专题讲座6-角动量理论

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角动量专题知识

Lˆz i
x
y
y
x
4
3.轨道角动量分量旳算符间旳对易关系
[Lˆx , Lˆ y ] Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx
为求上述对易子，先将算符 Lˆ y 作用于某个任意函数
f(x,y,z)，得：
Lˆ y f i
z
f x
x
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
20
➢对于原子核电荷数Z≥40旳重原子，因为其每个电子旳轨道和自旋旳相互作用比各电子间旳相互作用都要大，
故采用j－j耦合将会得到很好旳成果。
➢对于Z≤40旳轻原子，各电子间旳相互作用要远不小于
每个电子本身旳轨道和自旋相互作用，于是L－S耦合将
是更加好、更以便旳近似措施。
21
多电子原子旳总角动量
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
2 f 2 f (这对于品优波
其中用了下列关系式：
zx xz
函数总是成立旳)
6
一样，我们能够求得：
[Lˆ y , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆ y
Lˆ2 , Lˆ x Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2x , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x Lˆ y , Lˆ x Lˆ y Lˆz Lˆz , Lˆx Lˆz , Lˆx Lˆz i Lˆ y Lˆz i Lˆz Lˆ y i Lˆz Lˆ y i Lˆ y Lˆz 0

质点角动量和角动量定理质点系角动量定理.ppt

mv0 (m M )v1
①
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m

M)v21

1 2
(m

M)
v
2 2

1 2
k(l

l0 )2
②
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块
对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M)v1 l(m M)v2 sin
dt
此称质点的角动量定理

r r Z
1
M
F1
1m1
F12M
d M10 F21
Y
2X
2 M 20 m2
M1
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
如图设有质点m1。m2
F2
分别受外力 F1
外力矩 M1.M2
F2
M内2内力力dd矩t F(L1M121F0.LM221)20 4
例3：用角动量守恒定律导出开普勒第二定律
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
矢定径义：质r 点与对其选动L量取的m参rv之考矢点m量的v 积角。动用量等L 于表其示。
L
o
r
mv

L
m
L
mv
r
注意：1)为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。
L
o
r
mv

m L
r

mv
注意：1)为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。
第一节
问题：一均匀圆盘绕过质心的轴转动，怎样描述其上某一质点的运动？

第六章、角动量定理

rc

ac

0
i
i

其中 rc 为质心系中质心位矢，它必为零。故
M 0

dL dt
质心系角动量微分形式
即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相
对质心的外力矩总和。
t
0 M0dt L L0
质心系角动量积分形式
注意：①质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具
O
r
L0
mv
在直角坐标系中
i jk
Lx , Ly , Lz

x
y
z
px py pz
O
R
图6.2、圆锥摆的角动量
其中： p mv
3
二、力矩
作用力F，其作用点的位矢为r，它对O点的力矩被定义为
M rF
方向：由右手定则确定；
大小: M=rFsinθ。
在直角坐标系中，其分量表示
i jk
M x , M y , M z x y z
Fx F y Fz
图6.3、力矩
4
例6.1：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力
mg和合须明确指出是对那点或那个轴的力矩；
o'
L
力矩
αT
o'点
拉力T 0
重力mg
合力F
mgLsinα× FLcosα×
正方向量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重
h
m' m vv
m
物与盘静止，让胶泥从h高处自由落下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
图v6o .8、题6.5图
解：把盘、重物、胶泥视为质点系，在胶
泥与盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘与重物所受的重力对o轴

角动量理论

角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。

通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。

在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。

角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。

在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。

课本第五章讲到轨道角动量。

轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。

而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。

对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。

在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。

角动量定理.pdf

A M r o
x2
m
解：在地面参考系中，在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设滑轮半径为 r 有： B
l = AA′ + AB + BB′ = x1 + x2 + πr
B′
s
s = x1 − x 2
mAA′ m = ⋅ x1 , l
mAB
m = ⋅ πr l
m = ⋅ x2 , l
A′
x1
x
mBB′
µ
m2
ro m
m1
m2 和滑轮为研究对解：在地面参考系中，在地面参考系中，选取 m1 、象，分别运用牛顿定律分别运用牛顿定律和牛顿定律和刚体定轴转动定律得刚体定轴转动定律得：
T1
N
aT2T2o向里+Ny
m1
a
m1 g
µm2 g
m2
m2 g
Nx
T1
列方程如下：列方程如下：
m 1 g − T1 = m 1 a T2 − µ m 2 g = m 2 a 1 2 T1 r − T 2 r = m r β 2 a = rβ
用隔离法列方程: (以逆时针方向为正) A M r o
CA x2 x1
m
T1
T2 CB . m Bg T1
B
CB
. CA
m Ag
Jr T2
B′
s
A′
m A g − T1 = m A a
x
T2 − mB g = mB a
T1r − T2 r = Jβ 2 2 J = J M + J AB = 1 Mr + m r AB 2
T1
r a1
以向下为正方向

