2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷(无附参考答案)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题（填空题解析，除第九题）33)](32,32[21cos 0',)cos 2(1cos 2'______cos 2sin ,..42416249184781498,98494789849144957674972249494924777772477._________724.31)}({max 12)11()(]1,0[12)11()(11]0,1[}2)1{(min )(._______]1,1[)(},12{min )(.29209)(2)(092303._______103.132max 22222222242422242222222]1,1[222]1,[2]1,[23222322463323==∴∈+-∈∴≥⇒≥--=-=∈±∴±=⇒=⇒=+-∴=++=++++⇒=++⋅++++⇒=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++∴-=∴-=--=∈-≤--+=∴=+≤-∈--=---=-+-∴=-+-⇒=-+-⇒-=-⇒=+-=+-+=-∈+∈+∈ππππππk x a a a x a a x y y Z k k k x x y x x y x xy R x x t t t t x x xx x x xx x x x x y x y x y x m m a f a f a a a f a x a x a f a f x x a f x x x r r r r r r r r r r r x x r 令解析：的最大值为则答案为令平距离为，地面端点到节点的水直距离为设墙上端点到节点的垂解析：米或米为端点到地面的垂直距离，则此时竹竿在墙上的都是离和到地面的垂直距离上某一节到墙的垂直距端落在地面上。

若竹竿，一端靠在墙上，另一某竹竿长为时，当时，当解析：上的最大值为在则已知方程为解析：为的整系数一元三次方程为其解得首项系数为的解，则以为方程设种由下表可得共有组合：十、百位：，个位：解析：位数的个数为，则满足上述条件的六码和为的倍数，且六位数的数都是的数字的倍数，十位和百位上数字是进制数中，其个位上的的正整数组成的六位十已知由的辐角为解析：设或取得最小值时，则此时当为复数，且设，构图可得间夹角均为，，可知和由解析：的取值范围为则。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。

1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。

7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。

2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛一、填空题（每小题8分，共80分）1.设r 为方程330x x -+=的解，则以2r 为解、1为首项系数的整系数一元三次方程为____________.2.已知[]{}2,1()min 21x a a f a x x ∈+=--.则()f a 在区间[]1,1-上的最大值为____________. 3.某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离均为7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为____________.4.设x R ∈.则sin 2cos x y x=-的最大值为____________. 5.在四面体P ABC -中，棱PA 、AB 、AC 两两垂直，且PA AB AC ==,,E F 分别为AB PC 、的中点.则EF 与平面PBC 所成角θ的正弦值为____________.6.已知平面上不共线的三个单位向量a 、b 、c ,满足 a + b + c = 0.若01t ≤≤，则2(1)a tb t c -++-的取值范围是____________.7.已知z 为复数，且1z =.当23413z z z z ++++取得最小值时，复数z =____________.8.已知由六个正整数组成的六位十进制数中，其个位数的数字为4的倍数，十位和百位上的数字均为3的倍数，且六位数的数码和为21.则满足上述条件的六位数的个数为____________.9.一个正整数若能写成20827(,,)a b c a b c N ++∈形式，就称其为“好数”.则集合{}1,2100⋅⋅⋅，，中好数的个数为____________.10.设12,,,n i i i ⋅⋅⋅为集合{}1,2,n ⋅⋅⋅,的一个排列.若存在k l <且k l i i >，则称数对(,)k l i i 为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43、42、32，此排列的逆序数就是3.则当6n =时，且3=4i 的所有排列的逆序数的和为____________.二、解答题（每小题20分，共60分）11.已知数列{}n a满足：11a ==1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N +∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围.12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异的两点A 、B ，且2AP PB =,求实数λ的取值范围.13.已知函数1()1x f x x e a -=+-.（1）若()0f x =恰有三个根，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的情况下，设()0f x =的三个根为123x x x 、、，且123x x x <<，证明：21x x a -<.三、附加题（每小题30分，共60分）14.记正整数3n ≥，n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，记()ij i j b a a i j =+>，得到如下图的数表.21313212,1 n n n n b b b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅若在表格中任意取定k 个数，可以唯一确定出n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，求k 的最小值.15.设{}i a 、{}j b 为实数列.证明：112020202020202222,112m n m n m n a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案一、填空题（每题8分，共80分）1. 32290x x x -+-= 2. 1-3.16±（每个答案给4分，满分8分）4.35.13 6.5[27. z =−14±√154i （每个答案给4分，满分8分）8. 126 9. 153 10. 912二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分）（解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。

