全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优(5)

北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）1．如图，已知AB AC ⊥，AB AC =，AD AE =，BD CE =，试猜想AD 与AE 的位置关系并说明理由．2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，ME∠AD ．求证:(1)AB=AE ；(2)AM 平分∠DAB ．3．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：∠ABE∠∠CBD ；（2）证明：∠1=∠3．4．如图，∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D 为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说明理由；∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？（2）若点Q 以∠中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过后，点P 与点Q 第一次在∠ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：∠ABC∠∠ADE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.(1)求证：∠ACE=∠CBF；(2)求证：AE=CF；(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.8．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．9．如图，在四边形中ABCD 中，//,12,AB CD DB DC ∠=∠=，且DBC DCB ∠=∠.(1)求证: ABD EDC ∆≅∆;(2)若125,30A BDC ∠=︒∠=︒，求BCE ∠的度数.10．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ∠CE ，BE ∠CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：∠BEC ∠∠CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．11．如图，在四边形ABCD 中，AD∠BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）∠DAE 和∠CFE 全等吗？说明理由；（2）若AB ＝BC+AD ，说明BE∠AF ；（3）在（2）的条件下，若EF ＝6，CE ＝5，∠D ＝90°，你能否求出E 到AB 的距离？如果能请直接写出结果．12．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ． ()1求证：BE AD =；()2求AMB ∠的度数（用含α的式子表示）； ()3如图2，当90α=o 时，点P 、Q 分别为AD 、BE 的中点，分别连接CP 、CQ 、PQ ，判断CPQ V 的形状，并加以证明．13．以点A 为顶点作等腰Rt∠ABC ，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE,延长BD 交CE 于点F.（1）试判断BD、CE的关系，并说明理由；（2）把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.14．如图：在∠ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在∠ABC外作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN 于N．(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？(2)若过点C在∠ABC内作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．15．如图，已知∠ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.(1)求证:AE=CF;(2)求∠BEF的度数.16．如图所示，在∠ABC中，AD∠BC于D，CE∠AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，(1)求证:∠ABD∠∠CFD；(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。

第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习（五）1．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A （n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．2．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD ＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．43．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB＝CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来．（2）求证：G是BD的中点．（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立？如果成立，请予证明．4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．5．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE＝CD，AB＝CE，EF平分∠AED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；（3）若DF＝AE，请判断△AED的形状，并说明理由．6．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20＝8b﹣b2．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E在直线m上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC．（1）求证：DE＝DB+EC；（2）若∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．9．教学实验：画∠AOB的平分线OC．（1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别于OA，OB交于E，F（如图①）．度量PE、PF的长度，PE PF（填＞，＜，＝）；（2）将三角尺绕点P旋转（如图②）：①PE与PF相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；②若OP＝，请直接写出四边形OEPF的面积：．10．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．参考答案1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，则m﹣4＝0，n﹣4＝0，解得：m＝4，n＝4．则A的坐标是（4，4）；（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，又∵四边形的内角和是360°，∴∠A＝90°，∵OF+BE＝AB＝BE+AE，∴AE＝OF，∴在△COF和△CAE中，，∴△COF≌△CAE，得∴CF＝CE；（3）结论正确，值为0．证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，∵在△ACE和△OCH中，，∴△ACE≌△OCH，∴∠1＝∠2，CH＝CE，又∵∠EOF＝45°，∴∠HCF＝45°，∴在△HCF和△ECF中，，∴△HCF≌△ECF，∴HF＝EF，∴OF+AE﹣EF＝0．2．解：（1）∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB＝∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，同理：∠BAC＝∠AEB，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，又∠ADB+ADG＝180°，∴∠BCA＝∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG＝BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD＝∠BAC，∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠EDB+∠ECA＝180°，∴∠AEB+∠DHC＝180°，∵∠DHC+∠BHC＝180°，∴∠AEB＝∠BHC．∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．3．解：（1）图①中全等三角形有：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG．故答案是：3；（2）∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点；（3）结论仍成立．理由是：）∵AE＝CF，∴AF＝CE，在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点．4．（1）证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD；（2）EF⊥AD，理由：∵△ABE≌△ECD，∴AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴EF⊥AD；（3）△AED是等边三角形，∵AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴DF＝AD，∵DF＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△AED是等边三角形．6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴A（0，2），B（4，0）；（2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，∴AD＝BC，在△CAB与△AMD中，，∴△CAB≌△AMD，∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，∴AC＝AM，AC⊥AM；（3）过P作PG⊥y轴于G，在△PGA与△DHN中，，∴△PGA≌△DHN，∴PG＝HN，AG＝HD，∴AD＝GH＝8，在△PQG与△NHQ中，，∴△PQG≌△NHQ，∴QG＝QH＝GH＝4，∴S△MQH＝×4×2＝4．7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA＝∠ABC＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴AD＝BD，∵DE⊥AB，∴AE＝BE，∴CE＝AB＝BE，∴△BCE是等边三角形；（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，∴∠CBM＝∠EBN，在△CBM和△EBN中，，∴△CBM≌△EBN（SAS），∴∠BEN＝∠BCM＝60°，∴∠BEN＝∠EBC，∴EN∥BC；（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，∴△PDF为等边三角形，∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，∴∠F＝∠PDQ＝60°，∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，∴∠Q＝∠PBF，在△PFB和△PDQ中，，∴△PFB≌△PDQ，∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∴DQ＝AD+DP．8．（1）证明：∵∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，∴∠ADB+∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△AEC，∴BD＝AE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝DB+EC．（2）结论：△DEF为等边三角形理由：连接BF，CF．∵AF平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠FAB＝∠FAC＝60°，∵FA＝AB＝AC，∴△ABF和△ACF均为等边三角形∴BF＝AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，∴∠DBA+∠DAB＝∠CAE+∠DAB＝60°，∴∠DBA＝∠CAE．在△BAD和△ACE中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE．∵∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF和△AEF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．9．（1）解：PE＝PF；故答案为：＝；（2）解：①PE＝PF；理由如下：把三角尺绕点P顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直于M、N，如图所示：则∠PME＝∠PNF＝90°，四边形OMPN是矩形∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN，∴四边形OMPN是正方形，∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．②由①得：四边形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，∴OM＝ON＝OP＝1，四边形OEPF的面积＝正方形OMPN的面积＝OM2＝1；故答案为：1．10．解：（1）如图1所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．（2）证明：在AB取一点E使AC＝AE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝EB，∴CD＝EB，∴AB＝AC+CD；（3）AB＝CD﹣AC证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE，∴∠ACB＝∠FED，又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B，又∵∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝BE，∴BE＝CD，∴AB＝CD﹣AC．。

