人教版高中数学高二数学期末复习学案3

平面向量期末复习一、 平面向量的线性运算,平面向量分解的基本定理（一）平面向量线性运算1.（2012·西城期末·5）如图，AB BC AD +-等于（ B ）A . ADB . DC C . DBD . AB 2.（2010·西城期末·6）在四边形ABCD 中，给出下列四个结论, 其中一定正确的是（ D ）A. AB BC CA +=B. AB AD BD -=C. AB AD AC +=D. BC CD BD +=3.（2008·西城期末·5）在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，则AD AC -等于（ ）C A .CB B .BC C .CD D . DC4.已知平行四边形ABCD ,对角线交于点O ，则下列等式成立的是（ ）D A. AB OB OA =+ B. BA OB OA =+ C. AB OB AO =- D. CD OB OA =-5. 已知D , E , F 分别是△ABC 的边AB , BC , CA 的中点，那么下列等式中不正确的是（ ）DA. FA DA FD =+B. 0=++EF DE FDC. DF DE DA =+D. DE BE BD =+6.（2014·石景山期末·5．如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ D ）A ． C ．B ．D ． 7.（2009·西城期末·7） 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于（ D ） A. 2BD B. 2DB C. 2DA D. 2AD 8. 如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A A. BA CB 21+B. BA CB 21-C. BA BC 21-D. BA BC 21+ 9.（2011·西城期末·6）如图，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）C A. 12BC BA +B. 12BC BA - ODCBAABCDADC. 12BC BA -+D. 12BC BA -- 10.（2013·石景山期末·9）如图，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD 等于（ A ）1.（2010·西城期末·11） 在平面直角坐标系中，两点A ,B 的坐标分别为(1,2),(3,4)--，则向量AB =_________.(4,6)-2.（2008·西城期末·4）已知平面向量(12)(10)=-=，，，a b ，则向量3a +b 等于（ A ） A .()2,6- B .()2,6-- C .()2,6 D .()2,6-3.（2011·西城期末·2）若向量a = (1, 1)，b = (2, 1-)，则2-a b 等于 (A ) A. (0,3) B. (0,2) C. (1,2)- D. (1,3)-4.（2013·西城期末·3）已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ D ） A. (4,2)- B. (4,2)-- C. (4,2) D. (4,2)-5.（2009·西城期末·1）若(24)OA =，，(13)OB =，, 则AB 等于（ B ） A. (11)， B. (11)--， C. (37)， D. (37)--，6.（2010·西城期末·3）若向量a = (1, 1)，b = (1, 1-)，c = (2,4-)，则c 等于 ( )B A. -a +3b B. a -3b C. 3a -b D. -3a+b7.已知向量(32)a =-，，(21)b =-，，(74)c =-，，用a b ，表示，那么= 2- ．二、 向量的共线1.（2010·西城期末·5）设x ∈R ，向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，若a //b ，则实数x 等于（C ）A.2B.-2C.2或-2D.122.（2012·石景山期末·13．已知向量(3=a ，1)，(sin α=b ，cos )α，且a ∥b ，则tan α＝ ，4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ . 3，753.（2009·西城期末·12） 若向量(12)=，a 与向量(1)λ=-，b 共线，则实数=λ__12-____ . A ．12CB BA + C ．12BC BA -B ．12CB BA -D ．12BC BA +4.（2013·石景山期末·8）已知向量(25)=a ，，(1)y =b ，，并且//a b ，则y 的值为（ C ） A ．52-B ．25-C ．52D ．255.（2012·西城期末·11）若向量(12)=-，a 与(1,)x b =平行，则实数x =___2-______.6.（2014·西城期末·13）已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____.6-7.（2011·西城期末·12） 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______.2- 8.（2014·西城期末·6）已知非零向量,OA OB 不共线，且13BM BA =，则向量OM =（ A ） （A ）1233OA OB + （B ）2133OA OB +（C ）1233OA OB - （D ）1433OA OB -三、 平面向量的数量积（一）夹角、模的计算1.（2009·西城期末·14）已知向量a 与b 的夹角为120，且||||4==a b ，那么=a b ⋅___8-__ .2.（2008·西城期末·11）已知(1,1)AB =，那么AB =3.（2011·西城期末·9）设向量a , b 的长度分别为2和3，且π,3=〈〉a b ，则|a +b |等于 ( )D A. 13B. C. 19 D.4.（2012·西城期末·14）若向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||2-=a b ，则⋅a b =______12____.（2011·西城期末·14）若向量,a b 满足||||1==a b ，a 与b 的夹角为120，则()⋅+a a b =___12_______.5.（2011·西城期末·7） 对于向量,,a b c 和实数λ，下列说法中正确的是（ ）B A. 若0⋅=a b ，则0a 或0b B. 若λ=a 0，则0λ=或0aC. 若22ab ，则ab 或 =-a b D. 若⋅=⋅a b ac ，则b c6.（2009·西城期末·9） 已知、a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||-a b 等于（ A ）A. 1B.C. D. 27.（2008·西城期末·9）已知正方形ABCD 的边长为1，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，则-+a b c 等于（ ）CA .0 BC .2 D.8.（2010·西城期末· 9）设向量a , b 的长度分别为4和3，它们的夹角为060，则|a +b |等于 ( )AA.B. 13C. 37D.9.（2014·西城期末·8）设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ B ）（A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒10.