） 11. 已知数列{}n a，且11a =2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。

解答 （1）由数学归纳法证明得n a = （5分）（2）由于nb =1n S =, （10分）(1)101n S n λ≤+≤+得到λ≤≤+上式对任意的正整数成立，则min 202λ=≤≤=，（15分）即202λ≤≤。

（20分）12. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12。

（1）求椭圆C 的方程；（2）若过(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异两点,A B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求实数λ的范围。

解答 （1）设椭圆的长半轴长为,a 短半轴长为,b 则有122ab a ==，解得，11,2a b ==，所以椭圆C 的方程为2241x y +=。

（5分） （2）设直线l 的方程为,x my λ=+设两个交点坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2AP PB =u u u r u u u r，得到122y y =-。

………………………………① （10分）联立方程组2241x y x my λ⎧+=⎨=+⎩ 得到222(4)210m y my λλ+++-=……②显然，12,y y 为方程②的两个相异的实根，则有22222(2)4(1)(4)04(1)m m m λλλ--+>⇒>-…………③由韦达定理得212122221,44m y y y y m m λλ-+=-=++，联立①得到2222222214(1)2()04491m m m m λλλλ--+=⇒=++-………………④ （15分）又1λ=±，13λ=±不符合题意。

2020年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷一、选择题1． 下列三数32，log 1682，log 27124的大小关系是( )(A)32＜log 1682＜log 27124 (B)32＜log 27124＜log 1682(C)log 27124＜32＜log 1682 (D)log 27124＜log 1682＜322． 已知两点A (1，2)，B (3，1)到直线l 的距离分别是2，则满足条件的直线l共有( )条 (A)1 (B)2 (C)3 (D)43． 设f (n )为正整数n (十进制)的各位上数字的平方之和，比如f (123)=12+22+32=14，记f 1(n )=f (n )，f k +1(n )=f (f k (n ))，k =1，2，3，…，则f 2020(2020)的值是( ) (A)20 (B)4 (C)42 (D)1454． 设在xOy 平面上，0＜y ≤x 2，0≤x ≤1所围成图形的面积为31，则集合M ={(x ，y )| |y |-|x |≤1}，N ={(x ，y )| |y |≥x 2+1}的交集M ∩N 所表示图形的面积是( )(A)31(B)23 (C)1 (D)435． 在正2020边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为( )(A)2020 (B)10032 (C)10032-1003 (D)10032-10026． 设函数f (x )=sin cos sin tan x x x x +++tan cot cos tan x x x x +++sin cos cos cot x x x x +++tan cot sin cot x x x x ++，则f (x )在(0，2π)内的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题7． 手表的表面在一平面上，整点1，2，3，…，12这12的圆周上．从整点i 到整点(i +1)的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t +++=____.8． 设a i ∈R +(i =1，2，…，n )，α，β，γ∈R ，且α+β+γ=0，则对任意x ∈R ，()()()1111()111nxx x x xxi ii i i i i a a a a a a ααβββγγγα+++=++++++++∑=_____. 9． 在1，2，3，…，2020中随机选取三个数，这三个数能构成递增等差数列的概率等于____. 10． 已知集合A ={(x ，y )| x 2+y 2-2x cos α+2(1+sin α)(1-y )=0，α∈R }，B ={(x ，y )| y =kx +3，k ∈R }．若A ∩B 为单元素集，则k =______.11． 设a ，b 为非零实数，x ∈R ，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则2008200820062006sin cos x x a b+=_____.12． 2323,,111max min{,,,}a b c R a b c a b c +∈++=______.三、解答题13．在x轴同侧的两个圆：动圆C和圆4a2x2+4a2y2-4abx-2ay+b2=0外切(a,b∈N，a≠0)，且动圆C与x轴相切，求（1）动圆C的圆心轨迹L的方程；（2）若直线1)abx-4ay+b2+a2-6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之值．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n (n=1，2，3，…)，{b n}满足b1=1，21nn nbb bn+=+(n=1，2，3，…)，证明:12≤1 nk=<.15．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问：（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V，在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．。