八年级上学期培优辅导2等腰直角三角形与全等三角形1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE 相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=﹣1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：①AD=BD；②CE=BH；③AE=BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是．4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD=CE；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；（3）连接PA，则△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD 平行．（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？①BD平分AN，；②BD⊥AP，（填写“成立”或“不成立”）；（2）证明（1）中你的判断．（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，请直接写出CE的长度．6．已知：如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．（1）如图1，当F在BC边上时，求证：CF=2ME；（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？为什么？（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N 分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．（1）求证：CM+CN=BD；（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．11．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．①试说明∠PCM=∠NCM的理由；②求证：MN2=AM2+BN2；（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．12．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA=PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP=AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN=CP，AM⊥PN，求的值．等腰直角三角形与全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE 相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=﹣1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】想办法证明△ADC≌△BDF即可一一判断；【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD 的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC，∴BF=AC，故①正确，∴FD=CD，∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确；若BF=2EC，根据①得BF=AC，∴AC=2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF=CF，BA=BC，∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+ CD，即△FDC周长等于AB的长，故③正确．∵∠FBD=30°，BF=2，∴DF=1，BD=AD=，∴AF=﹣1，故④正确，故选：D．【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE=FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH 的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB=105°．【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接BH交AD于E，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC=BC，∠DAC=30°，∴AC=CH，∵∠BCH=90°，∠ACB=60°，∴∠ACH=90°﹣60°=30°，∴∠DAC=∠ACH=30°，∵AE=CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE=FH，BF+CE=BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，BF+CE 的值最小，此时∠FBC=45°，∠FCB=60°，∴∠AFB=105°，故选：B．【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．二．填空题（共1小题）3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：①AD=BD；②CE=BH；③AE=BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】依据∠ABD=∠BAD，可得AD=BD，进而得出△ADC≌△BDG，以及△ABE ≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系，即可得到正确结论．【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC ∴∠BAD=45°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，故①正确；∵AD⊥BC，DF⊥AB∴∠DBG+∠C=90°=∠CAD+∠C，∴∠CAD=∠GBD，又∵AD=BD，∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG（ASA），∴AC=BG，CD=GD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵∠BEA=∠BEC=90°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC=BG，故③正确；又∵BH＞BG，∴BH＞CE，故②错误；∵DG+AG=AD，AD=BD，CD=GD，故答案为：①③④．∴CD+AG=BD，故④正确；【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．三．解答题（共9小题）4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD=CE；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；（3）连接PA，则△PAB 面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【分析】（1）首先证明AC=AB，总感觉中点的性质即可证明EC=BD．（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．只要证明△ABD1≌△ACE1，即可推出∠CPD1=90°，推出∠CAD1=45°，推出∠BAD1=135°可得∠D1AF=45°=∠AD1E1，再利用勾股定理即可解决问题；（3）作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，由D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上推出当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB 的距离最大，由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=90°，∠B=45°，∴∠B=∠C=45°，∴AC=AB，∵EC=AC，BD=AB，∴EC=DB．（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．