（2014·西城期末·4）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（B ）（A）2（B ）1（C（D ）2 11.（2013·西城期末·10）在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ B ）A ．3B ．2 C．2 D．312.（2012·石景山期末·17）已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅. （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ. 解：（Ⅰ）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即2212-=a b ，所以221111222=-=-=b a，故=b .（Ⅱ）因为cos θ=a ba b ⋅=22， 又0180θ≤≤，所以45θ=.13.若单位向量a 、b 夹角为060，且λ+a b 与λ+a b 夹角为锐角，求实数λ的取值范围（二）平面向量数量积的坐标表示1.（2008·西城期末·15） 已知向量(1,2)-a =，(3,4)b =，则2-a a b =⋅__________. 02. 若21,e e 是夹角为3π的单位向量，且212123,2e e e e +-=+=，则=⋅（ ）C A. 1 B. -4 C. 27- D. 273.（2013·石景山期末·1）已知向量1(3)2=-a ，，1(2)3=-b ，，则⋅a b 的值为（ ）BA ．21B ．2C ．21- D ．2-4.（2011·石景山期末·9．若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+，则a b ⋅=（ ）CA ．1B ．4-C ．72-D ．725.（2012·西城期末·2）已知(1,AB =，那么AB 等于（ ）CA . 4B . 3C . 2D .6.（2014·西城期末·2）已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么122|+=|e e （ ）D（A ）1（B C ）2（D 7.（2012·西城期末·3）设向量(0,2),(3,1)ab ，则,a b 的夹角等于（ A ）A .3π B . 6π C .32π D . 65π8.（2013·西城期末·6）已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（ C ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 9.（2011·西城期末·18）在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2) ，B (-1，-1)， C (2，3). (Ⅰ)求BAC ∠的的大小；(Ⅱ)求以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长. （Ⅰ）解：由题意，得(1,3),(2,1)AB AC =--=，所以cos||||AB AC BAC AB AC ⋅∠=⋅ 2==所以135BAC ∠=. （Ⅱ）解：设以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形的另一个顶点为D ，则两条对角线分别为,BC AD . 根据向量加减法的几何意义，得 (1,2),(3,4)AD AB AC BC AC AB =+=-=-=， 所以22||1(2)5,||5AD BC =+-==，即以线段AB , AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为5,5.9.如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________（三）平面向量数量积解决垂直问题1.（2013·石景山期末·15）已知(31)OA =，，(04)OB =，，(4)OC x =，，且AC AB ⊥，则x = . 62. 设m ∈R ，向量)2,(),2,1(-=-=m m b a ，若a b ⊥，则m 等于( ) DA ．23-B ．23C ．4-D ．43.（2011·西城期末·4）设x ∈R ，向量a =(1, x -1)，b =(-2，x )，若a ⊥b ，则实数x 等于（ ）DA.-2或1B. -2或-1C. 2或1D. 2或-14.（2009·西城期末·4） 设m ∈R ，向量 (12)=-，a ，(2)m m =-，b ，若⊥a b ，则m 等于（ D ）A. 23-B. 23C. 4-D. 45.（2012·石景山期末·5．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为（ B ） A ．21 B ．2 C ．21- D ．2-6.（2011·石景山期末·4．已知向量(24)=a ，，(1)m =-b ，，若⊥a b ，则m 的值为（ ）A A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- 7.（2010·西城期末·12） 若向量(12)=，a 与向量(,4)λb =垂直，则实数λ=_______.8-8.（2012·西城期末·15）已知(3,1)OA =，(0,4)OB =，(,4)OC x =，且AC AB ⊥，则x =______.6;9.（2008·西城期末·17）已知向量a 、b 满足1==a b ，且a 与b 的夹角为60. （1）求-a a a b ⋅⋅；（2）若a 与λa +b 垂直，求实数λ的值.解：（1）2cos60--a a a b =a a b ⋅⋅………………4分11122=-=………………5分 （2）由已知，()=0λ⋅a a +b ，………………7分 所以0λa a +a b =⋅⋅，2λ=-.………………10分10.（2011·石景山期末·17）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(12)OA =，，(34)OB =，，(50)OC =，．（Ⅰ） 求向量AB 的坐标和向量AB 的模；（Ⅱ） 求AB OC ⋅， AB OC <>，． 解：（Ⅰ）(3142)(22)AB =--=，，，22AB == （Ⅱ） 10AB OC ⋅=． 2cos AB OC AB OC AB OC⋅<>==，． 因为 AB OC <>，的范围是π[0,]，所以 4AB OC π<>=，11.（2009·西城期末·18）设π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量(cos sin )αα=，a ，122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，b . （1）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （2）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α.（1）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，12⎛=- ⎝⎭b ，得1cos sin 2=αα⎛+- ⎝⎭，a b ，1cos sin 2=αα⎛-+- ⎝⎭，a b ， 由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得向量+-、a b a b 均为非零向量.