自由电子气体的热性质

费米分布函数对所有量子态求和等于系统中总电子数，由于能 量状态是准连续分布的，可以由求和变为积分：
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数 和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占 据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就 是价电子的最高能量，有
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似 下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。 系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能 带理论确定。 系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来 描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。 只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此

与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温 附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献 微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激 发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。 金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。

电导率∝传导电子浓度，与m成反比

电导率
2 索末菲电子气图象
自由电子： 在均匀的与时间无关的电场中： 由牛顿第二定律：
积分，得：
没有碰撞时，恒定的外加电场使k空间中的费米球匀速移动。 电子气填充以k空间原点为中心的费米球。
电导率
电子同杂质、晶格缺陷以及声子的碰撞， 使移动的费米球在电场中维持一种稳态。
准经典模型
1 电子受到散射 牛顿定律、热平衡
2 弛豫时间（relaxation time) τ
电场中的自由电子
电子的动力学方程
——自由电子在外场作用下的动力学方程
电导率
金属的电导率
1 经典图象 无外场：传导电子作无规运动： 有外场：传导电子作定向运动 漂移速度：
恒定电场稳恒情形：
电导率
1 经典图象
自由电子气体的热性质
自由电子气体的热性质
1 T →0
绝对零度时，能量在μ以下的状态全部被电子占满，μ以上 的状态是空的。化学势（费米能级）就是在绝对零度时， 电子逐级填充所能占有的最高能量状态。
2 T >0
在μ能级，被电子填充的几率 温度上升，发生变化的能
和不被填充的几率相等。
量范围变宽。
自由电子气体的热性质
化学势
1 基态
2 热激发 在费米面附近的电子可获得热能，跃迁到费米面以外的状态，费米面 内的一些状态便空了出来。
自由电子气体的热性质
电子比热
自由电子气体的热性质
电子比热
分析：经典理论，1mol 电子气平均能量：
一价金属： 高温时金属的总比热容：
实际 量子：
小于经典值
常温下：电子的贡献比例很小
自由电子气体的热性质

1、彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ 3 ）①态函数 ②内能 ③温度 ④熵2、热力学第一定律的数学表达式可写为（ 4 ） ①W Q U U A B +=- ②W Q U U B A +=- ③W Q U U A B -=- ④W Q U U B A -=-3、在气体的节流过程中，焦汤系数μ=）（1-αT C V P ，若体账系数T 1>α，则气体经节流过程后将（ 2 ）①温度升高 ②温度下降 ③温度不变 ④压强降低4、空窖辐射的能量密度u 与温度T 的关系是（ 4 ）①3aT u = ②T aV u 3= ③4aVT u = ④4aT u =5、熵增加原理只适用于（2 ）①闭合系统 ②孤立系统 ③均匀系统 ④开放系统6、在等温等容的条件下，系统中发生的不可逆过程，包括趋向平衡的过程，总是朝着（ 2 ）①G 减少的方向进行 ②F 减少的方向进行③G 增加的方向进行 ④F 增加的方向进行7、从微观的角度看，气体的内能是（ 4 ）①气体中分子无规运动能量的总和②气体中分子动能和分子间相互作用势能的总和③气体中分子内部运动的能量总和④气体中分子无规运动能量总和的统计平均值9、根据热力学第二定律可以证明，对任意循环过程L ，均有1①⎰≥L T 0ζθ ②⎰≤L T 0ζθ ③⎰L T 0＝ζθ ④⎰∆L S T ＝ζθ10、理想气体的某过程服从PV r ＝常数，此过程必定是（4 ）①等温过程 ②等压过程 ③绝热过程 ④多方过程11、卡诺循环过程是由（ 1 ）①两个等温过程和两个绝热过程组成②两个等压过程和两个绝热过程组成③两个等容过程和两个绝热过程组成④两个等温过程和两个绝热过程组成12、下列过程中为可逆过程的是（ 3 ）①准静态过程 ②气体绝热自由膨胀过程 ③无摩擦的准静态过程 ④热传导过程13、理想气体在节流过程前后将（4 ）①压强不变 ②压强降低 ③温度不变 ④温度降低14、气体在经准静态绝热过程后将（3 ）①保持温度不变 ②保持压强不变 ③保持焓不变 ④保持熵不变15、熵判据是基本的平衡判据，它只适用于（ 1 ）①孤立系统 ②闭合系统 ③绝热系统 ④均匀系统16、描述N 个三维自由粒子的力学运动状态的μ空间是(3 )①6维空间 ②3维空间 ③6N 维空间 ④3N 维空间17、服从玻尔兹曼分布的系统的一个粒子处于能量为εl 的概率是（ 4 ）①l e Z P l βε-11＝ ②l e Z P l l βεω-1＝ ③l e N P l βε-1＝ ④l e Z P l βεα--11＝24、描述N 个自由度为1的一维线性谐振子运动状态的μ空间是（ 4 ）①1维空间 ②2维空间 ③N 维空间 ④2N 维空间28、由两个粒子构成的费米系统，单粒子状态数为3个，则系统的微观状态数为（ 2 ）①3个 ②6个 ③9个 ④12个29、由两个玻色子构成的系统，粒子的个体量子态有3个，则玻色系统的微观状态数为（ 1 ）①3个 ②6个 ③9个 ④12个30、微正则分布的量子表达式可写为（ ）①Ω=e s ρ ②Ω-=e s ρ ③Ω=s ρ ④Ω=1s ρ 二、判断题1、无摩擦的准静态过程有一个重要的性质，即外界在准静态过程中对系统的作用力，可以用描写系统平衡状态的参量表达出来。

dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2