=+=，故选D ． 2．答案：A解析：若a b >，则||a a b ≥>，故“a b >”是“||a b >”的充分条件； 当3,2a b =-=时，||a b >但a b <，故“a b >”不是“||a b >”的必要条件； 所以选A ． 3．答案：D ．解析：选项A ，弧AC 为两个半径为a 、球心距为a 的球面相交所得的小圆中的弧；，弦AC 长为a ，可得弧AC 长不为3a π．故A 错误；选项B ，22222MN a a a a ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭⎭，故B 错误；选项C ，由MNa >，故C 错误；选项D ，由四面体ABCD 的体积为312，故D 正确． 4．答案：C解析：法一：不妨设PA x ∥轴，如图：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，不妨设,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，(cos B θ-，所以0,2sin M M x y θ==+sin [1,1]t θ=∈-，则2()[1][3,3]M y f t t ==-，当01t ≤≤时，()f t 递增，此时()f t ∈；当10t -≤≤时，()f t =递增，此时()f t ∈．所以13()[1,3],22M f t y ∈≤≤，此时M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭． 则当弦AP 在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为12，外径为32的圆环，易得面积为2π．法二：作矩形PACB ，则由2222||||||||||2OA OB OP OC OC +=+⇒=，记OP 中点为E ，则1||||12EM OC ==，则点M 在OP 中点E 为圆心，1为半径的圆上 若记cos sin (cos ,sin ),,22P E θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点M 的轨迹方程为22cos sin 122x y θθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos sin 4x y x y θθ+-=+， 当θ变化时，x ，y1≤，可得1322≤≤． 所以当P 变化时，点M 的轨迹为，内径为12，外径为32的一个圆环，此圆环的面积为2π．二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的得0分．）5．答案：ACD解析：对AB ，显然事件A 与事件C 互斥，事件B 与事件C 不互斥，故A 正确，B 错误； 对C ，易得111(),(),()()()428P A P B P AB P A P B ====⋅，所以C 正确； 对D ，易得111(),(),()()()248P B P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确； 故选ACD ． 6．答案：ACD ． 解析：①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确； ②log (31)11,31log (31)3a a x a a a a a x a -><<-=⇒<-，又log (31)a a R -∈， 故存在a 使得log (31)2022a a -=，故C 正确； ③log (31)1,31log (31)a a xa a a a ax a ->>-=⇒>-，又log (31)(1,)a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故D 正确； 故选ACD ． 7．答案：ACD解析：对AB ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(2)(4)4g x g x -+-=，可得()(2)4g x g x ++=，故B 错误，且()(4)g x g x =+．由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(4)()4g x g x -+=，令2x =可得(2)2g =，所以(2022)(2)2g g ==，故A 正确；对C ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(3)0f x f x -+-=，即(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=，由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，根据上述性质可得()f x 的图象如下，故()f x 在(1,3)上单调递减，所以C 正确；对D ，(2022)(2)()2f x x f x x f x x +=⇔+=⇔=-，由上述对称性可得()f x 的图象如下，故方程只有1个解，所以D 正确．故选ACD ． 8．答案：BCD解析：对A ，因为()f x在1)递减，在1,1)-递增，所以()()()()11111)1)3n i in i f x f x f x f f x f -+=-≤--+-<-∑，A 错误；对B ，因为()tan 2xf x π=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是递增的，所以()()1111tan tan 22n n i i i x x f x f x ππ-+=-=-∑， 当11,0n x x →→时1tantan22nx x ππ-→+∞，B 正确；对C ，设递增数列{}k x 满足：11,,1,2,3,,32k x k n ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且21k x -为有理数，2k x 为无理数则()()1112k k f x f x +->，所以()()1111(1)12n i i i f x f x n -+=->-∑，当n →+∞时，()()211kii i f x f x -=-→+∞∑，C 正确；对D ，设1,1,2,,2x k n k ==，则()()1111111112446222n i i i f x f x n n -+=⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑21111ln 1ln(1)ln 223n k n n k =⎛⎫>+++>+=+- ⎪⎝⎭∑， 所以()()111,n i ii n f x f x -+=→+∞-→+∞∑，D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答卷相应位置上．）