【数学】安徽省合肥市一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期末联考试题(解析版)
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安徽省合肥市一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．578【答案】D【解析】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578则第6个编号为578本题正确选项：D2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离为，45ACB∠=o，105CAB∠=o后，就可以计算A、B两点的距离为（）A．100m B．C．D．200m【答案】A【解析】在ABC ∆中，AC =，45ACB ∠=o ，105CAB ∠=o ，即30ABC ∠=o ， 由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，sin 45sin 30AB ∴=o o，解得100AB = ，故选：A. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选：C.4．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B【解析】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户． 故选：B.5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >【答案】A【解析】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<Q ，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<Q ，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<Q ，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<Q ，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<Q ，∴函数xy a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选：A.6．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．716【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为=，对应每个小等腰三角形的面积112224S =⨯=， 则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ． 7．若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】0x Q >，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选：C ．9．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为12π44π2l =⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到2π4πr =，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为2π42π212πS =⋅⋅+⋅=．故选：B ．10．已知向量a r 、b r 的夹角为60o，2a =r ，1b =r ，则a b -=r r （ ）ABC．D【答案】B【解析】向量a r 、b r 的夹角为60o，2a =r ，1b =r ，则a b -====r r B ．11．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()y f x =的周期为4，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()010f m =-=，得1m =. 所以，当01x ≤≤时，()21xf x =-.()()()()()120194505111211f f f f ∴=⨯-=-=-=--=-，故选：A.13．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．Q 关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤-⎥⎝⎦．故选：C ． 14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．5π4B ．34π C ．π2D ．π3【答案】C【解析】函数()222cos 12cos π22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 4π6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 6π41y g x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262πππx k k -=+∈Z ，解得()π2π6k x k =+∈Z ； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且2π2π4T ==．故选：C ． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*n ∈N ，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N 都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B二、填空题16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【答案】2【解析】1cos 3A =Q，sin 3A ∴==，23b c =Q ，且ABC ∆， 1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos22232a b c bc A=+-=+-=，a∴=.故答案为：2．18．若62sin3c5osαβ-=-，12cos3s5inαβ-=-，则()sinαβ+=___________.【答案】2425【解析】若62sin3c5osαβ-=-，12cos3s5inαβ-=-，将上述两等式平方得22364sin9cos12sin cos25αβαβ+-=，①2214cos9sin12cos sin25αβαβ+-=，②，①＋②可得()374912sin25αβ+-+=，求得()24sin25αβ+=，故答案为：2425．19．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若11a=，35S a=，2019ma=，则m=________【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列{}n a公差为d，则()32133S a a d==+，又由11a=，35S a=，则()3114d d+=+，2d=，则()11212019ma a m d m=+-=-=，解可得1010m=；故答案为：1010．20．在ABC∆中，150ABC∠=o，D是线段AC上的点，30DBC∠=o，若ABC∆的面BD取到最大值时，AC=___________.【答案】【解析】由题意可得11sin15024ABCS ac ac∆===oac=，设BD x=，则144ABC BCD ABDS S S ax∆∆∆=+=+=x=，由基本不等式可得1x=≤===，当且仅当a=时，x取得最大值1，a∴=2c=，由余弦定理得(2222222cos222282AC b a c ac ABC⎛⎫==+-∠=+-⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭，解得AC=三、解答题21．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．解：（1）根据比例关系式求出h关于x的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y，得到关系式224y x xh=+，根据二次函数的性质求出y的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x=<<；（2）设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x=+=+=-+=--+，因为0x<<x=max48y=，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.22．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 解：（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，故()()22f x sin x ϕ=+.将点π,23⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2π13sin ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()π2π6k k ϕ=-∈Z ， πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()π226f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ππ2π2363x -≤-≤ ，则π216sin x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，π2226sin x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦.23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 解：（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 24．已知函数()()2221x xm f x m R --=∈+. （1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性.解：（1）当3m =时，()1221xx f x -=+，函数()y f x =为R 上的奇函数.证明如下：()1221xx f x -=+，其定义域为R ，则()()()()12212212121212x xx x xx x x f x f x -----⋅---====-+++⋅，故函数()y f x =为奇函数； （2）当1m >时，函数()y f x =在R 上单调递减.证明如下：()22112121x xx m m f x ---==-++，任取12x x <， 则()()()()()()2212111212*********111121112222x x x x x x x x m m m m m f x f x ------⎛⎫⎛⎫-=---=-=- ⎪ ⎪++⎭+⎝+⎝⎭++，又由12x x <，则12220x x -<，则有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 因此，函数()y f x =为R 上的减函数．25．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．解：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====⨯⨯10.040.10.120.560.01810y ----==因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-⨯=人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910（II ）由茎叶图知，A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505⨯=人，记A等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，则事件A 的可能结果为1213,,D D D D 14152324,,,,D D D D D D D D 25343545,,,D D D D D D D D 共10种因此()()109112814P A P A =-=-= 26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，14BD =，求c 边的长. 解：（1）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=， 由πA B C ++=可得()()sin sin πsin B C A A +=-=，所以()sin 2cos 10A B +=， 因为0πA <<，sin 0A >，所以1cos 2B =-，0πB <<Q ，π23B ∴=； （2）由于23B π=，由余弦定理得2222222cos 39b a c ac B a c c c c a =+==++++-， 又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积11sin 22ABC S ac B b BD ∆==⋅，把3a =，π23B =，14BD =75b c =，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =． 27．设数列{n a }满足12a =，12n n n a a +-=；数列{b n }的前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝n n a b ，求数列{n c }的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）由已知，当n 2≥时，()()()()1112211222n n n n n n n a a a a a a a a ----⎡⎤=-+-+⋯+-+=++⋯+⎣⎦+2=2n ， 又因为12a =，所以数列{n a }的通项公式为2nn a =．因为()2132n S n n =-，所以()(211[31)1n 22n S n n -⎤=---≥⎦（）， 两式作差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，因此所求通项公式为32n b n =-.（Ⅱ）由2,32nn n a b n ==-，可得c n =(3n −2)×2n ，∴()123124272322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅()()23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()()23123222322nn n T n +-=+⋅++⋅⋅⋅+--⋅=()11422332212n n n ++-+⋅--⋅-，整理得()110352n n T n +=+-⋅.28．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+.（1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置；（2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）； （3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X XZ s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）． 解:(1)0γγ<， 说明理由可以是：①离群点A ,B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由. （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+ 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分.（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82， 数学标准分为16161122110.511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈ 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈ 0.720.63>，故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些.。