在△ABD1和△ACE1中，∴△ABD1≌△ACE1∴∠ABD1=∠ACE1，CE1=BD1∵∠ABK+∠AKB=90°，∵∠AKB=∠CKP，∴∠ACP+∠CKP=90°∴∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，在Rt△AD1E1中，AD1=AE1=2，∴AF=D1F=D1E1==；∵∠AFD1=90°，∴CE12=BD12=BF2+FD12=20+8．（3）如图作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2 ，∴∠ABP=30°，∴PB=2+2 ，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2 ，故答案为2+2 ．【点评】此题是几何变换综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD 平行．（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？①BD平分AN，成立；②BD⊥AP，成立（填写“成立”或“不成立”）；（2）证明（1）中你的判断．（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，请直接写出CE的长度．【分析】（1）根据题意、结合图形进行猜测；（2）连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；（3）根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）①BD平分AN，成立；②BD⊥AP，成立，故答案为：①成立；②成立；（2）连接AC、PC、CN，∵EP=EC，∴∠ECP=∠EPC，∴∠ECP==90°﹣∠PEC，同理，∠DCA=90°﹣∠ADC，∵PN∥AD，∴∠PEC=∠ADC，∴∠ECP=∠DCA，∴A、P、C三点共线，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵CE=PE=EN，∴∠PCN=90°，∴CN∥BD，又AH=HC，∴AM=MN，即BD平分AN；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴BH=AB×cos30°=，∴HM=BM﹣BH=+1﹣=，∵AH=HC，AM=MN，∴CN=2HM=﹣1，∴PN==，∴CE=PN=．【点评】本题考查的是菱形的性质、锐角三角函数的定义的应用，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角、锐角三角函数的定义是解题的关键．6．已知：如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．（1）如图1，当F在BC边上时，求证：CF=2ME；（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？为什么？（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．【分析】（1）延长EF交AB于D，如图1，则可判断△BED和△BEF为全等的等腰直角三角形，先证明ME为△FAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME；（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，然后证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；（3）先判断出BH⊥ME，再根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF（AAS），进而求出QH=2，即可得出结论、【解答】证明：（1）如图1，延长FE 交AB于G∵△EBF为等腰直角三角形∴∠BEF=∠BEG=90°，∠FBE=∠GBE=45°在△FBE和△GBE中∴△FBE≌△GBE（ASA）∴EF=EG又M为AF的中点∴ME=AG∵BF=BG，AB=CB∴CF=AG∴CF=2ME（2）CF=2ME，理由：如图2，延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；∵△BEF为等腰直角三角形∴△BFG为等腰直角三角形，∴∠CBF=∠ABG，在△BCF和△BAG中，∴△BCF≌△BAG（SAS）∴CF=AG∵M、E分别为AF、FG的中点∴CF=2ME（3）如图3，延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；同（2）的方法得，△BCF≌△BAG（SAS），∴∠BCF=∠BAF，∵∠BAC+∠BCA=90°，∴∠CAG+∠ACF=90°，∴CF⊥AG，∵点M是AF的中点，∴AM=FM，∵EF=EG，∴CF⊥ME，∴∠EQF=90°，∵BH⊥ME，∴∠BHE=∠EQF=90°，∴∠BEH+∠EBH=90°，∵∠BEH+∠FEQ=90°，∴∠EBH=∠FEQ，∵BE=FE，根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF （AAS）∴BH=QE=4，MQ=5﹣4=1∵EH=2∴QH=4﹣2=2∵CF=2ME∴CF=10∴S四边形CFEB=S梯形BHQC+2S△BEH=20．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出EF=EG，解（2）的关键是判断出△BCF≌△BAG，解（3）的关键是判断出△BHE≌△EQF（AAS）．7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，证明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再证明△MEC≌△BEC，得BE=EM，则BE=CD；（2）如图2，根据（1）作辅助线，证明DE∥QC，利用（1）的结论即可．【解答】解：（1）如图1，BE=CD，理由是：∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BEC=∠BAC，∵∠EDB=∠ADC，∴∠ABM=∠ACD，∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，∴△ABM≌△ACD，∴CD=BM，∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，∴△MEC≌△BEC，∴BE=EM，∴BE=BM=CD；（2）如图2，BE=DF，理由是：作∠ACB的平分线，交BE于Q，交AB于M，由（1）得：BQ=MC，∵∠BDE=∠ACB，∠BCM=∠ACB，∴∠BDE=∠BCM，∴CQ∥DE，∴，，∴，∴，∴BE=DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明线段的和、差及倍数关系时，如果这些线段不在同一直线上，可以利用证明三角形全等，将线段转化到同一直线上，再证明其数量关系．8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，利用等腰三角形进行解答即可；（2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）过D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质证得Rt△COD≌Rt△CHD，得出CH=CO，进一步利用性质求得BC=CH+BH=CO+BD即可．【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠CBA=45°，∵AD=AC，∴∠ACD=67.5°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=22.5°；（2）作AH⊥CD于H，如图：∵BE⊥直线CD于E，AC=AD，∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，∴∠BCE=∠CAH，在△CBE与△ACH中，，∴△CBE≌△ACH（AAS），∴CH=BE，即CD=2CH=2BE；（3）如图，过D作DH⊥BC于点H，由（1）可知∠BCD=22.5°，∵O是AB的中点，∴∠BCO=45°，∴∠DCO=∠HCD=22.5°，∴DO=DH，在Rt△COD和Rt△CHD中，，∴Rt△COD≌Rt△CHD，∴CH=CO，∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，∴BH=BD，∴BC=CH+BH=CO+BD．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N 分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．