9．答案：3解析：P 到y 轴的距离2||1131cos3d PF π=-=-=-．10．答案：1解析：设()2ln f x x x =+，显然函数单调递增，由题可得()()121f x f x =-，所以121x x =-，即121x x +=． 11．答案：5．解：设*号的空格上填的实数为x ，则13,262x A B x +==-． 进而有第三列的公差为396536A xd --==， 从而16926x C A d +=+=． 又13，B ，C 成等差数列，得1692(26)136x x +-=+， 解得5x =．12．答案：2． 解析：由111111111111223BCNM BCNM A BCNMABC AB C A BCC B ABC A B C BCCB BCC B S S V V V V S S ----==⋅=⋅四边形四边形四边形四边形， 得1134BCNM BCC B S S =四边形四边形，从而3BM CN +=． 建立空间直角坐标系如图，可设(2,0,),)M t N t -，则(2,0,),(1,3,3)AM t AN t ==- 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =则0,0.n AB n AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,(3)0.x tz x t z +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，可取(,32)n t t =-+-． 又平面ABC 的法向量为0(0,0,1)n =．设平面ABC 与平面AMN 所成角为α，则02cos ||nn n n tα⋅==⋅．由射影面积公式可得cos ABC AMNAMNS S S α==△△△，所以2AMN S =≥△，等号当且仅当32t =时取到，所以()min AMN S =△ 13．答案：1．解析：若1(,)x y A ∈，则|1||22|1x y -+-<，从而|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈． 所以()|1||22||1||22|1n nx y x y n N*-+-≤-+-<∈，即得(,)nx y A ∈．故有11n n A A A ∞===．又易知集合1A 中的点组成图形的面积为1，所以集合A 中的点组成图形的面积为1．14．答案：16．解析：设20z z m ++=根为2121,,14,20z z m z z m ∆=-++=的根为342,,18z z m ∆=-，由题意12140,180m m ∆=-≠∆=-≠，即18m ≠且14m ≠．①当18m <时，1234,,,z z z z 均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当1184m <<时，12,z z 为实数且34,z z 为虚数，且1234z z z z -=-，所以114816m m m -=-⇒=； ③当14m >时，1234,,,z z z z 均为虚数，且四个虚数根的实部均为12-，即四个对应点均在直线12x =-上矛盾． 综上：16m =． 四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．答案：（Ⅰ）23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+；（Ⅱ）1．解析：（Ⅰ）由题,22BAD ACB θθ∠=∠=．在ABD △中，根据正弦定理可得23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+．（Ⅱ）在ABC △中，根据正弦定理可得sin 2sin AB AC θθ=，所以12cos AC ABθ=，所以1112cos 1AB AC ABθ++==，可得2cos 1AB θ=+． 又由（Ⅰ）知2cos 1ABBDθ=+，所以1BD =．16．答案：（Ⅰ）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a ≤≤． 解析：（Ⅰ）易知(1)2|1|,(1)2|1|f a f a =--=+，若(1)(1)f f =-，则2|1|2|1|a a -=+，解得0a =，此时()||1f x x =+为偶函数； 若(1)(1)f f =--，则2|1|2|1|a a -=-+，解得a 不存在．综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数． （Ⅱ）0a =时，2()||1f x x x =+≥-显然成立，所以0a =符合．0a >时，若(,0][2,)x a ∈-∞+∞，则(2)0()x a x f x -≤≤恒成立，故只需考虑|||1|(2)x a ax x a x -+-≥-对任意(0,2)x a ∈恒成立．（*），取x a =，有221a a -≥，解得212a ≤，即得0a <≤．