高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)

故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
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例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
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例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
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例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
f
y
(
x
,
y
)
3
y
2
6
y
0,
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).
再求出二阶偏导数
f xx ( x, y) 6 x 6, fxy ( x, y) 0,
f yy ( x, y) 6 y 6.
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在点(1,0)处，AC B2 12 6 0,又A 0,所以函 数在(1,0)处有极小值f (1,0) 5;
在该圆上函数值均为零，因此
fmax (1,0) 1, fmin (D) 0.
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例3 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使
用料最省.
解
设水箱的长为
x m, 宽为y m,
则其高应为 2 m xy
此水箱所用材料的面积
A 2( xy y 2 x 2 ), xy xy
y0
a
a 3
a 3
a. 3
可见当三个数相等时,其乘积最大.
Smax
a 3
3.
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7.8.2 条件极值
无条件极值：对自变量除了限制在定义域 内外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
对于有些实际问题，可以把条件极值化为无 条件极值.但在很多情形下，将条件极值化为无条件 极值并不简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方 法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这 就是拉格朗日乘数法.
的偏导数必然为零： f x ( x0, y0 ) 0， f y ( x0, y0 ) 0.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零
的点，均称为函数的驻点.
偏导数存在
注意： 驻点
极值点
例如, 点(0,0)是函 z xy的驻点，但不是极值点.
数
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定理7.10 设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点
（1）AC B2 0时具有极值，
当 A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值；
（3）AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
7
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
如果三元函数u =f (x,y,z)在点M0 ( x0 , y0 , z0 )具有
偏导数，则它在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0, fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
0,
8 xy
2z c2
0,
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0,
x>0,y>0,z>
0
（1）
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由方程组的前三个方程得到
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,
将其代入到最后一个方程中,即得
x0
3 a, 3
y0
3 b, 3
z0
3c. 3
由于体积最大的内接长方体一定存在,方程组(1)的解
又是唯一的,故(
满足上述条件的点仍称为驻点.
若点M0是f(x, y, z)的驻点, f(x, y, z)在点M0处所有
的二阶偏导数都连续, 则当矩阵
f xx f xy f xz
ห้องสมุดไป่ตู้
H
f xy
f yy
f
yz
f xz f yz f zz
为正定阵时,点M0为极小值点; 为负定阵时,点M0为极大 值点;如矩阵不是正定阵,也不是负定阵, 则点M0不是极
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c)就是所求的最大值
点.所求的最大体积为
V 8 3 a 3 b 3 c 8 3 abc.
333
9
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例7.抛物面 z x2 y2被平面x y z 1截成一 椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.
解 设椭圆上点的坐标为 ( x, y, z),则 d2 x2 y2 z2,
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数u f ( x, y, z,t) 在条件
(x, y, z,t) 0， ( x, y, z,t) 0
下的极值， 先构造函数
F(x, y,z,t) f (x, y,z,t)
1( x, y, z,t) 2 ( x, y, z,t) 其中1,2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又
f x ( x0, y0 ) 0， f y ( x0, y0 ) 0， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， fxy ( x0, y0 ) B， f yy ( x0, y0 ) C，
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
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例2 求函数 f ( x, y) x2 y2 2x 2 在闭区域D
的最大值与最小值，其中D是 ( x 1)2 y2 1.
解由
f x 2( x2 y2 2x)( x 1) 0, f y 2( x2 y2 2x) y 0, 得f (x,y)在区域D内的唯一驻点(1,0),且 f (1,0)=1.
值点.
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4 最大值，最小值
与一元函数相类似，我们可以利用函 数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
在通常遇到的实际问题中，所确定的 函数只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的 函数值就是最大值(最小值).
2
例 函数 z 3x2 4 y2 在 (0，0) 处有极小值.
例 函数 z x2 y2 在 (0，0) 处有极大值.
例 函数 z xy 在 (0，0) 处无极值.
z
xzy
x
y
z
y x
3
2 取极值的必要条件
定理7.10 设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点
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例4
将一个正数a 表为三个正数之和, 使
这三个正数的积为最大.
解 设这三个正数分别是x、y、z, 则x+y+z=a.
它们的积为xyz，由于z =a–x–y,所以问题就变为求函数
S xy(a x y),
在区域D={(x, y)|x>0, y>0, x+y<a}内的最大值
问解题方.程组
s y(a 2x y) 0, x
( x0 , y0 , z0 ) 处有切平面，则切平面
z z0 fx ( x0, y0 )(x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 )
成为平行于xOy坐标面的平面z z0 0.
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3 取极值的充分条件
定理7.11
设函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )
满足 z x2 y2 0 和 x y z 1 0.
令
F x2 y2 z2 (z x2 y2 ) ( x y z 1),
分别对x, y, z求偏导，并使之为零，再结合条件，得
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解出
2x 2x 0,
22zy
2y
0,
0,
z x2 y2 ,
x y z 1 0,
x, y, z,t， 即得极值点的坐标.
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例5 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使 用料最省.