【分析】（1）连接CO，在线段AM上截取AQ=CN，连接OQ，由O为CA、CB的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根据三线合一的性质得到CO与AB 垂直且CO为顶角的平分线，由∠A和∠B求出∠ACB为直角，得到∠OCB也为45°，利用SAS得到三角形AOQ与三角形CON全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代换得到∠QON为直角，又∠MON为45°，所以∠QOM也为45°，得两角相等，然后由OQ=ON，求出的两角相等，OM为公共边，利用SAS得到三角形OQM与三角形MON全等，根据全等三角形的对应边相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代换即可得证；（2）在CA的延长线上截取AQ=CN，同（1）利用两次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代换得证．【解答】解：（1）连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，，∴△AOQ≌△CON（SAS），∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，∴△QOM≌△NOM（SAS），∴QM=NM，则AM=AQ+QM=CN+MN；（2）MN=AM+CN．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM．10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．（1）求证：CM+CN=BD；（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△CMD≌△BDN，则CM=BN；（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，求出∠DCM=∠DBN=135°，然后根据“ASA”可判断△DCM≌△DBN，推出CM=BN即可．【解答】证明：（1）如图1，连接CD，∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，∴∠CDB=90°，∵DM⊥DN，∴∠MDN=90°，∴∠MDC=∠BDN=90°﹣∠CDN，在△CMD和△BND中，，∴△CMD≌△BND（ASA），∴DM=BN，在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=BD，即CM+CN=BN+CN=BC=BD；（2）解：CN﹣CM=BD，理由是：如图2，连接CD，∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，∴∠CDB=90°，∠DCM=∠DBN=135°，∵DM⊥DN，∴∠MDN=90°，∴∠MDC=∠BDN=90°﹣∠CDN，在△CMD和△BND中，，∴△CMD≌△BND（ASA），∴DM=BN，在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=BD，即CN﹣CM=CN﹣BN=BC=BD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出△CMD≌△BND是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．11．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．①试说明∠PCM=∠NCM的理由；②求证：MN2=AM2+BN2；（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，根据SAS 证得△MCP≌△MCN，得出MP=MN，再根据∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，运用勾股定理得出Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，进而得到MN2=AM2+BM2；（2）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，得出∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，根据SAS证得△MCP△MCN，进而得出MP=MN，再根据∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，得到∠PAM=90°，在Rt△APM 中，根据勾股定理得到PM2=AM2+AP2，进而得出MN2=AM2+BM2．．【解答】解：（1）①如图2，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则∠BCN=∠ACP，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，∴∠ACP+∠ACM=45°，∴∠PCM=∠NCM；②证明：由旋转可得△CAP≌△CBN，∴AP=BN，PC=NC，∠CAP=∠B=45°，在△MCP和△MCN中，，∴△MCP≌△MCN（SAS），∴MP=MN，∵∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，∴Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，∴MN2=AM2+BM2；（2）MN2=AM2+BM2，理由：如图，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，∵∠MCN=45°，∴∠PCM=90°﹣45°=45°，∴∠PCM=∠NCP，在△MCP和△MCN中，，∴△MCP△MCN（SAS），∴MP=MN，∵∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，∴∠PAM=90°，∴Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，∴MN2=AM2+BM2．【点评】此题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质的综合应用．解题的关键是运用：旋转前、后的图形全等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．12．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA=PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP=AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN=CP，AM⊥PN ，求的值．【分析】（1）①只要证明PM⊥BC，利用角平分线的性质定理即可解决问题；②作CH⊥AC交AM的延长线于H．只要证明△BAP≌△ACH，△CMP≌△CMH，即可解决问题；（2）如图3中，作PG⊥AC交BC于G，连接GN，AG交于点H．首先证明四边形ANGP是矩形，推出∠HAP=∠HPA，AG=PN，再证明△ABM≌△ACG，可得AM=AG，推出AM=PN即可解决问题；【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴ABC=∠ACB=45°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC=22.5°，∴∠APB=67.5°，∵BE=BE，∠AEB=∠BEM=90°，∴△BEA≌△BEM，∴BA=BM，AE=EM，∴PB垂直平分线段AM，∴PA=PM，∵EP⊥AM，∴∠BPM=∠BPA=67.5°，∴∠CPM=∠C=45°，∴∠PMC=90°，∵PA⊥AB，BP平分∠ABC，∴PA=PM．②如图2中，作CH⊥AC交AM的延长线于H．∵∠APB+∠PAE=90°，∠PAE+∠H=90°，∴∠APB=∠H，∵∠BAP=∠ACH=90°，AB=AC，∴△BAP≌△ACH，∴PA=CH=PC，PB=AH，∵CM=CM，∠PCM=∠MCH=45°，∴△CMP≌△CMH，∴PM=MH，∴PB=AH=AM+MH=AM+PM．（2）解：如图3中，作PG⊥AC交BC于G，连接GN，AG交于点H．∵∠GPC=90°，∠C=45°，∴∠PGC=∠C=45°，∴PG=PC，∵AN=PC，∴AN=PG，∵AN∥PG，∴四边形ANGP是平行四边形，∵∠NAP=90°，∴四边形ANGP是矩形，∴∠HAP=∠HPA，AG=PN，∵∠BAM+∠MAP=90°，∠APH+∠MAP=90°，∴∠BAM=∠HPA=∠CAG，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABM≌△ACG，∴AM=AG，∴AM=PN，∴=1．【点评】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。