而当02a x a <≤<<时，21210ax a -≤-≤， 故（*）式可化为2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立， 令2()||31g x x a x ax =-+-+,①当(0,]x a ∈时，22()(31)(1)()120g x x a x a g a a =-+++≥=-≥恒成立； ②当[,2)x a a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =--+-， 对称轴312a x a -=≤，且2()120g a a =-≥．因此，02a <≤．综上：0a ≤≤． 17．答案：（Ⅰ）均为定值，1212433,3,34k k k k k k ⋅==-=-；（Ⅱ）28,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 解析：（Ⅰ）由题可得:4l y kx =-，设()()1122,,,C x y D x y ．l 与1Γ联立()2222441324801164y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩， 则12212232414841k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩． 选择①：()()()21212121212121212666362234kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅===，故12k k ⋅为定值，且1234k k ⋅=； 选择②：易得1314k k ⋅=-，则143414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===，所以1434134k k k k =-=-⋅， 故14k k 为定值，且143k k =-；选择③：易得2414k k ⋅=-，则233414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===⋅，所以2334134k k k k =-=-⋅， 故23k k 为定值，且233k k =-．（Ⅱ）若选择①，结合132414k k k k ⋅=⋅=-， 可得3412121111441612k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭； 若选得②减③，则已得34112k k ⋅=． 此时34:2,:2PB y k x QB y k x =-=-．PB 与2Γ联立()322322332321231120311412p y k x k k x k x x y x k =-⎧⎪⇒--=⇒=⎨--=⎪⎩， 所以()2332233128||212163131P P l k PF e d k x k k -⎛⎫=⋅=-=-=-- ⎪--⎝⎭准，同理可得248||631QF k =---． 所以()()()22342222223434341532112||||128128417173131331616k k PF QF k k k k k k ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+=--+=--=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-++-++⎝⎭． 因为,BC BD 分别交2Γ下支于P ，Q两点，所以340|,|3k k <<∣，所以2222341748k k +<+=．又223434126k k k k +>=，所以2234117,648k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以28||||,3PF QF ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）{343,677,1013,2023}．解析：（Ⅰ）由条件知：2123231222022,222022n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=++=+ 两式相减得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-， 若310a a k -=>，则312n n n n a a a a +++-<-．则3121n n n n a a a a +++-≤--，则423110k k a a a a k ++-≤---<，矛盾． 所以310a a -=，所以2n n a a +=，所以2022202021a a a ====．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n n a a +=，所以设212,k k a b a c -==，则220222b bc +=+，所以2022bc =．而202223337=⨯⨯，所以{,}{1,2022},{2,1011},{3,674},{6,337}b c =， 所以2023,1013,677,343b c +=，所以12022a a +的取值的集合为{343,677,1013,2023}． 19．答案：①不存在；（Ⅱ）存在，12Q =或23． 解析：（Ⅰ）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均小于0.5．再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均大于等于0.5．这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P 不存在， （Ⅱ）存在，12Q =或23，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的(1100)k q k <<均小子0.7．再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的k q 分别为123707070700,,,,,,,,,234717299100， 所以符合要求的Q 只可能取12,23． 下证1,2,3n Q n n -==时，必存在1100k <<时，使得1k k b n q k n-==． 设(1)k k S nb n k =--，若第k 次试验针尖朝上，则1k k b b -=，则11(1)(1)(1)(1)(1)k k k k S nb n k nb n k n S n --=--=-----=--；若第k 次试验针尖朝下，则11k k b b -=+，则11(1)(1)(1)11k k k k S nb n k nb n k S --=--=---+=+当2,3n =时，11100(1)(1)0,70100(1)100300S nb n n S n n n =--=--≤=--=->． 所以由介值性定理知，必存在1100k <<，使得0k S =，即1k k b n q k n-==，得证．。