高中物理竞赛讲义-角动量

高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

角动量

m
v2 1 星球所需向心力:F向 = m ∝ 3 r r 上式表明, 的减小的减小, 的增加是很快的. 上式表明,随r的减小,F向的增加是很快的.开始时
F引 > F向 → r ↓
到一定程度, r ↓到一定程度,使得 F引 = F向
此时r就稳定不变了,引力不能再使减小此时就稳定不变了,引力不能再使r减小 . 就稳定不变了但在z轴方向却无这个限制轴方向却无这个限制, 但在轴方向却无这个限制,所以可以在引力的作用下向收缩, 沿z向收缩,使星云形成了铁饼状.这是从角动量守恒向收缩使星云形成了铁饼状. 的角度对星云具有盘形结构的一种粗略的解释. 的角度对星云具有盘形结构的一种粗略的解释.
dr
dt 1 dr r sin α dS 掠面速度 dS = L 2 = 2m = 2m dt 2m dt dt
rsinα
解释: 解释:星球具有原始角动量 r0 m v 0 z
z v0 r0 r v
. M z = 0 → Lz = const
voro 1 ∝ → r0 m v 0 = rm v ∴v = r r
L= r × m v =恒矢量
当质点所受的对参考点的当质点所受的对参考点的合对参考点外力矩为零时质点对该参为零时, 外力矩为零时,质点对该参考点的角动量为一恒矢量. 的角动量为一恒矢量考点的角动量为一恒矢量. 恒矢量:大小, 恒矢量:大小,方向都不变角动量守恒定律的条件 M = r × F = 0
用图示加深理解计算过程
z
o′
F
Fz
Fxy
r
F
rxy
r
x
o
y
rxy r z
然后将位矢和力然后将位矢和力平面和z方向xy平面和方平面和向两个分向分解最后得出结果

6.角动量

H.Yin上节内容=−∂l F l保守H.Yin§2-6 碰撞两物体在相互接近时，短时间内强烈的相非完全弹性碰撞0<e<1，碰撞后物体有变形,系统部分机械能转变为内能H.Yin完全弹性碰撞mv m v mv m v +=+11022011222110201v v v v −=−§2-6 碰撞H.Yin021=⋅∴v v 非对心碰撞两球速度总互相垂直例：平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度v 。

求证：碰撞后两球速度总互相垂直。

{对心碰撞21vv ⊥H.Yin§2.7 质点的角动量与角动量守恒定律一. 质点的角动量)(B A dtd∵×B dt A d dt B d A ×+×=H.YindLMF给定点的力矩为零，则质点对点的角动量在运动过程中保持不变。

)(F r ×o o §2.7 质点的角动量与角动量守恒定律H.Yin角动量守恒定律：开普勒第二定律：行星对恒星的矢径的掠面速度不变。

§2.7 质点的角动量与角动量守恒定律H.Yin例题2-21动，地球的中心O 为该椭圆的一个焦点．已知地球的平均半径1122v v R l =+212v =2 6.30km/sl 1H.Yin当质子以初速v 通过质量较大的原子核时，原子核射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示．试求质.(1)是质子在无限远处的初速；v 是质子在离原子核最近处的速度；b 是初速度的方向线与原子核间的垂直距离。

例题2-22H.Yin当在无限远处，质子的动能为1sH.Yin s r kk b mv mv =++⎜⎟⎝⎠00224由于质子在飞行过程中没有能量损失，因此总能量H.Yin。

高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)

F
M r F
M
o m
F r
M
15 – 8
注意
多普勒效应 1）大小 M rF sin
2）方向： r F 的方向
第十五章机械波
M r F
3）单位：米.牛顿下列情况, M 0 4）当 F 0 时， A） r 0 B）力的方向沿矢径的方向（sin 0 ）
t时间内扫过的面积
所以
A / t 恒量（证毕）
第十五章机械波 15 例 – 28 计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角多普勒效应
O
r2
对质点（1）： dL1 M 1 M 10 dt 两式相加：
M1 M 2
1
dt 对质点（2 ）：内力矩 dL
( L1 L2 )
4
2 M M 2 2 20 M 10 Mdt 0 20
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
F
有心力的力矩为零 C) 力的方向与转轴平行
F
15 – 8 多普勒效应三、角动量定理
1、角动量定理的微分形式对一个质点：
L M
O
第十五章 Z 机械波
L r P
1
X
（1）式对t求导：
r
Y
dL d r P dt dt dr dP Pr dt dt
mg
mv
r F M
t2
Mdt dL L
t1 L1
L2
2
L1
6
15角动量定理（积分形式） – 8 多普勒效应
t2
第十五章机械波
作用在质点系的