因为222213()()||||(sin cos )044αα⎛⎫+⋅-=-=+-+= ⎪⎝⎭a b a b a b ， 所以向量+a b 与-a b 垂直.（2）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+=a b a b ⋅，由||||1==a b ， 得0=a b ⋅， 即 1cos 022αα-+=. 所以πsin 06α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 注意到π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 得π6α=.12.已知向量)k =a ，(01)=-，b ，(1=c . （Ⅰ）若⊥a c ，求k 的值；（Ⅱ）当1=k 时，λ-a b 与c 共线，求λ的值； （Ⅲ）若3=m b ，且m 与c 的夹角为150︒，求2 m +c . 解：（Ⅰ） ⊥a c ，0=∴⋅a c .0= 1k ∴=-.（Ⅱ）当1=k 时，λ-a b (0,1))λλ=--=+.λ-a b 与c 共线(1)0λ⇔+=.所以2λ=.（Ⅲ）1,2==b c ， ∴==m m 与c 的夹角为150︒，cos1503∴⋅︒=-m c =m c .22222 (2)47∴==+⋅=2m +c m +c m m c +c .2 ∴=m+c .（四）数量积的最值问题1.（2014·石景山期末·13）设是单位向量，且，则 ，的最小值为 ．2.（2012·石景山期末·9）已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且=t (10≤≤t )，那么OA OP ⋅的最大值为 （ D ） A ． a B ．a 2 C ．a 3 D ．2a3.（2008·西城期末·19）在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，(0,B ，(2cos ,sin )C θθ，其中[0,]2πθ∈．（1）若//AB OC ，求tan θ的值； （2）设点(1,0)D ，求AC BD ⋅的最大值；（3）设点(,0)E a ，a ∈R ，将OC CE ⋅表示成θ的函数，记其最小值为()f a ，求()f a 的表达式，并求()f a 的最大值.19.解：（1）由已知，得(2,AB =，(2cos ,sin )OC θθ=，因为//AB OC ，所以2sin θθ=，tan θ=.（2）由已知，(2cos 2,sin )AC θθ=+，(1,BD =-，2cos 24cos()23AC BD πθθθ=-+=++⋅又5[,]336πππθ+∈，所以，当0θ=时，AC BD ⋅取得最大值，最大值为4. （3）由已知，(2cos ,sin )CE a θθ=--，所以，2222cos 4cos sin 3cos 2cos 1OC CE a a θθθθθ=--=-+-⋅，设cos t θ=，2321,[0,1]OC CE t at t =-+-∈⋅当132a <，即32a <时，()24f a a =-， 当132a ≥，即32a ≥时，()1f a =-， 所以，324,,2()31,,2a a f a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩因为当32a <时，3()()12f a f <=-，当32a ≥时，()1f a =-， 所以()f a 的最大值为1-.4.（2012·西城期末·19）在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB AC ==. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，求BP CP ⋅的最小值.C19.解：（Ⅰ）由已知22AB AC ⋅=⨯⨯()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 2AB AC AB =⋅-246=--=-(2,0)B ，因为120BAC ∠=，AC 角函数定义，(C -，点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，可设(2cos ,2sin )P αα，其中[0,]3α2π∈. (2cos 2,2sin )(2cos 1,2sin BP CP αααα⋅=-⋅+-224cos 2cos 24sin αααα=--+- 2cos 2αα=--+ 4sin()26απ=-++.因为[0,]3α2π∈，所以[,]666αππ5π+∈，1sin()[,1]62απ+∈， 当3απ=时，BP CP ⋅取得最小值2-， 所以BP CP ⋅的最小值为2-.5.（2013·西城期末·19）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值； （Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， 点P坐标为1(,)22a a . 又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3(,)22AP a a =，(2,0)AB a =， 所以23AP AB a ⋅=.（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(P )θ 所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+， (cos ,sin )OP a a θθ'=-. 所以2222cos cos AP OP a a a θθ'⋅=+-22(2cos cos 1)a θθ=+- 2221192(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. 当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -， 当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a .．6.（2014·西城期末·19）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1.,M N 分别是,BC DE 上的动点，且满足BM DN =.（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求AM AN ⋅的值；（Ⅱ）求AM AN ⋅的取值范围.（Ⅰ）解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以. 因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以5(4M，1(2N ， 所以 5311848AM AN ⋅=+=. （Ⅱ）解：设BM DN t ==，则[0,1]t ∈.所以(1)2t M+，(1N t -. 所以3(1)(1)22tAM AN t t ⋅=+⋅-+ 2112t t ++=- 213(1)22t =--+ 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32. 四. 平面向量解决平面几何问题1.（2010·西城期末·14）设(2,2),(0,4)AB AC ==，则ABC ∆的内角A =_________.452.（2010·西城期末·18）如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB=4. 设角A θ=，ABC ∆的面积为S . （1）试用θ表示S ，并求S 的最大值；（2）计算AB AC BC BA ⋅+⋅的值.18.（Ⅰ）解：在Rt ABC ∆中，斜边AB=4，A θ=， 所以4cos ,4sin AC BC θθ==，所以ABC ∆的面积114cos 4sin 4sin 222S AC BC θθθ=⨯=⨯⨯=. 故当sin 21θ=，即π4θ=时，ABC ∆的面积有最大值max 4S =. （Ⅱ）解：由题意，得π2B θ=-， 所以 AB AC BC BA ⋅+⋅ A C B θπ||||cos ||||cos()2AB AC BC BA θθ=⋅+⋅- 2216cos 16sin θθ=+ 16=.3.（2014·石景山期末·16）已知三角形的三个顶点的坐标分别为，，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）当时，求的正弦值.解：（Ⅰ），，因为，所以, 所以. （Ⅱ）因为，所以，，所以，所以.4.利用向量证明直径所对圆周角是直角5.利用向量证明两角差的余弦公式。