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛（B1卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设10分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9、10小题5分为一个档次，第11、12小题10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题10分，满分80分．1. 若等差数列{}n a 的各项非零，且1234a a a +=，则567a a a +的值为 ． 答案：45． 解：设{}n a 的公差为d ，则111()42a a d a d ++=+，即127d a =-． 令17,2(0)a t d t t ==-¹，从而56171291418467125a a a d t t a a d t t ++-===+-． 2. 在平面直角坐标系中，圆W 的方程为22202220220x y x y +---=，则圆W 的面积为 ．答案：2243p ．解：易知2222:(10)(11)202210112243x y W -+-=++=．设圆W 的半径为r ，则22243r =，于是圆W 的面积为22243r p p =．3. 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为 ．答案：712． 解：连续掷两次骰子共有2636=种情况，其中对每个{1,2,,6}k Î ，当第一次掷骰子所得点数为k 时，第二次掷骰子所得点数不小于k 的情况数为7k -． 从而所求概率611217(7)363612k p k ==⋅-==å． 4. 设,R a b Î，若tan()2,tan(2)3a b a b +=+=，则tan a 的值为 ．答案：139． 解：由于2tan tan(2)2tan()tan(22)1tan tan(2)1tan ()a ab a b a b a a b a b +++=+=-⋅+-+，故 2tan 322413tan 123a a +⋅==---， 解得13tan 9a =． 5. 设0z 为复数，集合0{i |}Z k A z k =+Î（i 为虚数单位）．若A 的所有元素之和为88i +，则A 的所有元素之积为 ．答案：65-．解：当0,1,2,3(mod 4)k º时，i k 的值分别为1,i,1,i --，故0000{1,i,1,i}A z z z z =++--． 由于A 的所有元素之和为88i +，即0488i z =+，故022i z =+．所以A 的所有元素之积为(32i)(23i)(12i)(2i)65+´+´+´+=-．6. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，棱11,AC AC 的中点分别为,M N ，则异面直线BN 与1C M 所成的角的余弦值为 ． 答案：35． 解：连接AN ，则1||AN C M ，故异面直线BN 与1C M 所成的角为ANB （或其补角）．不妨设正三棱柱的所有棱长都为2．在ANB D 中，显然有2,AB AN ==又由1BB ^平面111A B C 知11BB B N ^，故BN ===222cos 235AN BN AB ANB AN BN +- ===⋅，即所求的余弦值为35． 7. 设实数,,k l m 满足：函数2(1)()y x x kx l =+++的图像有对称中心(1,0)，且与函数3y x m =+的图像有公共点，则k l m ++的取值范围是 ．答案：25,12æùçú-¥ççúèû． 解：记2()(1)()f x x x kx l =+++．由()y f x =的图像关于点(1,0)对称，可知(1)0f =，又由(1)0f -=得(3)0f =，故2()(1)(1)(3)(1)(43)f x x x x x x x =+--=+-+，即4,3k l =-=．根据题意，方程23(1)()x x kx l x m +++=+有实数解，即方程23(3)0x x m ++-=有实数解，这等价于判别式112(3)0m D =--³，即3712m £． 所以25431,12k l m m m æùç++=-++=-Î-¥ççèû． 8. 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出3名选手．组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为1、至多为3，则不同的抽选方式数为 （结果用数值表示）． 答案：837．解：将四所学校被抽中的选手数从小到大依次记为,,,()a b c d a b c d £££，则有1,3a b c d +³+£．故1b ³（否则0a b ==，矛盾）且1c £（否则24c d c +³³，矛盾），于是必有1b c ==．此时a 只能为0或1，d 只能为1或2．易验证(,,,)(0,1,1,1),(1,1,1,1),(0,1,1,2),(1,1,1,2)a b c d =均符合题意．当(,,,)(0,1,1,1)a b c d =时，指定一所学校无选手被抽中，在剩下三校中各抽1名选手，由乘法原理知有11343C (C )108´=种抽选方式．当(,,,)(1,1,1,1)a b c d =时，每所学校各抽1名选手，有143(C )81=种抽选方式．