或150。

或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。

中考数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及答案一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值． 答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3， ∴BC BD BA BP=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ， ∴3CD BC PA AB== ∴CD 3； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG 3=3，AG = AB ×cos ∠BAG 3 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==， 设GP =x ，则AP 3-x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x =324， ∴BP =924，AP =3-324， ∴CP =AC +AP =23+3-324=33-324， ∴13BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．3．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP 2 ∴2∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．4．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

第三节等腰三角形与直角三角形基础过关1. (沪科八下练习1题改编)一个三角形是直角三角形,其中两条直角边长是2、3,则斜边长是( )A. 4B. 5C. 13D. 52. (内江)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根,则此三角形的周长是( )A. 16B. 12C. 14D. 12或163. (合肥第六次大联考)如图,在△ABC中,AD＝DB＝BC,若∠C＝54°,则∠A的度数为( )A. 27°B. 30°C. 36°D. 45°第3题图4. (福建)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC＝45°,则∠ACE等于( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5. (包头)如图,在△ABC 中,AB＝AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE＝90°,AD＝AE.若∠C ＋∠BAC＝145°,则∠EDC的度数为( )A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°第5题图6. (天水)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A. (1,1)B. (1,3)C. (3,1)D. (3,3)第6题图7. (益阳)已知M、N是线段AB上的两点,AM＝MN＝2,NB＝1,以点A为圆心,AN长为半径画弧；再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC、BC,则△ABC一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. (安徽定心卷)如图,在△ABC中,∠A＝30°,AB＝AC,点D在边AB上,且CD＝CB＝2,则AD的长为( )第8题图A. 4B. 3C. 2D. 29. (甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A＝80°,则它的特征值k＝.10. (绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝度.第10题图11. (株洲)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF＝1,则AB＝.第11题图12. (2020原创)如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,且BE⊥AD于点O,若BD＝10,BO＝8,则AO的长为.第12题图13. (宜宾)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC＝4,BC＝3,则AD＝.第13题图14. (沪科八上P74习题4题改编)如图,已知EA⊥AB,CB⊥AB,EA＝AB＝2BC,D为AB的中点,以下结论：①DE＝AC；②DE⊥AC；③∠CAB＝30°；④∠EAF＝∠ADE.其中正确的是(只填序号).第14题图15. (娄底)如图,△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE＝3 cm,则BF＝cm.第15题图16. 如图,△ABC是等腰三角形,AB＝AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.(1)证明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B＝60°,BD＝4,AD＝2,求EC的长.