第三课导数及其应用1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义式f′(x0)＝y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导函数的定义(1)条件：f(x)在区间(a，b)可导．(2)定义：对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．(3)导函数记法：f′(x)或y′.3．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义(1)几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率等于f′(x0)．(2)切线斜率k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)相应的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．4．基本初等函数的导数公式序号y＝f(x)y′＝f′(x)1y＝C y′＝02y＝x n y′＝nx n－1，n为自然数3y＝xμ(x＞0，μ≠0)y′＝μxμ－1，μ为有理数4y＝a x(a＞0，a≠1)y′＝a x ln a5y＝e x y′＝e x6y＝log a x(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝1x ln a7y＝ln x y′＝1 x8y＝sin x y′＝cos x5．设f (x )，g (x )是可导的，则(1)和(差)的导数：符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数：符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地，当g (x )＝C (C 为常数)时，[Cf (x )]′＝Cf ′(x )． (3)商的导数：符号表示： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )].特别地，当f (x )＝1时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g (x )(g (x )≠0)．6．函数的单调性与其导数符号的关系 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，(1)如果在(a ，b )内，f ′(x )>0，则f (x )在此区间是增函数． (2)如果在(a ，b )内，f ′(x )<0，则f (x )在此区间是减函数． 7．求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )．(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化．①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值． ②如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值．③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧符号不变，则f (x 0)不是极值． 8．求可导函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求f (x )在开区间(a ，b )内所有极值点．(2)计算函数f (x )在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．应用导数解决与切线相关的问题(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.【导学号：73122289】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x＞0)，∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．1．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx ＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，g (－1)＝9， 切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为y ＝9.下面求曲线y ＝f (x )的斜率为12和0的切线方程： 因为f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， 所以f ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，f (0)＝－11，此时切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，f (1)＝2，此时切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝12x ＋9不是公切线． 由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.当x ＝－1时，f (－1)＝－18，此时切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，f (2)＝9，此时切线方程为y ＝9， 所以y ＝9是公切线．综上所述，当k ＝0时，y ＝9是两曲线的公切线.函数的单调性与导数(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.当Δ≤0，即a 2≤3时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上递增． 当a 2＞3时，f ′(x )＝0求得两根为 x ＝－a ±a 2－33，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33内是增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞内是增函数． 