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D122数项级数及审敛法43289精品

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高等数学课件--D12_2数项级数及审敛法

高等数学课件--D12_2数项级数及审敛法

发散 .
2012-10-12
同济版高等数学课件
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2) 若 p 1, 因为当
1 n
p
时,
dx
1
1 n
p

1 x
p
, 故

n
1
p
n 1 n n
1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
1
1 1 1 11 1 1 1 p 1 考虑强级数 p 1 p p p1 p的部分和 p 1 1 1 1 2 2 n 2 ( n 1) n 3 n (n 1)
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
(3) 当 l 且 vn 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
2) 特别取 vn
发散, 则有 这说明强级数
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也发散 .
例1. 讨论 p 级数 1
的敛散性.
1 2
p

1 3
p

1 n
p
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n 1

1 n
发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
证: 设 收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )

D11_2数项级数及审敛法

D11_2数项级数及审敛法
n
lim u n 0 ,
n 1
则级数 (1)
n 1
u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足
rn u n 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
n 1
例如 ： (1)
n 1
1 n
为条件收敛 .
(1)
n 1

n 1
n 10
n
均为绝对收敛.
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )
( n 1 , 2 , )

显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 n
n
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
0 rn 1 ( n 1)
n 1

1 ( n 2)
n2


1 ( n 1)

1 1 n 1 n 1 1 p 1 p 1 p 1 k ( k 1) ( n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.

122数项级数及审敛法 共48页

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此定理是本节诸判敛法的理论基础. n 1
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例1 证明级数
n 1112n1 121122 112n 收.敛
证 该正项级数的部分和为:
sn1 121 1 2 2 1 1 2 n
1221221n

1 2
(1

1 2n
)
1 1
n1
证: 据极限定义, 对0,存在 NZ,当nN时,
un vn
l

(l )
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( l ) v n u n ( l ) v n (nN)


(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 un 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n1
的敛散性.
n
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解: lim
ln(
1
1) n2
limn2 1
1
n
1
n n2
n2
根据比较审敛法的极限形式知
n1ln1n12
收敛.
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说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽 然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一 个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样 一个级数，往往不是一件轻而易举的事。

vn
满足 lim n
un l v
n 1
(l可以代表普通实数，也可以代表 ）
n 1
n
则有 (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;


(2) 当 l = 0 且vn收敛时 , un 也收敛;

同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法

同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法

1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;

2数项级数及审敛法

2数项级数及审敛法
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1
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
un 1 对于正项级数 un , 若 lim u , 则 n 1 n n

1 当 1 时,

n 1


un 收敛 , un 发散 ,
( 后项比前项 )
2 3

当 1 时, 当 1 时,
n 1
n 1
n 1


un 收敛 .
反过来由 un 收敛 sn 有极限 sn 有界 .
定理2 (比较判别法)
设
则
n 1


un ,
n 1
n 1


v n 为正项级数 , 且 un v n , ( n 1 , 2 , 3 , ) ,
n 1


vn 收敛 un 发散
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例2.证明级数 证: 因为
1 n ( n 1) 1 ( n 1)2

发散 .
而级数
1 发散 k 2 k
根据比较判别法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较判别法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim
un l , 则有 n vn
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1 (2) n ; n 1 3 n
un1 3n n 1 lim lim n1 解： n u n 3 ( n 1) 3 n

1 3 n n lim 1 1, 或 lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛, 故原级数收敛. n1 3

数项级数及审敛法

数项级数及审敛法

设对一切
都有
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分别表示
和
的部分和, 则有
(1) 若级数
收敛, 由定理1，则 有界，
因此 也有界 由定理 1 可知, 级数
也收敛 .
(2) 是(1) 的逆否命题。
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比较审敛法的基本形式：
设正项级数
满足：
则 (1) 若级数
收敛 , 则级数
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
2) 若 p 1, 因为当
Sn
1
1 2p
L
1 np时,Fra bibliotek1 np
1 xp
,故
1
2 1
1 2p
d
x
L
n1 n1 n p d x
1 2 1 d x L n 1 d x
1 xp
x n1 p
1 n x p d x 1 x1 p n 1 1 n1 p
1
1 p 1
p 1
1 1 , 故 p 级数收敛 . p 1
推论：
为二个正项级数，且当 n N
（N为某一正整数）时，存在 C1 > 0, C2 > 0, 使

最新-数项级数的审敛法-PPT文档资料


即部分和数列有界

un收敛.
n1
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
则nsn 不是有 界数列

vn发散.
定理证毕.
n1

推 论 :若un收 敛 (发 散 )
n1
且 vnkn u (nN )k (n u vn),则 vn收敛(发散).

而级数 rm1uN1收敛 ,
m1


uNm uu收敛 , 收敛
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
一、正项级数及其审敛法

1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理
正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数


3.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
例

级数
1发散 ,
n1n

级数
n1
1 n2
收敛,

(

1)
2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
(p1)

数项级数审敛法


(c
n 1

n
an ) 为正项级数，
且由正项级数的比较判 别法知其收敛 . 由 (cn an )及 an 的收敛性知原级数收敛 .
n 1 n 1
4.设 an
n 1

2
| an | 收敛, 证明 收敛 n n 1

| an | 1 2 1 1 2 (an 2 ), 而 an 及 2 均收敛， n 2 n n 1 n 1 n 故由正项级数的比较判 别法知原级数绝对收敛 .
n
lim S 2 n 1 lim( S 2 n u2 n 1 ) S
n n
则
lim S n S u1
n
交错级数
同理
例如 1
| rn | un1 un2 un1.
1 1 1 n 1 1 (1) 2 3 4 n
定理3(比较审敛法极限形式)
un l (0 l ) 设 u n 和 vn 都是正项级数, 如果 lim n v n 1 n 1 n
则 证


u
n 1
n
和
v
n 1
n
同时收敛或同时发散.
l 2
l un l l l 2 vn 2
un lim l n v n
(i).un un1; (n 3,4,...) (ii).lim un 0
n
f ( x)
ln x .( x 2) 单调减少 x
f ( x)
1 ln x 0.( x e) 2 x
思考
f ( x) 1.设 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 , 且 lim 0, x0 x 1 证明 f ( )绝对收敛. n n 1 f ( x) lim 0 及 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 x 0 x f (0) 0, f ' (0) 0 从而

数项级数及其收敛性-5页文档资料

数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。

古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)4443n +++++=的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。

"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。

结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。

'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。

''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。

'要解决这个悖论，需要引进极限方法。

研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念定义1 设给定一个数列 ，，，，，n u u u u 321，则表达式 称为无穷级数，简称级数，记作∑∞=1n nu，即其中n u 称为级数的第n 项，也称一般项或通项，如果n u 是常数，则级数∑∞=1n nu称为常数项级数，如果n u 是函数，则级数∑∞=1n nu 称为函数项级数．其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: 2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n aa aq aq aq q++++=-；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：10.33= 1033.0=，210303.0=，n103030.0= ，所以有显然，n 越大，这个近似值就越接近31，根据极限的概念可知也就是说由以上两个实例可以得到两个重要结论：结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。

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