第16题图能力提升1. (陕西)如图,在△ABC 中,∠B ＝30°,∠C ＝45°,AD 平分∠BAC,交BC 于点D,DE ⊥AB,垂足为E.若DE ＝1,则BC 的长为( )A. 2＋ 2B. 2＋ 3C. 2＋ 3D. 3第1题图2. (2020原创)如图,在边长为8的等边△ABC 中,D,E 分别为AB,BC 的中点,EF ⊥AC 于点F,G 为EF 的中点,连接DG,则DG 的长为( )A. 4B. 2 5C. 833D. 19第2题图3. (湘西州)如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12,AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D,连接BD,若cos ∠BDC ＝57,则BC 的长是( )A. 10B. 8C. 4 3D. 2 6第3题图4. (曲靖)如图,在△ABC 中,AB ＝13,BC ＝12,点D 、E 分别是AB 、BC 的中点,连接DE 、CD,如果DE ＝2.5,那么△ACD 的周长是 .第4题图5. (徐州)函数y ＝x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 在x 轴上,若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 共有 个.满分冲关1. (2020原创)如图,在等边△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,点P是线段DF上的一个动点,连接BP,EP,则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )A. AFB. DPC. ABD. DF第1题图2. 如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝4,BC＝6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,连接AP、PE,则AP＋PE的最小值是( )A. 213B. 4 5C. 3 5D. 2 5第2题图3. (哈尔滨)在△ABC中,∠A＝50°,∠B＝30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为度.参考答案第三节等腰三角形与直角三角形基础过关1. C2. A 【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3,5.但长度为3,3,6的三条线段不能构成三角形,故该三角形的三边为5,5,6,即周长为16.3. A 【解析】∵DB＝BC,∠C＝54°,∴∠BDC＝∠C＝54°,∵AD＝DB,∴∠A＝∠DBA,∴∠A＝12∠BDC＝27°.4. A 【解析】∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,∴BD＝DC,∠ACB＝60°,∴AD垂直平分线段BC,∴BE ＝CE,∴∠EBC＝∠ECB＝45°,∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝60°－45°＝15°,故选A.5. D 【解析】∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°,∴∠B＝180°－(∠C＋∠BAC)＝35°,∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°,∴∠ADC＝90°－∠C＝55°.∵AD＝AE,∴∠ADE＝45°,∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°.6. B 【解析】如解图,过点B作BD⊥OA于点D,∵△OAB为等边三角形,边长为2,∴∠BOA＝60°,OA＝OB＝2,∴OD＝1,BD＝OB·sin60°＝2×32＝3,∴点B的坐标为(1,3)．第6题解图7. B 【解析】如解图,∵AM＝MN＝2,NB＝1,∴AB＝AM＋MN＋NB＝2＋2＋1＝5. 由作法知,AC＝AN＝4,BC ＝BM＝3.∵BC2＋AC2＝AB2,∴△ABC一定是直角三角形．第7题解图8. C 【解析】∵∠A＝30°,AB＝AC,∴∠B＝75°.又∵CD＝CB,∴∠CDB＝∠B＝75°,∴∠DCA＝∠CDB －∠A＝75°－30°＝45°,如解图,过点D作DE⊥AC于点E,则CE＝DE,设CE＝DE＝x,则AD＝2x,CD＝ 2 x,∵CD＝2,∴x＝1,∴AD＝2.第8题解图9. 85或14 【解析】当∠A 为顶角时,则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A)＝50°,此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时,则顶角(∠B 或∠C)＝180°－2∠A ＝20°,此时的特征值k ＝20°80°＝14.∴特征值k 为85或14. 10. 36 【解析】由等腰三角形的性质等边对等角可得∠C ＝∠ABC ＝∠CDB ＝2∠A,设∠A ＝x,则∠C ＝∠ABC ＝2x,∴x ＋2x ＋2x ＝180°,可得∠A ＝x ＝36°.11. 4 【解析】在Rt △ABC 中,∵∠ACB ＝90°,CM 是斜边AB 上的中线,∴AB ＝2MC.∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点,∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1,∴MC ＝2EF ＝2,∴AB ＝2MC ＝4.12. 12 【解析】∵BE ⊥AD,BD ＝10,BO ＝8,∴OD ＝102－82＝6,∵AC 、BC 上的中线交于点O,∴AO ＝2OD ＝12.13. 165 【解析】根据勾股定理可知,AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5.S △ABC ＝12·3·4＝6.∵S △ABC ＝12×AB×CD ＝52CD ＝6,∴CD ＝125.在Rt △ACD 中,AD ＝AC 2－CD 2＝42－（125）2＝165.14. ①②④ 【解析】∵D 为AB 的中点,∴AD ＝BD.∵AB ＝2BC,∴AD ＝BC.又∵∠EAD ＝∠ABC ＝90°,AE ＝AB,∴△EAD ≌△ABC(SAS)．∴∠E ＝∠CAB,DE ＝AC,①正确；∵EA ⊥AB,∴∠E ＋∠EDA ＝90°,即∠CAB ＋∠EDA ＝90°,∴∠AFD ＝90°,∴DE ⊥AC,②正确；∵AC ≠2BC,∴∠CAB ≠30°,③错误；∵DE ⊥AC,∴∠E ＋∠EAF ＝90°,∠FAD ＋∠ADE ＝90°.又∵∠E ＝∠FAD,∴∠EAF ＝∠ADE,④正确；∴正确的是①②④.15. 6 【解析】∵AB ＝AC,AD ⊥BC,∴BD ＝DC,∴S △ABC ＝2S △ABD ,即12AC·BF＝2×12AB·DE ,∴BF ＝2DE ＝2×3＝6 cm.16. (1)证明：∵AB ＝AC, ∴∠B ＝∠C. ∵FE ⊥BC,∴∠F ＋∠C ＝90°,∠BDE ＋∠B ＝90°. ∴∠F ＝∠BDE. 又∵∠BDE ＝∠FDA, ∴∠F ＝∠FDA. ∴AF ＝AD.∴△ADF 是等腰三角形； (2)解：∵DE ⊥BC, ∴∠DEB ＝90°. ∵∠B ＝60°,BD ＝4,∴BE ＝12BD ＝2.∵AB ＝AC,∴△ABC 是等边三角形． ∴BC ＝AB ＝AD ＋BD ＝6. ∴EC ＝BC －BE ＝6－2＝4. 能力提升1. A 【解析】如解图,过点D 作DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC,且DE ⊥AB,∴DE ＝DF ＝1.在Rt △BDE 中,∠B ＝30°,∴BD ＝2DE ＝2.在Rt △CDF 中,∠C ＝45°,∴CD ＝2DF ＝2,∴BC ＝BD ＋CD ＝2＋ 2.第1题解图2. D 【解析】∵△ABC 是边长为8的等边三角形,D 、E 分别为AB 、BC 的中点,∴DE ∥AC,DE ＝12AC ＝4,∵EF ⊥AC,∴∠DEF ＝∠EFC ＝90°.∵∠C ＝60°,CE ＝12BC ＝4,∴EF ＝2 3.∵G 为EF 的中点,∴EG ＝12EF ＝3.在Rt △DEG 中,DG ＝DE 2＋EG 2＝42＋（3）2＝19.3. D 【解析】∵cos ∠BDC ＝57,∴设DC ＝5x,BD ＝7x.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AD ＝DB ＝7x.又∵AC ＝12,∴5x ＋7x ＝12,解得x ＝1.在Rt △BDC 中,CD ＝5,DB ＝7,BC ＝BD 2－CD 2＝72－52＝2 6.4. 18 【解析】∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点,∴DE ＝12AC.∵DE ＝2.5,∴AC ＝5.∵AB ＝13,BC ＝12,∴AC 2＋BC 2＝169,AB 2＝169,∴AB 2＝AC 2＋BC 2,∴△ABC 是直角三角形,∵点D 是AB 的中点,∴CD ＝AD ＝12AB ＝6.5,∴△ACD 的周长为5＋6.5＋6.5＝18.5. 4 【解析】由等腰三角形分类讨论有三种情况,如解图,AB ＝AC 1,AB ＝AC 4；AB ＝BC 3；AC 2＝BC 2.则满足条件的点C 有4个．第5题解图满分冲关1. C 【解析】如解图,连接AE 交DF 于点H,∵在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点,∴AE ⊥BC,DF ∥BC.∴AE ⊥DF,AH ＝EH.∴点A 、E 关于DF 对称,即当点P 和点D 重合时,此时BP ＋EP 最小．∵AP ＝EP,BP ＝BD,∴BP ＋EP 的最小值为BD ＋AD ＝AB.第1题解图2. D 【解析】如解图,在CB 上截取CM ＝CA,连接DM,PM.∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD ＝∠MCD.在△CDA 和△CDM 中,⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CM ，∠ACD ＝∠MCD ，CD ＝CD ，∴△CDA ≌△CDM(SAS)．∴AD ＝MD,∴点A,M 关于线段CD 对称,连接ME 交CD于点P,此时AP ＋PE 有最小值为ME,在Rt △MCE 中,ME ＝EC 2＋CM 2＝22＋42＝2 5.∴AP ＋PE 的最小值为2 5.第2题解图3. 10或60 【解析】分两种情况：①如解图①,当∠ADC ＝90°时, ∵∠B ＝30°, ∴∠BCD ＝90°－30°＝60°；②如解图②,当∠ACD ＝90°时,∵∠A ＝50°,∠B ＝30°, ∴∠ACB ＝180°－30°－50°＝100°,∴∠BCD ＝100°－90°＝10°,综上所述,∠BCD 的度数为10°或60°.图①图② 第3题解图。