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞内是增函数； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数． (2)若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1两根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13外， 即⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≤0，解得a ≥2，故a 的取值范围是[2，＋∞)．(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(4)将(3)中的解集与(1)中的定义域取公共部分写出增(减)区间．2．利用导数解决取值范围问题的两个基本思路：(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意(通常验证参数取“＝”这一步当不影响结果时可省略．)函数的极值、最值与导数x(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【导学号：73122290】(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－e k－1↗所以，f(x)(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1＜k＜2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的是小值为f(1)＝(1－k)e.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．(1)求f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f′(1)＝3＋2a＋b，故过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，已知该切线方程为y＝3x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a＋b＝3，c－a－2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝0，c－a＝3，因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，即－4a＋b＝－12，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝0，c－a＝3，－4a＋b＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－4，c＝5，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.当x∈[－3，－2)时，f′(x)＞0；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，23时，f′(x)＜0；当x∈⎝⎛⎦⎥⎤23，1时，f′(x)＞0.所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和⎝⎛⎦⎥⎤23，1，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2，23.又f(－2)＝13，f⎝⎛⎭⎪⎫23＝9527，f(－3)＝8，f(1)＝4，所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.分类讨论思想已知函数f(x)＝ln xx－1.(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N＋，不等式ln⎝⎛⎭⎪⎫1＋nne＜1＋nn.【导学号：73122291】(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．由已知f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e.因为当0<x<e时，f′(x)＝1－ln xx2＞0，当x>e时，f′(x)＝1－ln xx2＜0，所以函数f(x)在(0，e]上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f(x)在(0，e]上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，①当0<2m≤e，即0<m≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增，所以f(x)max＝f(2m)＝ln 2m2m－1；②当m≥e时，f(x)在[m,2m]上单调递减．所以f(x)max＝f(m)＝ln mm－1；③当m<e＜2m，即e2<m<e时，当m≤x<e时，f′(x)>0，当e<x≤2m时，f′(x)<0，所以f(x)max＝f(e)＝1e－1.(3)证明：由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)max＝f(e)＝1e－1，所以在(0，＋∞)上恒有f (x )＝ln x x －1≤1e －1，即ln x x ≤1e ，当且仅当x ＝e 时“＝”成立，所以对∀x ∈(0，＋∞)恒有ln x ≤1e x .因为1＋n n >0，1＋n n ≠e ，所以ln 1＋n n ＜1e ·1＋n n ⇒ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n n e ＜1＋n n ， 即对∀n ∈N ＋，不等式ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n n e ＜1＋n n 恒成立．3．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3是否恒成立，并说明理由． (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝x －a x (x ＞0)，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－ax ＝x2－ax＝(x－a)(x＋a)x.所以当0＜x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0.所以当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)设g(x)＝23x3－12x2－ln x(x＞1)，则g′(x)＝2x2－x－1x.因为当x＞1时，g′(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x＞0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝16＞0，即23x3－12x2－ln x＞0，所以12x2＋ln x＜23x3，故当x＞1时，12x2＋ln x＜23x3恒成立．。

高二的数学复习教案汇总5篇高二的数学复习教案汇总5篇高二数学教案怎么写。

20世纪是科学技术空前辉煌的世纪，如何展现那些辉煌的科技成就呢？下面小编给大家带来关于高二的数学复习教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。

高二的数学复习教案（精选篇1）教学目标1、知识与技能(1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性;(2)能熟练运用正弦函数的性质解题。