2020年浙江省高中竞赛试题和解答一、 选择题 〔本大题总分值36分，每题6分〕1．集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，那么以下正确的选项是〔 〕 A ．{}1,AB y y => B ．{}2A B y y =>C ．{}21A B y y ⋃=-<<D ． {}21A B y y y ⋃=<>-或 解：因为{}{}1,1, 2A y y B x x x =≥=><-或，因此有{}1,A B y y =>正确答案为 A ．2．当01x <<时，()lg xf x x=，那么以下大小关系正确的选项是〔 〕 A ．22()()()f x f x f x << B ． 22()()()f x f x f x <<C ． 22()()()f x f x f x <<D ． 22()()()f x f x f x <<解：当01x <<时，()0lg x f x x =<，222()0lg x f x x =<，22()0lg x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭． 又因为2222(2)0lg lg 2lg 2lg x x x x x xx x x x---==<．因此 22()()()f x f x f x <<． 选 C ． 3．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，那么a 的取值范畴为〔 〕A ．1(,)2-∞-；B ． 11[,]22-；C ． 1(,)2+∞；D ． 11(,][,)22-∞-⋃+∞解：函数()()f x a f x a -++的定义域为 [,1][,1]a a a a +⋂--．当0a ≥时，应有1a a ≤-，即12a ≤；当0a ≤时，应有1a a -≤+，即12a ≥-． 因此，选 B ． 4．P 为三角形ABC 内部任一点〔不包括边界〕，且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，那么△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B ． 等边三角形；C ． 等腰直角三角形；D ． 等腰三角形解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，因此条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=．容易得到此三角形为等腰三角形． 因此 选 D ．5．()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，那么函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是〔 〕A B ． 2 C ． D ． 4解：由条件可知，2210a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为222a ab b +-．令,s cos in b a θθ==，那么22222sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A ．6．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内〔包括圆周〕．假设AM ⊥MP ，那么P 点形成的轨迹的长度为〔 〕A ．B ．C ． 3D ．32解：建立空间直角坐标系．设A(0,-1,0), B(0,1,0),S , M ，P(x,y ,0)．因此有(0,1,),(,,3AM MP x y ==由于AM ⊥MP ，因此(0,1,)(,,022x y ⋅-=，即34y =，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为= 因此 选 B ．二、填空题 〔此题总分值54分，每题9分〕7．＝ ．解：依照题意要求，2605x x +≥+，20571x x +≤+≤．因此有2715x x +=+．因此cos01==．因此答案为 1．8．设,,,a b c d 为非负实数，满足a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，那么 a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++++++＝ ． 解：明显0a b c d +++≠，由于a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，有 1111b c d a c d a b d a b c===++++++++．因此有a b c d ===，故 4a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++=++++． 9．设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++，那么1()()_________f x f x +=． 解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x---+=+++++=++++++．10． 设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，那么41b a --的取值范畴是 ． 解： 依照题意，设两个相异的实根为12,x x ，且12012x x <<<<，那么1213x x a <+=-<，120222x x b <=-<．因此有 31,12a b -<<-<<，也即有111, 342214b a <<--<-<---． 故有143212b a -<-<，即取值范畴为13,22⎛⎫⎪⎝⎭． 11．,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，那么cos sin c in s s o ααββ+++= ． 解：由可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程001sin cos x x t t ββ-+=++，的两个根，即为方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根．因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0．12．在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分不取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上．AD 的长度的最小值为 ．解：设,AD x ADE α=∠=，作△ADE 关于DE 的对称图形，A 的对称点G 落在BC 上．在△DGB中，1sinsin(233)x x ππα--=2sin(2)3x α-⇒=当sin(2)13πα-=时，即3min x ==．三、解答题〔此题总分值60分，每题20分．解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤．〕13．椭圆C ：22221x y a b +=〔0a b >≥〕，其离心率为45，两准线之间的距离为252。