全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。

全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。

本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。

一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。

1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。

3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。

利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。

二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。

利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。

如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。

2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。

通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。

例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。

然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。

3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。

通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。

全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优（2）1．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30，则∠DCE= ．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．2.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.3.如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．第15题图备用图1备用图24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．5．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．(1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E点在何处时，△BEF面积的最小值．6．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．7.（1）如图11-157所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N是∠DCP 的平分线上一点．若 ∠AMN ＝90°，求证AM ＝MN ．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME ．在正方形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90° ∴∠NMC ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠MAB ． 下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图11-158所 示），N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM ＝MN 是否还成立?请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD … X ”，请你作出猜想：当∠AMN＝ 时，结论AM ＝MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）8.在图1至图3中，△ABC 是等边三角形，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC.观察思考：当点E 为AB 的中点时，如图1，线段AE 与DB 的大小关系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“=”）； 拓展延伸：当点E 不是AB 的中点时，如图2，猜想线段AE 与DB 的大小关系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由（提示：在图2中，过点E 作EF ∥BC 角AC 于点F ，得到图3）。

全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优（7） 1.任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，31⎡⎤=⎣⎦，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①、对81只需进行 次操作后变为1；②、只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ；2．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x.(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.3.问题背景:在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.⑴请你将△ABC 的面积直接填写在横线上______；思维拓展:⑵我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC 三边的长分别为5a 、22a 、17a (a ＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积；探索创新:⑶若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、222m n +（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ），试运用构图法．．．求出这三角形的面积.E D CB A 21⎡⎤=⎣⎦728⎡⎤=⎣⎦82⎡⎤=⎣⎦AC4.一道结论性探索题的类比延伸：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。

下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，45EAF∠=︒，连接EF，则EF BE DF=+，试说明理由。

全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优（3）1.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是三角形外一点，且∠ABP+∠ACP=180º，求证：PB+PC=PA2.在等边三角形ABC 中的AC 延长线上取一点E,以CE 为边做等边三角形CDE ，使它与三角形ABC 位于直线AE 的同一侧，点M 为线段AD 的中点，点N 为线段BE 的中点，求证：三角形CNM 为等边三角形。

3.小聪同学为了探究“直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系”，他先画出了如图（1）和图（2）所示的两个特殊的直角三角形，其中∠BAC 均为直角，AD 均为斜边BC 上的中线，图（1）中∠B ＝30°，图（2）中∠B ＝45°。

（1）请猜想AD 与BC 之间的数量关系，并在图（1）和图（2）中选择一个加以证明。

（2）如图（3），在任意的Rt △ABC 中，AD 、BC 之间的数量关系是否仍成立？请证明。

PBCANMEBDC A AB DCDBCAAC图（1） 图（2） 图（3）4.正方形ABCD ，E 为BC 上一点，∠AEF 为直角，CF 平分∠DCG 。

(1)如图（1），当点E 在线段BC 上时，求证：AE=EF(2)如图（2），当点E 在BC 的延长线上时，试判断AE=EF 是否依然成立，并说明理由。

5. 如图，ΔABC ，ΔCDE 是边等三角形，C 为线段AE 上一不动点 ①CN ∥AB ②AD=BE ③∠AOE=120度 ④CM=CN ⑤OC 平分∠AOE ⑥OB+OC=OA⑦DM=CN 其中正确的有…………DCBAFE G 图(1)D C BAFE G图(2)OAMNDECB6．已知在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC 、CB(或它们的延长线)于点E 、F ．当∠EDF 绕点D 旋转到DE ⊥AC 于点E 时(如图(1))，易证S △DEF ＋S △CEF ＝S △ABC ． 当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予说明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需说明．7.（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片（如图①）；12再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）。