大学物理角动量ppt

由于各三角形具有公共高线 OH ，
因此掠面速度相等:
dS
1 vt OH 2
1 vr sin
1 r 2
常量
dt
t
2
2
式中
v sin
r
பைடு நூலகம்
ω 相当于质点绕O点转动的角速度。
由上式可得： mvr sin 常量
写成矢量式： r p r mv 常量
②再来看有心力场的简单情形。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动
由： M dL dt
则有：
若 M 0 L 常矢量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。
—角动量守恒定律
例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
例题：质量为m的圆锥摆摆球，以速率υ运动时，对O参考点的角动量是否守恒？对C参考点的角动量是否守恒？
l c
星系的形状可能与此有关。
星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。
银河系
银河系（模拟）
5.2 刚体的定轴转动
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。
刚体（rigid body）是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
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专题讲座6-角动量与自旋在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系L L i L ⨯= 即及2[, ]=0.L L 即222[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有2222,x y z L L L L =++下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2L 和（比如说）z L 的共同本征态：2L f f λ= 和 .z L f f μ=引入算苻我们有()11, ()22x y L L L L L L i+-+-=+=-††, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)L ±与z L 的对易关系为[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±所以[, ].z L L L ±±=±当然，也有2[, ]0.L L ±=定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是：证: 22()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===所以L f±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。

()()() =()(),z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。

我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个。

对于一个给定的λ值，我们可以得到一个态的“梯子”，每一个“阶梯”与相邻梯级间隔为z L 的本征值相差一个，升高要用升阶算符，降低要用降阶算符。

但是这个过程不能永远持续下去：因为这样会达到一个z 分量超过总量的态，而这是不可能的。

一定存在一个最高的阶梯t f ，使得：0.t L f +=设l 是z L 在这个最高阶梯的本征值（用字母“l ”的适当性马上明白）：2; .z t t t t L f lf L f f λ==因为2222()()() =(),x y x y x y x y y x zz L L L iL L iL L L i L L L L L L i i L ±=±=+--或者写作另一种形式， 22.z z L L L L L ±=+因此有222222()(0)(1),t z z t t t L f L L L L f l l f l l f -+=++=++=+ 所以2(1).l l λ=+ 这告诉我们以z L 的最大量子数l 表示的2L 的本征值。

同时也存在一个最低的阶梯，b f ，使得0.b L f -=设在b f 态，z L 的本征值为l ⎽：2; .z b b b b L f l f L f f λ⎽== 我们有___222222()(0)(1),b zz b t tb L f L L L L f l l f l l f ⎽+-=+-=+-=- 所以__2(1).l l λ=- 这样一来, 我们必须有__(1)(1)l l l l +=-，这样要么_(1)l l =+（这是荒谬的，因为这样一来最低阶梯将比最高阶梯还高！）所以只有_.l l =- z L 的本征值显然应是m 的形式，其中m 每次增加1增加N 次后从l -增加到l ，即l l N =-+，因此/2l N =，由此l 必是一个整数或半整数。

2L 和z L 的共同本征函数由数l 和m 表征：其中0, 1/2, 1, 3/2, ... ; , 1, ... , 1, .l m l l l l ==--+- 对一个给定的l ，m 有21l +个不同的值。

希望你们对从角动量的对易关系出发由纯粹代数的方法决定2L 和z L 本征值的方法有深刻印象−即便我们根本不知道本征函数的具体形式！实际上,我们已经知道mmllf Y =−2L 和z L 的本征函数不是别的正是球谐函数例题1 升阶和降阶算符使m 的值改变1：1()m m m m l l l l L f L f A f ±±±==其中m lA 为常数。

问题：如果本征函数是归一化，m lA 是什么？解: 由于†L L ±= 所以[]22†22222()(1)(1)(1)m m m mm m ll l ll lmmlz z lAL ffL L f fL L f f L L L f l l m m l l m m ±±±±===⎡⎤=-=+-⎣⎦=+-±所以ml A =注意对最高的阶梯和最低的阶梯会出现什么(即，对llf 应用L +，对llf -应用L -)。

自旋微观粒子除了的轨道角动量（L ）外,还有自旋角动量（S ）。

自旋的代数理论与轨道角动量的及其相似，由基本对易关系： [,],[,],[,]. xyzyzxzxyS S i S S S i S S S i S === (同以前一样)可以得出2S 和z S 的本征矢满足22,(1),;,,; z S s m s s s m S s m m s m =+= 及,,1,S s m m ±=± 其中xyS S iS ±≡±。