2、过程与方法通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重难点重点:正弦函数的性质。

难点:正弦函数的性质应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗?在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：(1)正弦函数的定义域是什么?(2)正弦函数的值域是什么?(3)它的最值情况如何?(4)它的正负值区间如何分?(5)?(x)=0的解集是多少?师生一起归纳得出：1.定义域：y=sinx的定义域为R2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1(有界性)再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有哪些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?课后习题作业：习题1—4第3、4、5、6、7题.高二的数学复习教案（精选篇2）教学目标(1)了解算法的含义，体会算法思想.(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力教学重难点重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计.难点：把自然语言转化为算法语言.情境导入电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手.作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);第二步：瞄准目标;第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;第四步：根据第三步的结果修正弹着点;第五步：开枪;第六步：迅速转移(或隐蔽).以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法.●课堂探究预习提升1.定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.2.描述方式自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图.3.算法的要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.4.算法的特征(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束.(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的.(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果.(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续.(5)不性：解决同一问题的算法可以是不的.高二的数学复习教案（精选篇3）一、教学目标1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。

教学目标：了解合情推理的含义，了解直接证明和间接证明的方法.了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学重点：了解直接证明和间接证明的方法.了解数学归纳法原理.教学难点：了解直接证明和间接证明的方法.了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学过程：一、课前检测1、综合法与分析法①综合法: ．②分析法： ．学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．2、数学归纳法公理: (1)(2)____________________________________数学归纳法证明的步骤: (1)(2) 。

二、例题讲解例1：我们知道，在三角形ABC 中，若222c a b =+，则他是直角三角形，现在请你研究：若(2)n n n c a b n =+>，问三角形ABC 为何种三角形？为什么？例2：在三角形ABC 中，射影定理可表示为cos cos a b C c B =+，其中：,,a b c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间内四面体性质的猜想，并证明.例3：已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bc +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．例4：用数学归纳法证明：*N n ∈时，12)12)(12(1531311+=+-++⨯+⨯n n n n .三、课堂总结作业班级 姓名 学号 等第1、已知3(),,f x x x x R =+∈若,a b R ∈且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则()()()f a f b f c ++的 符号为 .2、如图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从 A 到H 有 条不同的旅游路线可走.3、 已知0a b >>，且1ab =，若22201,log ,log 2c c a b c p q +<<==，则,p q 的大小关系为 .4、以下三段论证明：所有的自然数是整数，所有的质数是自然数，所有的质数是整数，其中小前提是 .5、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① 23150sin 90sin 30sin 020202=++； ② 23125sin 65sin 5sin 020202=++ .6、已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则98是该数列的第 项. 7、设),()(,sin )(010x f x f x x f '==N n x f x f x f x f n n ∈'='=+),()(,),()(112 ，则)(2008x f ＝ .8、若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积)(21c b a r S ++=.根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为 4321,,,S S S S ，则四面体的体积=V .二、解答题9、设()2f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++的值.10、若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现 已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，求sin sin sin A B C ++的最大值．11、设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）５＝２＋３请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.12、用数学归纳法证明：*N n ∈时，1>n ，求证：n n >+++131211 .。