当(,,,)(1,1,1,2)a b c d =时，指定一所学校有2名选手被抽中，再抽该校的2名选手及剩下三校各1名选手，共1213433C C (C )324´´=种抽选方式．11当(,,,)(0,1,1,2)a b c d =时，依次指定两所学校，第一所无选手被抽中，第二所有2名选手被抽中，再于第二所学校抽2名选手，剩下两校各抽1名选手，有2212433P C (C )324´´=种抽选方式．综上，满足条件的抽选方式数为10881324324837+++=．二、解答题：本大题共4小题，满分120分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分20分）解方程：2lg10lg()1x x =-．解：显然0x >．原方程等价于1lg 2lg 1x x +=-． ……………5分 当lg 1x £-时，方程化为(1lg )2lg 1x x -+=--，即lg 0x =，舍去． ……………10分当1lg 0x -<£时，方程化为1lg 2lg 1x x +=--，即2lg 3x =-，得x =． ……………15分 当lg 0x >时，方程化为1lg 2lg 1x x +=-，即lg 2x =，得100x =．综上，原方程的解为x =或100x =． ……………20分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，x 轴正半轴上的两个动点A 、B 满足2022OB OA -=，抛物线2:4y x G =上一点P 满足PA AB ^，过点P 作G 的切线l ，记点B 到直线l 的距离为d ．求d 的最小值，并求出当d 取到最小值时数量积PA PB ⋅ 的值．解：设(,0),(2022,0)A t B t +，0t >．由于PA AB ^，可设(,)P t u ，其中P 在G 上，故24u t =．切线l 的方程为2()uy x t =+，即220x uy t -+=． ……………5分点B 到直线l的距离为d = ……………10分 利用基本不等式，可知2d =³． ……………15分=1009t =时，d取到最小值． 此时22()44036PA PB PA PA AB PA u t ⋅=⋅+==== ． ……………20分11. （本题满分40分）对任意三个两两不同的非负实数,,a b c ，定义343434(,,)||||||b c c a a b S a b c a b b c c a +++=++---， 并设(,,)S a b c 能取到的最小值为0m ．(1) 证明：当,,a b c 均为正数时，0(,,)S a b c m >；(2) 求所有非负实数组(,,)x y z ，使得0(,,)S x y z m =．解：(1) 不妨设min{,,}0c a b c =>，则将,,a b c 同时减去c ，得三个两两不同的非负实数,,0a a c b b c c ¢¢¢=-=-=，此时(,,)S a b c 343434||||||b c c a a b a b b c c a +++=++¢¢¢¢¢¢--- 343434||||||b c c a a b a b b c c a ¢¢¢¢¢¢+++>++¢¢¢¢¢¢---(,,)S a b c ¢¢¢=，而0(,,)S a b c m ¢¢¢³，从而0(,,)S a b c m >． ……………10分(2) 设0(,,)S x y z m =．由(1)知,,x y z 中有一个为零，不妨设0z =，则034343(,,0)43||||y x x y y x y m S x y x y y x x y y x æö+÷ç==++=++÷+ç÷ç÷--èø， 其中,x y 为两个不相等的正数．假如x y <，则33(,,0)(,,0)0x y S y x S x y y x y x-=-<--，故0(,,0)S y x m <，矛盾．所以x y >． ……………20分设(1)x y l l =>，则利用基本不等式得033143431y x y m x y y x l l l æöæöçç=++=+++ççççèø--èø 143161l l l l æöæö÷÷çç=-++++÷÷çç÷÷ççèøèø-3616³⋅=， ……………30分 等号成立当且仅当2l =，即2,(0)x t y t t ==>（从而016m =）． 由轮换性，满足条件的所有非负实数组(,,)x y z 为(2,,0),(0,2,),(,0,2)t t t t t t ，其中0t >． ……………40分12. （本题满分40分）对每个正整数n ，将形如2(1)2(2)a b c n n n ++-+（,,a b c 为正整数）的整数称为“n -有趣数”．(1) 判断2022是否为2-有趣数，说明理由；(2) 求所有正整数n ，使得存在两个n -有趣数互为相反数．解：(1) 由于11122232420486322022+⋅-⋅=+-=，故2022为2-有趣数．……………10分(2) 考虑n -有趣数2(1)2(2)a b c n n n ++-+模1n +的余数，有2(1)2(2)(1)21,3(mod(1))a b c a n n n n ++-+º--º--+．若这些数中存在两个数互为相反数，则或有(1)(1)0(mod(1))n -+-º+，或有(1)(3)0(mod(1))n -+-º+，或有(3)(3)0(mod(1))n -+-º+，从而1n +只可能为2,3,4,6，即{1,2,3,5}n Î． ……………20分当1,5n =时，对任意正整数,,a b c ，均有2(1)2(2)1021(mod 4)a b c n n n ++-+º+-º-，这样的数中不存在两个互为相反数． ……………30分当2n =时，1212232412+⋅-⋅=与1222232412+⋅-⋅=-均为2-有趣数，且互为相反数；当3n =时，322324259+⋅-⋅=与222324259+⋅-⋅=-均为3-有趣数，且互为相反数．综上，所求正整数n 为2,3． ……………40分。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。