但是现在本征矢不再是球谐函数（它们根本不是θ和φ的函数），我们也没有一个既定的理由把s 和m 的半整数值排除在外：130,,1,,...;,1,...,1,.22s m s s s s ==--+-十分巧合的是每一种基本粒子都有一个特定的永远不变的s ，我们称它为该种粒子的自旋。

π介子的自旋为零；电子的自旋是1/2；光子的自旋为1；∆粒子的为3/2；引力子的为2；等等。

对比而言，轨道角动量量子数l （比如，氢原子中的电子）可以取任何（正整）数，而且当体系受到扰动时会从一个值变为另一个值。

但是，对于任何粒子，它的自旋s 是不变的，这使的自旋的理论相对简单一些。

的一点运动速度有多快？这个模型有意义么？（实际上，实验判定电子的半径要比c r 小的多，不过这将使这个模型更糟糕。

）自旋1/21/2s =是最重要的情况，因为它是构成普通物质的粒子(质子、中子和电子)的自旋，以及所有夸克和所有轻子的自旋。

另外，一旦你掌握了自旋1/2，理解高自旋就非常容易了。

对1/2s =，2S 和z S 仅有两个本征态：11,22，它被称为上自旋态（经常用↑），和11,22-，它被称为下自旋态（↓）。

利用这两个基矢量，一个自旋1/2粒子的一般态可以表示成一个两元列矩阵(或旋量)： ,a a b b χχχ+-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭其中10χ+⎛⎫= ⎪⎝⎭代表上自旋, 而01χ-⎛⎫= ⎪⎝⎭代表下自旋。

另外，自旋算符成为22⨯的矩阵，具体表示可由它们对χ+和χ-的作用结果写出。

由4.135式222233,.44S S χχχχ++--==如果我们把2S 写为矩阵元待定的矩阵, 2,S c d e f ⎛⎫=⎪⎝⎭则4.142式的第一个方程给出 2113,004c d ef ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或者23,40c e ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2(3/4)c = ,0e =。

第二个方程给出2003,114cd e f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或者20,34d f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以0d=，2(3/4)f = 。

结论：22103.014S ⎛⎫=⎪⎝⎭类似有， 11,.22S S z z χχχχ++--==-由此得出10.012S z ⎛⎫=⎪-⎝⎭另外，,,0,S S S S χχχχχχ+-+-+-++--====所以100,.0010S S +-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为x y SS iS ±=±，所以(1/2)(),(1/2)() x y S S S S i S S +-+-=+=-，因此得10,.10022S S x y i i -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于,yS S x和z S 都有一个因子/2 ，S 可以更简洁地写为(/2)S = σ，其中这就是著名的泡利（Paili ）自旋矩阵。

注意S x 、yS 、z S 和2S 都是厄密矩阵（它们也应当是，因为它们都表示可观测量）。

另一方面，S +和S -不是厄密的−它们显然不是可观测量量。

S z的本征旋量是（当然应该是）10,,.0122 χχ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭－本征值为本征值为；－[4.149]如果对一个粒子的一般态a b χχχ+-=+(221ab+=)测量其z S ，得到/2+ 的几率为2a ，得到/2- 的几率为2b 。

但是，如果测量x S ，可能值是什么？几率是多少？按照广义的统计诠释，我们需要知道S x 的本征值和本征旋量。

久期方程是22/20./222 =λλλλ-⎛⎫=⇒=⇒± ⎪-⎝⎭无需惊讶，x S 的可能值同z S 的是一样的。

用通常的方法可以获得本征旋量：01,1022 ααβαββαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=±⇒=± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以βα=±。

显然，x S (归一化的)本征旋量是()()1/1/,,.1/1/ x x χχ+⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝ －本征值为本征值为－＋；22－作为厄密矩阵的本征矢量，它们张成空间；一般的旋量χ（4.139式）可以表示成它们的线性迭加：()().x x χχχ+-⎛⎛=+⎝⎝如果测量x S ，得到/2+ 的几率是2(1/2)a b +，得到/2- 的几率是2(1/2)a b-。

例题 2 假设一个自旋1/2的粒子处在态1.2i χ+⎛⎫=⎪⎭如果测量z S 和x S ，得到/2+ 和/2- 的几率各是多少？解：这里(1)a i =+，2b =，所以对z S ，得到/2+的几率为(1)/1/3i +=，得到/2-的几率是22/3=。

对x S ，得到/2+ 的几率为(1/2)(3)/5/6i +=，得到/2-的几率是(1/2)(1)1/6i -+=。

顺便提及，x S 的期待值是51,62623⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也可以由更直接的方法得到：†/2(1)/(1)2./2032/x S xi i S χχ⎛+⎛⎫-⎛===⎪⎪⎝⎝⎭⎝⎭现在给你们介绍一个涉及自旋1/2的虚拟测量方案，因为它可以非常具体地阐明我们在讨论波函数时的某些抽象概念。